schekn писал(а):
Пусть решение вашей задачи с грав. плоскостью есть

...
... тело пробивает плоскость

и вылетает в другое полупространство. В этом случае в дырке образуется разрыв первой производной компоненты

, что невозможно.
В данном случае разрыв производной - дело непринципиальное. Это просто результат идеализации - пренебрежения толщиной гравитирующей плоскости и соответственно введения бесконечных поверхностных значений

, что допустимо, если мы не интересуемся полем внутри гравитирующей "плоскости" и совсем рядом с ней, а также вопросами физической реализуемости такой "плоскости". Если Вам разрывы органически не нравятся, берите, например, регуляризованное гладкое

, где

малое число, характеризующее толщину "плоскости", т.е. того тонкого слоя пространства, в котором

и конечны (тогда, например,

). Вне этого тонкого слоя по-прежнему будет

, а ТЭИ и 4-кривизна равны нулю.
schekn писал(а):
у меня по-прежнему остаются большие сомнения, что наблюдателю из полупространства

удастся узнать, что творится при

. Эти сомнения основываются на том, что мы рассматриваем все время полупространство отдельно

и

, а при переходе от метрики, скажем, с компонентами

, -1,-1,-1 к псевдоевклидову виду отдельно в этих полупространствах возникают мертвые области.
У меня не хватает фантазии, чтобы понять, как мировая линия покоящегося тела в плоском полупространстве окажется в другом полупространстве, перепрыгнув мертвую область.
Надеюсь, Вам хватит фантазии и умения работать с уравнением геодезической, чтобы понять, что при конечной толщине слоя

в

гладкое продление мировой линии из области

в область

никаких проблем не представляет.
schekn писал(а):
в новых плоских координатах должно выполняться соотношение:

. То есть все полупространство

переходит только в часть пространства

. Поэтому и возникает вопрос: тело покоится в точке

имеет мировую линию в плоском пространстве, которая обрывается. Например точки

не существует в данных координатах при данном преобразовании координат.
Это обычное дело для многообразий Эйнштейна. При метрике

карта, представляемая координатной сеткой

в области

(т.е. там, где

не обращается в ноль), покрывает не все плоское многообразие - пространство Минковского, а только его часть. Но не составляет труда гладко склеить эту карту с другой, хотя бы частично перекрывающейся с первой и охватывающей остальное пространство. Координаты

дают явную конструкцию такой склейки. Карта

с произвольными, не связанными условием

, координатами покрывает как карту

(с

), так и вообще все пространство Минковского в целом.
Стоит помнить, что уравнения гравитации Эйнштейна локальные. Они не фиксируют глобальную геометрию 4-многообразия в целом, которая должна определяться из дополнительных условий - например, граничных. И, конечно, нельзя судить о многообразии по одной карте - без анализа ее возможных расширений (склеиваний). Нельзя из одной лишь конкретной карты

делать глобальные выводы о геометрии пространства в целом.