К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[epros]

epros в сообщении #550257 писал(а):

VladTK в сообщении #550051 писал(а):

Чтобы проверить это предположение, предлагаю рассчитать 4-импульс частицы, равномерно вращающейся по окружности радиуса $R$. Т.е. задаем начальные условия в ИСО, потом каждый из нас производит расчет энергии в УСО частицы своим методом, а потом сравним результаты.

Давайте чуть позже, там будут особенности, связанные с "неправильным" масштабом координатного времени. Нужно сначала закончить с более простым случаем равноускоренного движения.

А, ладно. Давайте уж объясню, что есть "мой метод".

Допустим, у нас имеются цилиндрические координаты в лабораторной ИСО: $(\hat{t}, \hat{\varphi}, \hat{r}, \hat{z})$, т.е. это такие координаты, в которых метрика равна:

$ds^2 = c^2 d\hat{t}^2 - \hat{r}^2 d\hat{\varphi}^2 - d\hat{r}^2 - d\hat{z}^2$.

Уравнение движения частицы таково:

$\hat{\varphi} = \Omega \hat{t}, \, \hat{r} = R, \, \hat{z} = 0$.

Формулы перехода в координаты $(t, \varphi, r, z)$ вращающейся СО таковы:

$\hat{t} = t$
$\hat{\varphi} = \varphi + \Omega t$
$\hat{r} = r$
$\hat{z} = z$

Я могу сразу записать Вам единственную ненулевую компоненту ТЭИ во вращающейся СО:

$T^{t t} = \frac{mc^2}{\sqrt{c^2 - (\Omega R)^2}} \delta(\varphi) \delta(r - R) \delta(z)$

Это значит, что единственная ненулевая компонента четырёхвектора импульса $\vec{P}$ равна:

$P^t = \int\int\int T^{t t} d\varphi dr dz = \frac{mc^2}{\sqrt{c^2 - (\Omega R)^2}}$.

Вы можете спросить: почему это вдруг она не равна $mc^2$? Отвечаю: Дело в том, что $P^t$ - это нулевая координата вектора в координатном базисе $(\vec{e}_t, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_r, \vec{e}_z)$, т.е.:

$\vec{P} = P^t \vec{e}_t + P^{\varphi} \vec{e}_{\varphi} + P^r \vec{e}_r + P^z \vec{e}_z$,

причём скалярное произведение $(\vec{e}_i, \vec{e}_j) = g_{i j}$ - это как раз метрика в рассматриваемой СО.

А это значит, что длина проекции вектора $\vec{P}$ на ось времени, т.е.:

$(\vec{P}, \vec{e}_t) \, \frac{sign(\vec{e}_t, \vec{e}_t)}{\sqrt{|(\vec{e}_t, \vec{e}_t)|}} = P^t \sqrt{|(\vec{e}_t, \vec{e}_t)|} = P^t \sqrt{g_{t t}}$

Вот эта длина проекции вектора на самом деле и есть энергия, измеренная в точке нахождения частицы:

$E = \frac{mc^2 \sqrt{g_{t t}}}{\sqrt{c^2 - (\Omega R)^2}}$.

Подсчитав метрику в координатах вращающейся СО и увидев, что $g_{t t} = c^2 - (\Omega r)^2$, нетрудно убедиться в том, что $E = mc^2$.

Проделав несложное преобразование ТЭИ в лабораторную СО, получим:

$T^{\hat{t} \hat{t}} = \frac{mc^2}{\sqrt{c^2 - (\Omega R)^2}} \delta(\hat{\varphi} - \Omega \hat{t}) \delta(\hat{r} - R) \delta(\hat{z})$

Проинтегрировав её по трём пространственным координатам лабораторной ИСО, нетрудно также убедиться в том, что:

$P^{\hat{t}} = \frac{mc^2}{\sqrt{c^2 - (\Omega R)^2}}$

А поскольку $g_{\hat{t} \hat{t}} = c^2$ и все пространственные орты перпендикулярны к оси времени, то:

$\hat{E} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \left( \frac{\Omega R}{c} \right)^2}}$.

[schekn]

"Someone

Цитата:

Потому что Ваше "недоумение", уж извините, совершенно идиотское.

Извините, уж Ваши объяснения , как и модель , идиотская.
Вы думаете над задачей три года, я же недели три. К тому же тогда и у Вас и некоторых других участников возникали те же недоумения: Куда денется тело при падении о препятствие z=0 непонятно. А наблюдаемо ли второе полупространство со стороны наблюдателя находящийся в первом? Почему Я должен забывать о пространстве Минковского, если я верю в его объективность, на которой построена СТО, решаются задачи в ядерной физике и должен поверить в Вашу гр. плоскость? И Вы сначала при построении модель основывались на Минковском. Вы вырезали часть пространства Минковского и потеряли часть информации, поэтому мне такая модель не нравится. Если у Вас получился блин конечных размеров, то наблюдатель, исследующий область около плоскости блина, действительно будет считать, что живет в бесконечной гр. плоскости, а тот , кто будет наблюдать за удаленными объектами, увидит и "почувствует" кривизну. Вообще, я люблю теоретиков, они на основании теории могут построить совершенно экзотические модели. Например, возьмите МИнковского и отрежьте полосу $\zeta$=+1,-1. А границы получившейся дырки склейте. Вы получите плоскую модель, в которой потеряна часть информации. А потом Вы будете удивляться: почему не выполняются законы сохранения энергии. Впрочем, я так понимаю Вам они по барабану и Вы легко от них откажитесь.

Цитата:

Кроме того, это единственный наверное случай, который как будто подтверждает Ваше утверждение о реальной гравитации с тензором кривизны=0. и ВАМ требуется представить бесконечную плоскость , которой реально не существует.

Цитата:

Видите ли, такие утверждения надо доказывать. Если Вы сумеете доказать, что это действительно единственный случай, тогда поговорим. .

Вот Вы и доказывайте, что они существуют, а мне достаточно, что я их не наблюдаю.

Цитата:

schekn в сообщении #549965 писал(а):

И с доводами Логунова не все так однозначно. Будет ли излучать заряд в Лифте Эйнштейна, если заряд движется с ускоренем относительно инерционной системы отсчета ? А как заряд движется относительно лифта?

Относительно лифта движется с ускорением.
Вообще я хочу заметить, что не являюсь каким-то "рупором" и встаю на позицию в данном случае Логунова, потому что в официальной печати ошибки пока не обнаружены в его статьях и занимается он этими вопросами более 40 лет.. ( я прочитал также статьи его оппонентов). В том числе и по вопросу, который я поднял в начале темы. А ваша плоскость просто подернулась под руку. Я ее даже не собирался рассматривать.

[Munin]

schekn в сообщении #550456 писал(а):

Вообще я хочу заметить, что не являюсь каким-то "рупором" и встаю на позицию в данном случае Логунова, потому что в официальной печати ошибки пока не обнаружены в его статьях и занимается он этими вопросами более 40 лет..

Поскольку вы не думаете своей головой, то именно являетесь рупором, и ничем больше. Ваши критерии оценки ситуации по "официальной печати" и т. п. именно в случае Логунова не работают, по причинам, в которые публично не углубляются.

[Paganel]

А может, все совсем просто? Посмотрел, наконец, для метрики Тауба $ds^2= z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2+dy^2) - dz^2$ явно на тензор Римана. При $z=0$ он сингулярен. В частности, инвариант $R_{iklm}R^{iklm} = \frac{64}{27}z^{-4}$. Так что путь от $z>0$ к $z<0$ неизбежно проходит через истинную сингулярность. Вот почему не получается гладко сшить области $z>0$ и $z<0$, и вот, вероятно, почему $z=0$ является границей Вселенной Тауба.

[epros]

schekn в сообщении #550456 писал(а):

Если у Вас получился блин конечных размеров, то наблюдатель, исследующий область около плоскости блина, действительно будет считать, что живет в бесконечной гр. плоскости, а тот , кто будет наблюдать за удаленными объектами, увидит и "почувствует" кривизну.

Т.е. тот, что близко, может спокойно пользоваться моделью гравитирующей плоскости? А в чём тогда проблема? Все теоретические модели - идеализации.

Мне трудно понять Ваш подход. Вот, скажем, близкий к центру "блина" наблюдатель никакими измерениями не может обнаружить никакой кривизны, однако наблюдает конкретное ускорение свободного падения в сторону блина. С какой стати он должен решить, что это никакое не тяготение, а просто блин движется к нему с ускорением? Особенно забавно выглядит эта точка зрения, если сквозь дырочку в блине наблюдатель видит, что с другой стороны предметы тоже с ускорением падают на блин.

[schekn]

Munin в сообщении #550466 писал(а):

schekn в сообщении #550456 писал(а):

Вообще я хочу заметить, что не являюсь каким-то "рупором" и встаю на позицию в данном случае Логунова, потому что в официальной печати ошибки пока не обнаружены в его статьях и занимается он этими вопросами более 40 лет..

Поскольку вы не думаете своей головой, то именно являетесь рупором, и ничем больше. Ваши критерии оценки ситуации по "официальной печати" и т. п. именно в случае Логунова не работают, по причинам, в которые публично не углубляются.

Это относится и к Вам. То вас Фок не устраивает, то Ландау устарел, то чихать на Мёллера. Между прочим МТУ у меня издание 77 года, то есть 35 лет назад, если учесть , что ОТО еще нет 100 лет, то и они устарели. А Фок тоже задавал неудобные вопросы, потому что возможно серьезно подошел к теме.

-- 21.03.2012, 12:50 --

epros в сообщении #550707 писал(а):

schekn в сообщении #550456 писал(а):

Если у Вас получился блин конечных размеров, то наблюдатель, исследующий область около плоскости блина, действительно будет считать, что живет в бесконечной гр. плоскости, а тот , кто будет наблюдать за удаленными объектами, увидит и "почувствует" кривизну.

Т.е. тот, что близко, может спокойно пользоваться моделью гравитирующей плоскости? А в чём тогда проблема? Все теоретические модели - идеализации.

Мне трудно понять Ваш подход. Вот, скажем, близкий к центру "блина" наблюдатель никакими измерениями не может обнаружить никакой кривизны, однако наблюдает конкретное ускорение свободного падения в сторону блина. С какой стати он должен решить, что это никакое не тяготение, а просто блин движется к нему с ускорением? Особенно забавно выглядит эта точка зрения, если сквозь дырочку в блине наблюдатель видит, что с другой стороны предметы тоже с ускорением падают на блин.

Ваша задача с вырезанием пространства – мне дико не нравится. Если хотите вот более реальный мысленный эксперимент, который можно поставить в земных условиях: тонкостенный блин конечных размеров (на бесконечный у вас не хватит энергии) движется с ускорением g вдоль оси Oζ в течении короткого времени Т. Вы помещаете детекторы в центр блина и пытаетесь определить с помощью измерений в течении этого времени– находитесь вы в равноускоренной системе или под действием реальной гравитации. Измерения можно проводить в близи центра блина. И тут два случая – вы измеряете все явления, происходящие при z>0, и второй при любых z. Как я уже говорил заряд на поверхности этого блина, если и будет излучать, то ничтожную энергию.
И если Вы просверлите дырочку в блине, наблюдатель сразу поймет, что он в равноускоренной системе.

[epros]

schekn в сообщении #550735 писал(а):

Ваша задача с вырезанием пространства – мне дико не нравится.

Да забудьте Вы про вырезания. Все эти вырезания и сшивания - это всего лишь способ объяснить, как можно построить решение. Я же записал Вам формулу метрики и Вы убедились, что она является решением уравнений ОТО?

schekn в сообщении #550735 писал(а):

тонкостенный блин конечных размеров (на бесконечный у вас не хватит энергии) движется с ускорением g вдоль оси Oζ в течении короткого времени Т. Вы помещаете детекторы в центр блина и пытаетесь определить с помощью измерений в течении этого времени– находитесь вы в равноускоренной системе или под действием реальной гравитации. Измерения можно проводить в близи центра блина.

Есть подозрение, что мы будем даже не в равноускоренной СО, а в ИСО, причём никакой кривизны не обнаружим. И что это докажет?

[Munin]

schekn в сообщении #550735 писал(а):

Это относится и к Вам. То вас Фок не устраивает, то Ландау устарел, то чихать на Мёллера. Между прочим МТУ у меня издание 77 года, то есть 35 лет назад, если учесть , что ОТО еще нет 100 лет, то и они устарели. А Фок тоже задавал неудобные вопросы, потому что возможно серьезно подошел к теме.

То, что я пишу, основано на знании более того, что написано по отдельности у Фока, у Ландау или у Мёллера. А то, что вы пишете - на знании менее всего этого. Так что мы в разных ситуациях всё-таки. Чтобы оценить, что устарело, а что не устарело, надо не только на год издания смотреть, но и быть в курсе, что такое "золотой век GR", и какова ситуация сейчас. Нет, МТУ не устарели. Видимо, им это и в дальнейшем не грозит. ОТО по сути законченная теория. А критика Фока местами осталась как критика ОТО (с тем же ответом: "предложите что-нибудь получше"), местами оказалась просто неадекватной её настоящему физическому смыслу.

[dinaconst]

epros в сообщении #550707 писал(а):

... ускорение свободного падения...

Как говорится, "Кто о чем, а вшивый о бане". Вот и я, все о своем.
epros, мы все пользуемся теми тремя словами, которые я "вырвала" из контекста вашего сообщения. И все вкладываем в них какое-то содержание, какой-то смысл. У меня к Вам (и, пожалуй, ко всем) такие вопросы. Какое содержание Вы вкладываете в эти три слова, в этом сочетании? Можно ли из этого словосочетания "выбросить" какое-нибудь слово без особого ущерба для смысла? Если можно, то какое по-вашему? На какое слово в этом словосочетании приходится, по-вашему, основная смысловая нагрузка?
Заранее спасибо за ответ.

[VladTK]

epros в сообщении #550257 писал(а):

VladTK в сообщении #550051 писал(а):

Вот этот свободный 4-вектор и нужно преобразовывать в другие СО по обычному правилу преобразования ковариантных векторов

Э, нет! Это незаконный трюк. Ваш "свободный вектор" определён, вообще говоря, не в точке, а на некой гиперповерхности $\hat{x}^0 = \operatorname{const}$. А для всей гиперповерхности разом Вы компоненты матрицы Якоби преобразования не посчитаете, ибо они будут разными в разных точках. Ладно, допустим, что в данном конкретном случае Вам повезло: Мировая линия частицы пересекает гиперповерхность $\hat{x}^0 = \operatorname{const}$ только в одной точке. А если у Вас две частицы, то что будете делать?

А с чего Вы взяли, что интегральная энергия является константой? Нет. В общем случае, она является 0-компонентой 4-векторного переменного поля (4-импульса). Просто в случае сохраняющегося 4-импульса - это поле ковариантно постоянно (т.е. все его ковариантные производные равны нулю). Так что в случае с двумя (и более) частицами ничего страшного не случится.

epros в сообщении #550257 писал(а):

VladTK в сообщении #550051 писал(а):

Возникает вопрос: каким образом Вам удалось получить правильный ответ?

Секрет прост. Вот эта формула для энергии правильная:

$E = \int\int\int T^{0 0} dx^1 dx^2 dx^3$,

а вот эта неправильная:

$E = \int\int\int T^{0 \mu} \xi_{\mu}^{(0)} dx^1 dx^2 dx^3$.

Не совсем так. Давайте повторим рассуждения Фока и посмотрим в чем может быть "зарыта собака".

Пусть имеется физическая система с тензором энергии-импульса $T^{\mu \nu}$ в пространстве-времени Минковского (в произвольной криволинейной системе координат). Возьмем некоторое несингулярное (это уже от меня лично - не хочу заморачиваться случаем изотропного вектора) ковариантное векторное поле $\xi_{\mu}$ и образуем свертку с ТЭИ $P^{\mu}=T^{\mu \nu} \xi_{\nu}$. Найдем ковариантную дивергенцию этой свертки

$$ D_{\mu}(T^{\mu \nu} \xi_{\nu})=\xi_{\nu} D_{\mu} T^{\mu \nu}+T^{\mu \nu} D_{\mu} \xi_{\nu}=\xi_{\nu} D_{\mu} T^{\mu \nu}+\frac{T^{\mu \nu}}{2} (D_{\mu} \xi_{\nu}+D_{\nu} \xi_{\mu}) $$

Проинтегрируем эту ковариантную дивергенцию по пространственноподобной гиперповерхности (3-объему), причем предполагаем что координата с индексом 0 как всегда времениподобна, а остальные пространственноподобны

$$ \int_V D_{\mu}(T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3=\int_V \xi_{\nu} D_{\mu} T^{\mu \nu} \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3+\int_V \frac{T^{\mu \nu}}{2} (D_{\mu} \xi_{\nu}+D_{\nu} \xi_{\mu}) \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3 $$

Рассмотрим более подробно левую часть этого выражения. С учетом определения ковариантной дивергенции векторного поля получим

$$ \int_V D_{\mu}(T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3=\int_V \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3 $$

Выделим в этом интеграле слагаемое с производной по времениподобной координате

$$ \int_V \partial_{\mu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) dx^1 dx^2 dx^3=\partial_{0} \int_V \sqrt{-g} T^{0 \nu} \xi_{\nu}\; dx^1 dx^2 dx^3+\int_V \partial_{k} (\sqrt{-g} T^{k \nu} \xi_{\nu}) dx^1 dx^2 dx^3 $$

где $k$ - пробегает 1,2,3. Во втором интеграле используем теорему Гаусса

$$ \int_V \partial_{k} (\sqrt{-g} T^{k \nu} \xi_{\nu}) dx^1 dx^2 dx^3=\int_S T^{k \nu} \xi_{\nu} \sqrt{-g} \; dS_k $$

Из всех этих формул следует

\begin{gather*} \begin{split} \partial_{0} \int_V T^{0 \nu} \xi_{\nu} \sqrt{-g} \; dx^1 dx^2 dx^3 =\int_V \xi_{\nu} D_{\mu} &T^{\mu \nu} \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3+\\ &+\int_V \frac{T^{\mu \nu}}{2} (D_{\mu} \xi_{\nu}+D_{\nu} \xi_{\mu}) \sqrt{-g} dx^1 dx^2 dx^3-\int_S T^{k \nu} \xi_{\nu} \sqrt{-g} \; dS_k \end{split} \end{gather*}

Таким образом, если система сосредоточена в конечной области (вне которой $T^{\mu \nu}=0$), ТЭИ сохраняется ($D_{\mu} T^{\mu \nu}=0$) и выполнены уравнения Киллинга для вектора $\xi_{\mu}$, то мы имеем сохранение интеграла слева со временем

$$ \partial_{0} \int_V T^{0 \nu} \xi_{\nu} \sqrt{-g} \; dx^1 dx^2 dx^3=0 $$

Далее в игру вступает тот факт, на который указывали Вы epros: вследствие линейности уравнений Киллинга для их решений выполнен принцип суперпозиции - если мы имеем два независимых решений $\xi_{\mu}^{(1)}$, $\xi_{\mu}^{(2)}$ то решением является также и их произвольная линейная комбинация $a_1 \xi_{\mu}^{(1)}+a_2 \xi_{\mu}^{(2)}$, где $a_1, a_2$ - произвольные константы. Т.е. какую бы мы комбинацию не подставили в последний интеграл, он всегда будет равен нулю - фактически сохранение интеграла со временем не зависит от выбора Киллингова вектора. Это (а также форма интеграла в декартовых координатах) позволяет определить интеграл как сохраняющийся 4-импульс.

Отсюда же следует некорректность Ваших примеров: Вы использовали физические системы с несохраняющимся ТЭИ. В этих случаях, как мне кажется, определение Фока не работает.

epros в сообщении #550257 писал(а):

...Мне более интересно, как Вы ухитрились получить нужный Вам ответ для интеграла $\int\int\int T^{0 \mu} \xi_{\mu}^{(0)} dx^1 dx^2 dx^3$. Похоже, что при преобразовании вектора $P^{(\nu)} = T^{\nu \mu} \xi_{\mu}^{(0)}$ Вы просто забыли про лоренцево сокращение размеров частицы в $\frac{E}{mc^2}$ раз, так что произошла "взаимная компенсация ошибок".

Я просто не довел вычисления до конца. Там получается плотность массы со сложным аргументом и интеграл от нее не равен $mc^2$.

epros в сообщении #550257 писал(а):

...Надеюсь, что теперь Вы уже не скажете:

VladTK в сообщении #549220 писал(а):

Я просто знаю правильный ответ, а потому или поверьте мне на слово или проверьте.

Сейчас скажу это еще более уверенно. Благодаря Вам я разобрался с некоторыми темными для меня моментами.

[epros]

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

epros в сообщении #550257 писал(а):

VladTK в сообщении #550051 писал(а):

Вот этот свободный 4-вектор и нужно преобразовывать в другие СО по обычному правилу преобразования ковариантных векторов

Э, нет! Это незаконный трюк. Ваш "свободный вектор" определён, вообще говоря, не в точке, а на некой гиперповерхности $\hat{x}^0 = \operatorname{const}$. А для всей гиперповерхности разом Вы компоненты матрицы Якоби преобразования не посчитаете, ибо они будут разными в разных точках. Ладно, допустим, что в данном конкретном случае Вам повезло: Мировая линия частицы пересекает гиперповерхность $\hat{x}^0 = \operatorname{const}$ только в одной точке. А если у Вас две частицы, то что будете делать?

А с чего Вы взяли, что интегральная энергия является константой? Нет. В общем случае, она является 0-компонентой 4-векторного переменного поля (4-импульса). Просто в случае сохраняющегося 4-импульса - это поле ковариантно постоянно (т.е. все его ковариантные производные равны нулю). Так что в случае с двумя (и более) частицами ничего страшного не случится.

Вы просто старательно пропускаете то, что я Вам говорю, мимо ушей Разве я Вам сейчас сказал, что Ваше $\hat{Q}^0$ - константа? Я Вам сказал, что интегральная энергия определена не в конкретной точке, а значит вопрос заключается в том, в какой точке Вы должны взять значения компонентов матрицы $\frac{\partial \hat{x}^i}{\partial x^j}$ для преобразования этого "свободного вектора"? Вы утверждаете, что если взять две частицы, то "ничего страшного не случится"? Тогда ответьте пожалуйста в какой точке в этом случае Вы возьмёте значения $\frac{\partial \hat{x}^i}{\partial x^j}$, чтобы преобразовать $\hat{Q^{\mu}}(\hat{x}^0)$ в $Q^{\nu}(x^0)$?

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Не совсем так. Давайте повторим рассуждения Фока и посмотрим в чем может быть "зарыта собака".

Не читайтесоветских газет Фока по утрам. Итак, кучу не относящихся к делу рассуждений пропускаем и переходим к:

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Отсюда же следует некорректность Ваших примеров: Вы использовали физические системы с несохраняющимся ТЭИ. В этих случаях, как мне кажется, определение Фока не работает.

Это не "некорректность моих примеров", а некорректность Ваших (Фока?) определений. Очевидно, что несохраняемость (в ИСО) энергии-импульса частицы НЕ ОЗНАЧАЕТ, что понятия энергии и импульса для неё вообще не имеют смысла. Эти величины должны сохраняться для замкнутой системы, но это не означает, что у незамкнутой системы их вообще нет.

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Я просто не довел вычисления до конца. Там получается плотность массы со сложным аргументом и интеграл от нее не равен $mc^2$.

Ёлы-палы, так доведите до конца! Я же довёл:

1) Я привёл Вам формулы для временнОй компоненты ТЭИ в обеих СО:

$T^{00} = mc^2 \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$

и

$\hat{T}^{0 0} = mc^2 \, \sqrt{1 + (\frac{\hat{x}^0}{r})^2} \, \delta(\hat{x}^1 - \sqrt{r^2 + (\hat{x}^0)^2}) \delta(\hat{x}^2) \delta(\hat{x}^3)$

2) Я привёл Вам доказательство того, что они правильно преобразуются одна в другую при преобразовании координат.

3) Я продемонстрировал, что формула $E = \int\int\int T^{0 0} dx^1 dx^2 dx^3$ даёт правильное значение интегральной энергии частицы в обеих СО.

4) Я рассчитал, что по Вашей формуле $E = \int\int\int T^{0 \mu} \xi_{\mu}^{(0)} dx^1 dx^2 dx^3$ мы получим в равноускоренной СО абсурдное значение для энергии частицы:

$E = mc^2 \ch \left( \frac{x^0}{r} \right)$.

Что Вы ещё хотите? Чтобы я за Вас "довёл до конца" преобразование вектора $P^{\mu} = T^{\mu \nu} \xi_{\nu}^{(0)}$ из лабораторной ИСО в равноускоренную СО и продемонстрировал, что его компонента $P^0$ равна не:

$mc^2 \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$, как Вы, вероятно, ожидаете, а:

$mc^2 \ch \left( \frac{x^0}{r} \right) \delta(x^1 - r) \delta(x^2) \delta(x^3)$?

Пожалуйста, я могу ...

VladTK в сообщении #551019 писал(а):

Сейчас скажу это еще более уверенно. Благодаря Вам я разобрался с некоторыми темными для меня моментами.

Очень жаль, что Вы отягощаете своё непонимание упорством...

[schekn]

epros в сообщении #550744 писал(а):

schekn в сообщении #550735 писал(а):

Ваша задача с вырезанием пространства – мне дико не нравится.

Цитата:

Да забудьте Вы про вырезания. Все эти вырезания и сшивания - это всего лишь способ объяснить, как можно построить решение. Я же записал Вам формулу метрики и Вы убедились, что она является решением уравнений ОТО?

Убедился. Более того существует не 2, как это было показано у Someone 4 года назад, а бесконечно много независимых решений плоскосимметричной задачи. То, что получил Someone (решение а):
$ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ (1)
Вы предложили и это тоже решение ур. Г-Э.
$ds^2=(1+|z|)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 $ (2)

Это два разных римановых пространства на одном многообразии. В этом можно убедиться, написав в каждом геодезические. Но я даже этого делать не буду , а сошлюсь на теорему Петрова А.З. : если геодезические двух пространств с одиноковой сигнатурой совпадают, то метрические коэффициенты должны отличаться на постоянный множитель. Поскольку этого нет, то изотропные и времениподобные не совпадают. Это два разных мира.
Экспериментатор Иванов будет в недоумении, какую метрику брать, чтобы соотнести свои измерения с теорией.
Неоднозначность - Это недостаток не только данной задачи, но и других частных задач ОТО.

И еще вопрос по прошлой дискуссии - Вам не показалось, что строгого доказательства равенства Мин=Мграв в ОТО нет? Поэтому и звучат такие призывы - , что полная энергия замкнутой системы это фикция.

[epros]

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Это два разных мира.

Разумеется, потому что в первом нет гравитирующей плоскости, а во втором есть.

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Экспериментатор Иванов будет в недоумении, какую метрику брать, чтобы соотнести свои измерения с теорией.
Неоднозначность - Это недостаток не только данной задачи, но и других частных задач ОТО.

Неоднозначность чего? В пределах той лаборатории, в которой работает экспериментатор Иванов, метрики обоих решений будут равны, так что ему не нужно думать "какую из них брать". Или речь про неоднозначность интерпретации ускорения свободного падения в лаборатории: Обусловлено ли оно тяготением плоскости (которую из лаборатории не видно) или ускоренным движением лаборатории? Ну так в этой "неоднозначности" и заключается принцип эквивалентности.

schekn в сообщении #551055 писал(а):

И еще вопрос по прошлой дискуссии - Вам не показалось, что строгого доказательства равенства Мин=Мграв в ОТО нет? Поэтому и звучат такие призывы - , что полная энергия замкнутой системы это фикция.

Доказательства этого равенства нет и быть не может потому, что это - аксиома, то бишь принятый в качестве постулата принцип эквивалентности.

[schekn]

="epros в

Цитата:

Разумеется, потому что в первом нет гравитирующей плоскости, а во втором есть.

Как раз мне все время приводили доказательства того , что плоскость z=0 в первом случае (1) и есть гравитирующая.

Цитата:

Неоднозначность чего? В пределах той лаборатории, в которой работает экспериментатор Иванов, метрики обоих решений будут равны, так что ему не нужно думать "какую из них брать". Или речь про неоднозначность интерпретации ускорения свободного падения в лаборатории: Обусловлено ли оно тяготением плоскости (которую из лаборатории не видно) или ускоренным движением лаборатории? Ну так в этой "неоднозначности" и заключается принцип эквивалентности.

Почему же будут равны , если они из теории получаются разные? Я не вижу в условии той задачи какие либо дополнительные граничные (или другие) условия. Возьмите в конце концов третье решение $g`_0_0 = (2+|z|)^2$. Какое из них брать?

schekn в сообщении #551055 писал(а):

И еще вопрос по прошлой дискуссии - Вам не показалось, что строгого доказательства равенства Мин=Мграв в ОТО нет? Поэтому и звучат такие призывы - , что полная энергия замкнутой системы это фикция.

.

Цитата:

Доказательства этого равенства нет и быть не может потому, что это - аксиома, то бишь принятый в качестве постулата принцип эквивалентности.

[/quote]
Это "аксиома", основанная на экспериментальных фактах была нужна основателю ОТО, чтобы интуитивно идти к построению теории гравитации. Мы в теме привели много других современных формулировок ПЭ, которые не должны противоречить этим эксп. фактам. И сам Эйнштейн в 30-е уже по-другому его формулировал. И это равенство должно быть следствием теории, или по крайней мере не противоречить основным формулам, взятым из учебников...

[Someone]

schekn в сообщении #551079 писал(а):

Как раз мне все время приводили доказательства того , что плоскость z=0 в первом случае (1) и есть гравитирующая.

Разуйте глаза и посмотрите, какая метрика у меня написана под номером (6): http://dxdy.ru/post541454.html#p541454.

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Экспериментатор Иванов будет в недоумении, какую метрику брать, чтобы соотнести свои измерения с теорией.
Неоднозначность

schekn в сообщении #551079 писал(а):

Почему же будут равны , если они из теории получаются разные? Я не вижу в условии той задачи какие либо дополнительные граничные (или другие) условия. Возьмите в конце концов третье решение $g`_0_0 = (2+|z|)^2$. Какое из них брать?

"Экспериментатор Иванов" измеряет у себя ускорение свободного падения на гравитирующей плоскости и подставляет в мою метрику (6) то, что он намерил. Вполне однозначно.

schekn в сообщении #551079 писал(а):

И как аксиома это равенство должно быть следствием теории

Глупость. Аксиома - это исходное положение теории, из которого выводятся другие утверждения, а не следствие теории.

schekn в сообщении #551055 писал(а):

Убедился. Более того существует не 2, как это было показано у Someone 4 года назад

Я где-нибудь говорил, что их два? У меня ведь там подробностей нет, поскольку писал я не для Вас, а для много более квалифицированных людей, которые понимают, о чём речь. Просто всё сводится к двум рассмотренным разнообразными заменами координат. А метрика (6) получается вырезанием и склейкой.