К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[epros]

dinaconst в сообщении #552243 писал(а):

Но я, прежде всего, не понимаю, зачем вообще складывать энергии двух пробных частиц. Не понимаю, где может такая сумма понадобиться и на какой вопрос может ответить.

Может понадобиться в законе сохранения полной энергии замкнутой системы.

dinaconst в сообщении #552243 писал(а):

Пробные частицы, это совершенно независимые частицы. Зачем объединять их в какую-то систему, тоже не понимаю.

В систему можно объединять всё, что нам нужно. В данном случае речь о "независимых" частицах, а могут быть и "зависимые" - в смысле "взаимодействующие".

[VladTK]

epros, Вы не ответили на главный вопрос. Пусть, например, у нас имеется некое векторное поле $\hat{a}(x^{\mu})$ . В любой точке пространства это поле можно разложить по локальному векторному базису: $\hat{a}(x^{\mu})=a_{\alpha}(x^{\mu}) \; e^{\alpha}(x^{\mu})$, где $a_{\alpha}(x^{\mu})$ - компоненты векторного поля и $e^{\alpha}(x^{\mu})$ - орты локального векторного базиса. В разных точках пространства локальный векторный базис, в общем случае, разный. Т.е. для двух разных точек пространства $A,B$ имеем $e^{\alpha}(A) \ne e^{\alpha}(B)$. Вследствие этого компоненты векторного поля "в лоб" несоизмеримы. Вы же выполняете суммирование этих компонент $a_{\alpha}(A)+a_{\alpha}(B)$ и получаете некие результаты. Каким образом это Вам удается?

[epros]

VladTK в сообщении #552964 писал(а):

epros, Вы не ответили на главный вопрос

Вероятно потому, что не заметил, когда он был задан.

VladTK в сообщении #552964 писал(а):

Вы же выполняете суммирование этих компонент и получаете некие результаты. Каким образом это Вам удается?

Что удаётся, сложить два числа? Просто не мучайтесь такими схоластическими вопросами, и Вам тоже будет всё удаваться.

Когда я складываю величины $T^{0 i} dV_i$, определённые в разных точках, я нахожу в получившейся сумме физический смысл ровно постольку, поскольку у меня есть уравнение сохранения для соответствующей интегральной величины (разумеется, для замкнутых систем). А вот как интерпретировать получившуюся сумму - как энергию в буквальном смысле или как энергию с точностью до множителя $\sqrt{g_{0 0}}$, или ещё как-то - это уже зависит от того, к какому именно базису будет относиться эта интерпретация.

[VladTK]

epros в сообщении #552969 писал(а):

Что удаётся, сложить два числа? Просто не мучайтесь такими схоластическими вопросами, и Вам тоже будет всё удаваться...

Вы предлагаете отказаться от математической корректности физического определения?

[epros]

VladTK в сообщении #552993 писал(а):

Вы предлагаете отказаться от математической корректности физического определения?

Что Вы тут углядели "математически некорректного"? Не можем сложить $mc^2$ с $\frac{mc^2}{2}$ или что?

[VladTK]

epros в сообщении #553008 писал(а):

Что Вы тут углядели "математически некорректного"? Не можем сложить $mc^2$ с $\frac{mc^2}{2}$ или что?

Бросьте epros. Все Вы понимаете. Это когда $e_0(A)=e_0(B)$ мы можем смело складывать $a_0(A)=mc^2$ и $a_0(B)=\frac{mc^2}{2}$. А вот когда $e_0(A)=b(A,B) \; e_0(B)$, где $b(A,B)$ - некая скалярная функция зависящая от правила переноса векторов в одну точку, то Ваш простой смысл суммы $a_0(A)+a_0(B)=b(A,B) mc^2+\frac{mc^2}{2}$ сразу теряется.

Уже в задаче с расчетом энергии во вращающейся СО Вам пришлось делить Ваш интеграл на $\sqrt{g_{00}}$. И тут уже Вам повезло, что эта компонента метрики оказалась константой, а не функцией. Иначе Вы попали бы в ту же ситуацию, в какую мы попадаем когда объявляем Фоковские интегралы компонентами 4-вектора.

Мне кажется становится ясно почему Ваши примеры "доказали" Вашу правоту. Я еще чуток тут покопаюсь и может че-нить и накопаю...

[epros]

VladTK в сообщении #553062 писал(а):

А вот когда $e_0(A)=b(A,B) \; e_0(B)$, где $b(A,B)$ - некая скалярная функция зависящая от правила переноса векторов в одну точку, то Ваш простой смысл суммы $a_0(A)+a_0(B)=b(A,B) mc^2+\frac{mc^2}{2}$ сразу теряется.

Да наплевать мне на векторы, переносы и на всю геометрию вместе с ними! Как Вы не поймёте простой вещи: Складывать мы можем ЧТО УГОДНО, хоть 15 мух с 3-мя котлетами - получится 18 "объектов" и всё. Весь вопрос как раз только в "физическом смысле" этой суммы.

А смысл этой суммы в данном случае заключается в том, что она для замкнутой системы сохраняется. Например, система из двух частиц, каждая массой $m$, одна из которых находится неподвижно относительно равноускоренной СО в точке $x^1 = r$, а вторая - неподвижно относительно равноускоренной СО в точке $x^1 = 2r$, имеет сохраняющуюся полную энергию $P^0 = \frac{3}{2} mc^2$.

Вот Вы говорили про какую-то "математическую некорректность". По моим понятиям математическая некорректность (логическое противоречие) - это когда у нас получается что-то вроде $2+2=5$ (при том, что мы знаем, что $2+2=4 \ne 5$). Продемонстрируйте, что интегрирование величины $T^{0 0}$ по трём пространственным координатам приводит к чему-то подобному.

[epros]

VladTK в сообщении #553062 писал(а):

...зависящая от правила переноса векторов в одну точку...

Кстати, хочу добавить, что полагаться на какую-то зависимость от правила переноса векторов - как раз значит совершать ошибку. Именно это иллюстрирует мой пример с частицей, неподвижной в равноускоренной СО: Перенос её вектора четырёхимпульса вдоль её мировой линии заведомо не сохраняет координаты вектора.

[VladTK]

epros в сообщении #553311 писал(а):

Да наплевать мне на векторы, переносы и на всю геометрию вместе с ними! Как Вы не поймёте простой вещи: Складывать мы можем ЧТО УГОДНО, хоть 15 мух с 3-мя котлетами - получится 18 "объектов" и всё. Весь вопрос как раз только в "физическом смысле" этой суммы.

Вот именно - весь вопрос в "физическом смысле" суммы. А этого смысла и нет. Вы своими мухами все котлеты испортили :) В результате, и биолог, и повар будут недовольны Вашим множеством из 18 объектов.

epros в сообщении #553311 писал(а):

Вот Вы говорили про какую-то "математическую некорректность". По моим понятиям математическая некорректность (логическое противоречие) - это когда у нас получается что-то вроде $2+2=5$ (при том, что мы знаем, что $2+2=4 \ne 5$). Продемонстрируйте, что интегрирование величины $T^{0 0}$ по трём пространственным координатам приводит к чему-то подобному.

Для начала. Интегралы $P^{\mu}=\int T^{0 \mu} d^3 x$ должны представлять собой компоненты 4-вектора. С чего Вы взяли, что сумма компонент векторов из разных точек пространства будет компонентой вектора?

[epros]

VladTK в сообщении #553475 писал(а):

Вы своими мухами все котлеты испортили :) В результате, и биолог, и повар будут недовольны Вашим множеством из 18 объектов.

Это смотря какой повар. Некоторые восточные кухни наличие насекомых в еде только приветствуют.

VladTK в сообщении #553475 писал(а):

С чего Вы взяли, что сумма компонент векторов из разных точек пространства будет компонентой вектора?

Ни с чего не взял. В строгом смысле такие суммы, конечно, не составляют никакого вектора. И никакого универсального правила преобразования их в другие координаты не существует. Однако ничто не мешает интерпретировать эти суммы как координаты "вектора" (в некоем расширенном смысле) в любом базисе данной координатной сетки. Смысл такой интерпретации заключается в том, что при любых линейных преобразованиях координат эти величины преобразуются как компоненты вектора.

VladTK в сообщении #553475 писал(а):

Вот именно - весь вопрос в "физическом смысле" суммы. А этого смысла и нет.

Вот в этом на самом деле и есть весь вопрос. И Ваш ответ на него несколько поспешен. Дело в том, что для замкнутой системы должно иметь место уравнение непрерывности:

$\partial_{j} T^{i j} = 0$ (можете считать это определением "замкнутой системы"),

кое в силу теоремы Гаусса порождает интегральное уравнение непрерывности:

$\oint T^{i j} dV_j = 0$, где $dV_j$ - дифференциальная форма, определяющая элемент трёхмерной гиперповерхности.

Обратите внимание, что эти уравнения абсолютно безразличны к тому, какова метрика пространства-времени. Так что переход к ковариантным производным в данном случае неуместен.

И второй момент, который нужно понимать: Уравнение непрерывности, а значит и понятие "замкнутости" системы, вообще говоря, ни в каком смысле не инвариантно по отношению к заменам координат. Т.е. частица, неподвижная относительно равноускоренной СО, является замкнутой системой в равноускоренной СО, но не является замкнутой системой в лабораторной ИСО.

Вот и весь "смысл". Попробуйте найти в нём что-нибудь "математически некорректного".

[schekn]

epros в сообщении #550707 писал(а):

[quote="schekn в Все теоретические модели - идеализации.

Идеализация, идеализация.. Представим себе последствие столкновения материальной частицы с плоскостью z=0 при z>0. При первом сценарии тело деформирует тонкостенную плоскость и отскакивает. При этом плоскость деформируется и изменяется поле вне плоскости. Дальнейшую эволюцию плоскости сложно предсказать – либо она восстановится, либо начнет дальнейшее искривление.
При другом сценарии тело пробивает плоскость z=0 и вылетает в другое полупространство. В этом случае в дырке образуется разрыв первой производной компоненты g00, что невозможно. Значит компоненты в интервале изменятся. По этой же причине нельзя сделать дырку в плоскости, чтобы посмотреть, что творится в полупространстве z<0 не изменив саму метрику.. Но у меня по-прежнему остаются большие сомнения, что наблюдателю из полупространства z>0 удастся узнать, что творится при z<0. Эти сомнения основываются на том, что мы рассматриваем все время полупространство отдельно z>0 и z<0, а при переходе от метрики, скажем, с компонентами g00=(1+|z|)^2, -1,-1,-1 к псевдоевклидову виду отдельно в этих полупространствах возникают мертвые области.
У меня не хватает фантазии, чтобы понять, как мировая линия покоящегося тела в плоском полупространстве окажется в другом полупространстве, перепрыгнув мертвую область.

[epros]

schekn в сообщении #553787 писал(а):

Представим себе последствие столкновения материальной частицы с плоскостью z=0 при z>0.

Можете представлять абсолютно что угодно, потому что никаких механических свойств этой плоскости (помимо того, что она должна была оставаться статичной до тех пор, пока мы её не трогали) в задаче не определено. И самое простое, что Вы можете себе представить, это что плоскость просто прозрачна для нашей пробной частицы. Т.е. никак не изменится после того, как частица пролетит сквозь неё. А почему бы и нет?

schekn в сообщении #553787 писал(а):

У меня не хватает фантазии, чтобы понять, как мировая линия покоящегося тела в плоском полупространстве окажется в другом полупространстве, перепрыгнув мертвую область.

А всё дело в том, что никаких "мёртвых областей" нет.

[schekn]

epros в сообщении #553809 писал(а):

А всё дело в том, что никаких "мёртвых областей" нет..

А вот это я и не могу понять. Пусть решение вашей задачи с грав. плоскостью есть $g_0_0=(1+|z|)^2$, -1,-1,-1. Я так и не смог добиться от Вас и Someone какими допустимыми преобразованиями координат можно получить например в полупространстве z>0 для интервала псевдоевклидовый вид. Поэтому буду исходить из обратных преобразований и они вроде такие:
ζ=(1+z)cht и τ=(1+z)sht. Теперь если возвести в квадрат оба выражения и отнять из первого второе получим :
$\zeta^2- \tau^2=(1+z)^2$. Откуда видно, что в новых плоских координатах должно выполняться соотношение: $\zeta^2- \tau^2>0$. То есть все полупространство t,x,y,0<z<+infin переходит только в часть пространства τ,x,y,ζ. Поэтому и возникает вопрос: тело покоится в точке ζ=2 имеет мировую линию в плоском пространстве, которая обрывается . Например точки ζ=2, τ=3 не существует в данных координатах при данном преобразовании координат.

[Munin]

schekn в сообщении #553843 писал(а):

А вот это я и не могу понять.

А как из листа бумаги сделать колпак, вы можете понять? Нужно вырезать сектор, и склеить его края - тогда получится конус. В этом конусе никаких "мёртвых областей" нет. Но если лист бумаги в клеточку, то видно, что клеточки плохо соединяются в месте склейки. Это чисто координатное свойство.

[epros]

schekn в сообщении #553843 писал(а):

Я так и не смог добиться от Вас и Someone какими допустимыми преобразованиями координат можно получить например в полупространстве z>0 для интервала псевдоевклидовый вид. Поэтому буду исходить из обратных преобразований и они вроде такие:
ζ=(1+z)cht и τ=(1+z)sht.

ЧуднО: "не могли добиться" - и вдруг сразу же написали формулы преобразования в координаты ИСО.

schekn в сообщении #553843 писал(а):

Поэтому и возникает вопрос: тело покоится в точке ζ=2 имеет мировую линию в плоском пространстве, которая обрывается .

Конечно обрывается, причём на той самой плоскости $z=0$, т.е. в координатах ИСО: $\zeta^2 - \tau^2 = 1$. Это значит, что частица "врезалась" в тяготеющую плоскость. Что с ней произойдёт дальше? Это зависит от механических свойств этой плоскости. Например, она может пролететь насквозь и оказаться в области $z<0$.

Какие проблемы?