К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[epros]

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Что стоит слева и не обязано быть дивергенцией поля в общем случае. А тензор энергии-импульса "вещества" определяет в геометрической ОТО как раз источник поля, что и выражается уравнениями Эйнштейна

По моим понятиям, линейным оператором как минимум обязано быть. То, что уравнения Эйнштейна определяют "источник поля" - это весьма вольная интерпретация. Возможно так и говорят иногда, но в этом есть некорректность. Эдак можно считать "источником поля" вообще что угодно.

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Запись же этих уравнений в нековариантном виде с правой частью $T^{i j} + t^{i j}$ есть просто переходная форма от геометрической к полевой формулировке.

Ковариантная или нековариантная формы записи уравнений - это без разницы. Всё равно они об одном и том же.

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

А какой энергией-импульсом обладает гравитация? Слабость Вашего подхода именно в этом.

Энергия-импульс гравитации определяется той величиной, которой не хватает до закона сохранения энергии-импульса остальной материи. В этом сила подхода. Для $T^{i j}$ нет никакого закона сохранения как раз потому, что в силу уравнений Эйнштейна эта величина не выражается линейным оператором от чего-то. Всё очень просто: Рисуем трубку между трёхмерными объёмами в моменты $t_1$ и $t_2$, разность интегралов от $T^{i j}$ по трёхмерным объёмам не равна потоку $T^{i j}$ через границы трубки. Та величина, которой не хватает до равенства, - это и есть $t^{i j}$.

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Остаются только пространственные компоненты. Они то и дают пространственные компоненты четырёхимпульса.

Про пространственные компоненты вообще странно говорить в силу симметрии, а именно - изотропности задачи.

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Но рискну предположить, что законы Природы формулируются на тензорном языке

Законы природы формулируются на таком языке, как удобно нам. В ОТО инвариантным образом определяются как раз те величины, с которыми теория "не знает что делать", а потому и полагает их инвариантами. Например, энергия-импульс электромагнитного поля описывается истинным тензором, потому что ОТО - не теория электромагнитного поля, она не знает как его можно "устранить", а потому полагает его за данность. А вот в теории Клейна-Калуцы, насколько я помню, электромагнитное поле описывалось за счёт введения пятой координаты, причём заменой, затрагивающей все пять координат, можно было устранить электромагнитное поле, т.е. оно не описывалось истинным тензором/вектором. При этом заменой только четырёх координат (не затрагивая дополнительную, пятую) электромагнитное поле устранить не удаётся. Т.е. по отношению к таким преобразованиям оно - истинно векторное.

[Z.S.]

VladTK, у меня к Вам просьба.

Объясните пожалуйста, что Вы подразумеваете под термином "гравитация".
Какой смысл Вы вкладываете в понятие "гравитационное поле", в рамках
"геометрической формулировки ОТО".

Предлагаю рассмотреть мысленный опыт:

Пусть мимо наблюдателя, который покоится в некоторой инерциальной СО,
равномерно и прямолинейно, перемещается тонкостенная гравитирующая сфера.
Считаем гравитационное поле слабым. Скорость перемещения сферы намного меньше
скорости света в вакууме.

У наблюдателя есть универсальное приспособление для измерения плотности энергии и плотности
импульса, в некотором небольшом тарированном объеме, в составе измерительного устройства.

Наблюдатель производит "моментальные" измерения, в различных "точках",
вне сферической оболочки, на равном расстоянии от её центра.

По Вашему мнению, показания устройства будут нулевыми во всех точках?

epros, а что Вы думаете, на этот счет?

[Munin]

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Я не утверждаю, что всё, что не инвариантно "можно подкручивать как угодно". То что не является тензорами, преобразуется по своим законам при замене координат (типа связности).

"Инвариантно" и "тензоры" - вещи разные. Инвариантных вещей на свете больше, чем тензоры. Связность, при правильном использовании, тоже даёт инвариантное описание. Так что неинвариантные величины действительно можно подкручивать, как угодно. Ограничения на это "как угодно", если существуют, являются инвариантами.

-- 21.02.2012 16:01:10 --

epros в сообщении #541243 писал(а):

Эдак можно считать "источником поля" вообще что угодно.

Как же меня это достало... Я бы тоже мог на этом месте написать кучу гадостей о "религиозном поклонении частным производным", но не буду, потому что не хочу уподобляться в этом вам. Вы сами себе противоречите, но это скучно, поскольку обсудить с вами не получится. Жаль только, что в результате вы наиболее велеречивы в этой теме, люди только с вами общаются, а нормальную общепринятую физическую позицию защищать остаётся некому.

epros в сообщении #541243 писал(а):

В ОТО инвариантным образом определяются как раз те величины, с которыми теория "не знает что делать", а потому и полагает их инвариантами.

Странный взгляд на инварианты. Я бы выразился даже покрепче...

epros в сообщении #541243 писал(а):

А вот в теории Клейна-Калуцы, насколько я помню, электромагнитное поле описывалось за счёт введения пятой координаты, причём заменой, затрагивающей все пять координат, можно было устранить электромагнитное поле, т.е. оно не описывалось истинным тензором/вектором.

Вырисовывается, что по-вашему цель теории - устранить величины. Это ничего, что цель теории - их описать, а не устранить?

[schekn]

Someone в сообщении #541041 писал(а):

schekn в сообщении #540999 писал(а):

а затем совмещаем его с миром, где тензором кривизны отличен от нуля

Каким образом совмещаем?

Самый простой путь это как изложено в РТГ Логунова: суммирование плотностей тезора Минковского и реального гравитационного поля ( в духе Максвелла). Вы можете посмотреть это в начале его любой свежей монографии (например РТГ-2006 на рутрекере).

-- 21.02.2012, 16:19 --

Цитата:

="Munin в [url=http://dxdy.ru/post541074.html#p541074]сообщении #541074[/url

Хотя бы тому, что в мире не может быть двух тензоров кривизны. Пока теория монометрическая.

Согласен. Но есть попытка создания полевой теории, где используются два тензора. Вы закономерно спросите - зачем, если монометрическая теория со всем справляется. Но не просто так автор РТГ занялся строительством новой конструкции в гравитации, не только из-за амбиций. Вот как раз в этой теме я и пытался выяснить этот вопрос . Некоторое прояснение наступило. Но не удовлетворение. И Vlad_Tk это еще раз подтвердил.

[VladTK]

epros в сообщении #541243 писал(а):

По моим понятиям, линейным оператором как минимум обязано быть. То, что уравнения Эйнштейна определяют "источник поля" - это весьма вольная интерпретация. Возможно так и говорят иногда, но в этом есть некорректность. Эдак можно считать "источником поля" вообще что угодно.

Неее. Не что угодно, а лишь то что соответствует принципам теории. Для ОТО - это ПЭ в форме источника.

epros в сообщении #541243 писал(а):

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Запись же этих уравнений в нековариантном виде с правой частью $T^{i j} + t^{i j}$ есть просто переходная форма от геометрической к полевой формулировке.

Ковариантная или нековариантная формы записи уравнений - это без разницы. Всё равно они об одном и том же.

Дело же не в этом. В ОТО имеется три варианта уравнений поля:
1) "геометрические"

$$ R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\kappa T^{ik} $$

2) "переходные" - это то что приводите Вы

$$ -\frac{1}{g} \frac{\partial h^{ikl}}{\partial x^l} = T^{ik}+t^{ik} $$

и 3) "полевые"

$$ G^{ik} = T^{ik}_{matter}+T^{ik}_{gravitation} $$

где $G^{ik}$ - линейный оператор, действующий на тензорный гравитационный потенциал $\varphi^{ik}$, $T^{ik}_{matter}, T^{ik}_{gravitation}$ - тензоры энергии-импульса "вещества" и грав.поля соответственно. Это уравнение записано в пространстве-времени Минковского и фактически совпадает с уравнением поля спина 2.

Формулировка ПЭ в форме источника как раз и позволяет нам записать уравнения в виде 1) и 3). А вид 2) - это просто математический "мостик" между случаями 1) и 3). Т.е. имея большую математическую ценность для теории, с физической точки зрения он не очень важен.

epros в сообщении #541243 писал(а):

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

А какой энергией-импульсом обладает гравитация? Слабость Вашего подхода именно в этом.

Энергия-импульс гравитации определяется той величиной, которой не хватает до закона сохранения энергии-импульса остальной материи. В этом сила подхода. Для $T^{i j}$ нет никакого закона сохранения как раз потому, что в силу уравнений Эйнштейна эта величина не выражается линейным оператором от чего-то. Всё очень просто: Рисуем трубку между трёхмерными объёмами в моменты $t_1$ и $t_2$, разность интегралов от $T^{i j}$ по трёхмерным объёмам не равна потоку $T^{i j}$ через границы трубки. Та величина, которой не хватает до равенства, - это и есть $t^{i j}$.

Я Вам привел простой пример, когда Ваш метод ни к чему не приводит, а Вы все пытаетесь доказать мне что все в ажуре.

epros в сообщении #541243 писал(а):

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Остаются только пространственные компоненты. Они то и дают пространственные компоненты четырёхимпульса.

Про пространственные компоненты вообще странно говорить в силу симметрии, а именно - изотропности задачи.

Да - из однородности и изотропности пространства можно было бы ожидать некоторого поведения компонент 4-импульса. Однако расчет показывает обратное. Возможных выходов два. Либо я ошибся в расчетах, тогда достаточно пересчитать правильно и все встанет на место. Либо ошибки нет, и косяк заключается в определениях энергии-импульса в ОТО. Что выбираете?

epros в сообщении #541243 писал(а):

VladTK в сообщении #541216 писал(а):

Но рискну предположить, что законы Природы формулируются на тензорном языке

Законы природы формулируются на таком языке, как удобно нам...

В определенном смысле Вы правы. Например, второй закон Ньютона, сформулированный инвариантным образом

$$ m \frac{D u^{k}}{Ds} = \mathfrak{F}^{k} $$

остается справедливым как в нерелятивисткой, так и в релятивисткой механике. Ясно также, что такая форма куда удобнее, нежели если я буду этот закон расписывать каждый раз через трехмерные величины.

Z.S. в сообщении #541252 писал(а):

VladTK, у меня к Вам просьба.

Объясните пожалуйста, что Вы подразумеваете под термином "гравитация".
Какой смысл Вы вкладываете в понятие "гравитационное поле", в рамках
"геометрической формулировки ОТО"...

То же что и все. "Гравитация" - область явлений, связнанная с "гравитационным полем". "Гравитационное поле", в рамках "геометрической" формулировки ОТО определяется сильным ПЭ - эквивалентностью метрики и грав.поля.

Z.S. в сообщении #541252 писал(а):

...Предлагаю рассмотреть мысленный опыт:

Пусть мимо наблюдателя, который покоится в некоторой инерциальной СО,
равномерно и прямолинейно, перемещается тонкостенная гравитирующая сфера.
Считаем гравитационное поле слабым. Скорость перемещения сферы намного меньше
скорости света в вакууме.

У наблюдателя есть универсальное приспособление для измерения плотности энергии и плотности
импульса, в некотором небольшом тарированном объеме, в составе измерительного устройства.

Наблюдатель производит "моментальные" измерения, в различных "точках",
вне сферической оболочки, на равном расстоянии от её центра.

По Вашему мнению, показания устройства будут нулевыми во всех точках?...

В рамках ОТО я ответ и сам бы хотел услышать. Т.е. я его не знаю. В принципе, в "энергетике" ОТО я склоняюсь к мнению Munina: локальные законы сохранения есть, глобальных нет. С такой точки зрения Ваш вопрос почти лишен смысла.

[Munin]

schekn в сообщении #541296 писал(а):

Самый простой путь это как изложено в РТГ Логунова: суммирование плотностей тезора Минковского и реального гравитационного поля ( в духе Максвелла). Вы можете посмотреть это в начале его любой свежей монографии (например РТГ-2006 на рутрекере).

Понятно, у нас тут просто рупор Логунова завёлся. ОТО знать не хочет, учебники читать не хочет, а вот ссылаться на работы Логунова, которые знания ОТО требуют, - это пожалуйста.

schekn в сообщении #541296 писал(а):

Но есть попытка создания полевой теории, где используются два тензора.

Вы не поняли. Таких теорий (не попыток, а полноценных теорий) - множество, нарубить их - ничего не стоит, это называется "биметрические теории", и никакой новости в науке не представляет. И ценности особой тоже, поскольку монометрическая теория заведомо лучше. Биметрическая теория - это шаг назад, куда придётся отступить, если эксперименты заставят. Но пока не заставляют.

schekn в сообщении #541296 писал(а):

Но не просто так автор РТГ занялся строительством новой конструкции в гравитации, не только из-за амбиций.

Это вы, наверное, на основе личного знакомства с автором заявляете? Вы просто не в курсе ситуации (по вашим высказываниям, до смешного не в курсе), но встать горой на защиту того, о чём вы не в курсе, это вам не мешает.

schekn в сообщении #541296 писал(а):

Вот как раз в этой теме я и пытался выяснить этот вопрос .

Ни хрена не пытались. От чтения МТУ высокомерно отказались. Большей противоположности попыткам выяснить вопрос представить себе трудно.

schekn в сообщении #541296 писал(а):

Некоторое прояснение наступило.

Это ваша личная иллюзия. Прояснение возможно только при реальном знакомстве с ОТО и гравитацией, и с обстоятельствами возникновения РТГ. Вы успешно избегаете и того, и другого.

Ну и чёрт с вами.

-- 21.02.2012 18:10:31 --

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

ПЭ в форме источника

Я настаиваю, чтобы вы перестали это так называть. К принципу эквивалентности это положение не имеет никакого отношения, что мы уже выяснили (обратное есть ваше личное мнение).

[schekn]

Munin в сообщении #541318 писал(а):

schekn в
[quote="schekn в сообщении #541296 писал(а):

Некоторое прояснение наступило.

Это ваша личная иллюзия. Прояснение возможно только при реальном знакомстве с ОТО и гравитацией, и с обстоятельствами возникновения РТГ. Вы успешно избегаете и того, и другого. Ну и чёрт с вами.

Спасибо на добром слове и Вас туда же. Ничего конструктивного, одно желчное старческое брюзжание. Аргументов контректных от Вас не услышал, а только - "перечитать МТУ на ночь три раза". Вы сами выдумали себе учение в духе марксизма-ленинизма. А потом удивляетесь, что с вами никто не хочет общаться.
Я встаю иногда на позицию иного рода, чтобы понять контраргументы. Спокойной ночи.

[Munin]

schekn в сообщении #541401 писал(а):

Ничего конструктивного, одно желчное старческое брюзжание. Аргументов контректных от Вас не услышал, а только - "перечитать МТУ на ночь три раза".

Чтобы излагать вам что-то конструктивное, надо, чтобы вы были готовы это услышать. Хотя бы азбучные вещи знали. А пересказывать вам азбуку у меня желания не возникло.

schekn в сообщении #541401 писал(а):

Вы сами выдумали себе учение в духе марксизма-ленинизма.

Это вы выдумали себе такое учение. Логунов и всё.

schekn в сообщении #541401 писал(а):

А потом удивляетесь, что с вами никто не хочет общаться.

Я от недостатка собеседников не страдаю. Наоборот, могу себе иногда позволить роскошь выбирать, с кем общаться. Так что спасибо, я не удивляюсь тому, что вы написали.

schekn в сообщении #541401 писал(а):

Я встаю иногда на позицию иного рода, чтобы понять контраргументы.

Чтобы понять аргументы, надо не на позицию вставать. Надо знать больше о предмете.

[dinaconst]

epros в сообщении #541193 писал(а):

VladTK в сообщении #540948 писал(а):

В геометрической формулировке ОТО гравитационное поле не обладает каким-либо тензором энергии-импульса, а потому не дает вклада в источник (правую часть) уравнений поля. Источником здесь служит лишь тензор энергии-импульса "вещества".

Я не понимаю, что Вы здесь именуете "геометрической формулировкой ОТО". По моим понятиям есть одна ОТО,...

ОТО одна, это так. И только ОТО объясняет те явления, которые мы относим к гравитационным, особенностями геометрии пространства-времени и более ничем. VladTK, мне кажется, это и имеет тут в виду, хоть и выражается, действительно, не очень тут удачно.

Цитата:

... и одни и те же её уравнения можно записать в двух формах: или чтобы справа стоял $T^{i j}$, или выделить кусок из левой части и перенести его в правую под названием $t^{i j}$. Но в первой формулировке $T^{i j}$ не определяет никаких "источников", потому что слева стоит не дивергенция поля - линейный оператор, а нечто другое, нелинейное.

Я, например, согласилась бы, что в уравнениях ОТО правую часть ($T^{i j}$) нельзя назвать источником левой части в таком же смысле, в каком правую часть можно назвать источником левой части в случае электродинамики, например. Но назвать $T^{i j}$ "источником", просто в подражание электродинамике, мне кажется, вполне допустимо.

Цитата:

Источником гравитационного поля является энергия-импульс. И безразлично энергией-импульсом какого объекта он является - "тяготеющей материи" или "гравитации".

Конечно, энергия-импульс, это энергия-импульс.
Но, вроде бы, и хороводимся-то вокруг вопроса - обладает эта самая "гравитация" энергией-импульсом или нет?

[Someone]

schekn в сообщении #537762 писал(а):

Насколько я понимаю, отличить "настоящее гравитационное поле" от неинерциальной системы отсчета можно хотя бы по тензору кривизны.

dinaconst в сообщении #539227 писал(а):

До темы по ссылке я добралась, все-таки. И по гиперссылке, даже, до более ранней темы, где все это начали обсуждать. С удовольствием прочитала обе темы. Голова, конечно, кругом. Но, честно говоря, я не поняла, каким образом разбиравшийся там пример плоскосимметричной метрики дезавуирует утверждение schekn. Подумаю еще.

schekn в сообщении #539933 писал(а):

Собственно это не моё мнение. Его высказывает Логунов в нескольких работах. Я попытаюсь его воспроизвести. В ОТО как и в его теории существуют силы инерции и силы гравитации, но он считает, что они совершенно разной природы и их никак нельзя считать эквивалентными. Значит можно говорить о «полях» инерции и полях гравитации.

Разберём подробно тот пример eprosа, о котором идёт речь в сообщении http://dxdy.ru/post191870.html#p191870.

Рассмотрим пространство-время Минковского с координатами $\tau$, $\xi$, $\eta$, $\zeta$, метрика которого имеет вид

$$ds^2=c^2d\tau^2-d\xi^2-d\eta^2-d\zeta^2.\eqno{(1)}$$

Известно, что все символы Кристоффеля для этой метрики нулевые, и псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля тожественно равен нулю (выражение для псевдотензора взято из учебника Ландау и Лифшица, том 2). Все тела движутся по прямым с постоянными скоростями или покоятся. Никакой гравитации нет, есть только инерция. Уравнения движения свободных материальных точек можно записать в виде

$$\begin{cases}\xi=\xi_0+v_{\xi}\tau,\\ \eta=\eta_0+v_{\eta}\tau,\\ \zeta=\zeta_0+v_{\zeta}\tau.\end{cases}\eqno{(2)}$$

В сообщении http://dxdy.ru/post521437.html#p521437 было показано, что уравнение равноускоренного движения точки с ускорением $g>0$ (ускорение определяется в мгновенно сопутствующей точке инерциальной системе отсчёта) по прямой, параллельной оси $O\zeta$ можно привести к виду

$$\begin{cases}\zeta^2-c^2\tau^2=\frac{c^4}{g^2},\\ \xi=\xi_0,\ \eta=\eta_0\end{cases}\eqno{(3)}$$

(в отличие от указанного сообщения, здесь центр гиперболы находится в точке с координатами $\tau=0$, $\xi=\xi_0$, $\eta=\eta_0$, $\zeta=0$).

Вложение:

Hyperbola.gif [ 2.92 Кб | Просмотров: 2758 ]

Старая ссылка на рисунок перестала работать, поэтому загрузил рисунок на форум.
Someone 23/VI-2020.
Правая ветвь гиперболы изображает мировую линию точки, движущейся с ускорением $g$, а левая - с ускорением $-g$.

Рассмотрим две области

$$D_1:\begin{cases}\zeta^2-c^2\tau^2\geqslant\frac{c^4}{g^2},\\ \zeta>0\end{cases}\text{ и }D_2:\begin{cases}\zeta^2-c^2\tau^2\geqslant\frac{c^4}{g^2},\\ \zeta<0.\end{cases}\eqno{(4)}$$

"Склеим" из этих областей новое пространство-время, отождествив точки $(\tau,\xi,\eta,\zeta)$ и $(\tau,\xi,\eta,-\zeta)$, лежащие на границах областей $D_1$ и $D_2$ (то есть, удовлетворяющие условию $\zeta^2-c^2\tau^2=\frac{c^4}{g^2}$). Так как указанное соответствие между точками границ является изометрией этих границ, метрика (1) будет непрерывной на полученном многообразии, хотя гладкость будет нарушаться на поверхности склейки.

В сообщении http://dxdy.ru/post191870.html#p191870 утверждается, что это пространство-время является моделью гравитационного поля однородной гравитирующей плоскости. Проверим это. Для этого сделаем следующую замену координат:

$$\begin{cases}\tau=\begin{cases}\frac cg\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)\sh\frac{gt}c\text{ при }z\leqslant 0,\\ \frac cg\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\sh\frac{gt}c\text{ при }z\geqslant 0,\end{cases}\\ \xi=x,\\ \eta=y,\\ \zeta=\begin{cases}-\frac{c^2}g\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)\ch\frac{gt}c\text{ при }z\leqslant 0,\\ \frac{c^2}g\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\ch\frac{gt}c\text{ при }z\geqslant 0.\end{cases}\end{cases}\eqno{(5)}$$

Эта замена формально является двузначной в точках с $z=0$, однако оба образа (один из них лежит на границе области $D_1$, другой - на границе области $D_2$, так как выполняется равенство $\zeta^2-c^2\tau^2=\frac{c^4}{g^2}$) мы отождествили при "склейке" $D_1$ и $D_2$, поэтому на самом деле соответствие координат является взаимно однозначным.
Подставляя выражения (5) в метрику (1), получаем в новых координатах

$$ds^2=\left(1+\frac{g|z|}{c^2}\right)^2c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\eqno{(6)}$$

Ненулевые символы Кристоффеля в этой метрике следующие:

$$\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\begin{cases}-\frac g{c^2\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)}\text{ при }z<0,\\ \frac g{c^2\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)}\text{ при }z>0,\end{cases}\Gamma^3_{00}=\begin{cases}-g\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)\text{ при }z<0,\\ g\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\text{ при }z>0;\end{cases}(7)$$

что касается псевдотензора (Ландау и Лифшица) энергии-импульса гравитационного поля, то его ненулевые компоненты следующие:

$$t^{11}=t^{22}=-\frac{c^2g}{8\pi k},\eqno{(8)}$$

где $k$ - гравитационная постоянная.

Поправка. Написанное здесь выражение (8) неправильное, правильное выражение такое:

$$t^{11}=t^{22}=\frac{g^2}{8\pi k\left(1+\frac{g|z|}{c^2}\right)^2}.\eqno{(8')}$$

Подробности - далее в сообщении http://dxdy.ru/post542060.html#p542060.
Someone 23/II-2012.
Добавил знак абсолютной величины, чтобы выражение было справедливо при всех $z$.
Someone 27/II-2012.

Рассмотрим теперь движение свободной материальной точки в полученном пространстве-времени. Я буду рассматривать движение только в области $D_1$, где $z\geqslant 0$. Подставляя выражения (7) в уравнения движения $\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0$, получим уравнения

$$\begin{cases}\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{2g}{c^2\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)}\frac{dt}{ds}\frac{dz}{ds}=0,\\ \frac{d^2x}{ds^2}=0,\\ \frac{d^2y}{ds^2}=0,\\ \frac{d^2z}{ds^2}+g\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2=0.\end{cases}\eqno{(9)}$$

К этим уравнениям полезно добавить ещё одно уравнение, которое получается, если разделить равенство (6) на $ds^2$:

$$\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)^2c^2\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\left(\frac{dx}{ds}\right)^2-\left(\frac{dy}{ds}\right)^2-\left(\frac{dz}{ds}\right)^2=1.\eqno{(10)}$$

Систему уравнений (9), (10) можно проинтегрировать в явном виде, но проще сделать иначе. Подставляя $t=0$ в формулы (5), получим $\tau_0=0$, $\xi_0=x_0$, $\eta_0=y_0$, $\zeta_0=z_0+\frac{c^2}g$; теперь можно получить явные выражения $x$, $y$, $z$ через $t$, подставив выражения (5) в (2) (напоминаю, что $z\geqslant 0$):

$$\begin{cases}x=x_0+v_{\xi}\cdot\frac cg\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\sh\frac{gt}c,\\ y=y_0+v_{\eta}\cdot\frac cg\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\sh\frac{gt}c,\\ \frac{c^2}g\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\ch\frac{gt}c=z_0+\frac{c^2}g+v_{\zeta}\cdot\frac cg\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\sh\frac{gt}c.\end{cases}\eqno{(11)}$$

Из третьего уравнения находим

$$1+\frac{gz}{c^2}=\frac{1+\frac{gz_0}{c^2}}{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c};\eqno{(12)}$$

подставляя это выражение в первые два равенства (11) и выражая $z$ из (12), получим

$$\begin{cases}x=x_0+\frac{cv_{\xi}}g\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac{\sh\frac{gt}c}{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c},\\ y=y_0+\frac{cv_{\eta}}g\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac{\sh\frac{gt}c}{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c},\\ z=z_0+\frac{c^2}g\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\left(\frac 1{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c}-1\right).\end{cases}\eqno{(13)}$$

Дифференцируя выражения (13), найдём компоненты скорости:

$$\begin{cases}v_x=\frac{dx}{dt}=v_{\xi}\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac 1{\left(\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c\right)^2},\\ v_y=\frac{dy}{dt}=v_{\eta}\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac 1{\left(\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c\right)^2},\\ v_z=\frac{dz}{dt}=c\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac{\frac{v_{\zeta}}c\ch\frac{gt}c-\sh\frac{gt}c}{\left(\ch\frac{gt}c-\frac{v_{\zeta}}c\sh\frac{gt}c\right)^2}.\end{cases}\eqno{(14)}$$

Если в эти формулы подставить $t=0$, получим компоненты начальной скорости:

$$v_{x_0}=\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)v_{\xi},\ v_{y_0}=\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)v_{\eta},\ v_{z_0}=\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)v_{\zeta}.\eqno{(15)}$$

С помощью формул (15) можно полностью исключить параметры $v_{\xi}$, $v_{\eta}$, $v_{\zeta}$ из формул (13) и (14).

Рассмотрим классическую школьную задачу о бросании камня под углом к горизонту. В качестве начальных значений возьмём $x_0=y_0=z_0=0$, $v_{x_0}>0$, $v_{y_0}=0$, $v_{z_0}>0$. В этом случае $v_{\xi}=v_{x_0}$, $v_{\eta}=v_{y_0}=0$, $v_{\zeta}=v_{z_0}$. Подставляя эти значения в формулы (13) и (14), получим (игнорируя координату $y$, которая остаётся равной $0$)

$$\begin{cases}x=\frac{cv_{x_0}}g\cdot\frac{\sh\frac{gt}c}{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}c},\\ z=\frac{c^2}g\left(\frac 1{\ch\frac{gt}c-\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}c}-1\right),\end{cases}\eqno{(16)}$$

$$\begin{cases}v_x=v_{x_0}\cdot\frac 1{\left(\ch\frac{gt}c-\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}c\right)^2},\\ v_z=c\cdot\frac{\frac{v_{z_0}}c\ch\frac{gt}c-\sh\frac{gt}c}{\left(\ch\frac{gt}c-\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}c\right)^2}.\end{cases}\eqno{(17)}$$

Найдём наибольшую высоту подъёма. В соответствующей точке $v_z=0$. Из второй формулы (17) получаем $\frac{v_{z_0}}c\ch\frac{gt}c-\sh\frac{gt}c=0$, откуда $\th\frac{gt}c=\frac{v_{z_0}}c$. Подставляя значения $\ch\frac{gt}c=\frac 1{\sqrt{1-\th^2\frac{gt}c}}=\frac 1{\sqrt{1-\frac{v_{z_0}^2}{c^2}}}$ и $\sh\frac{gt}c=\frac{\th\frac{gt}c}{\sqrt{1-\th^2\frac{gt}c}}=\frac{\frac{v_{z_0}}c}{\sqrt{1-\frac{v_{z_0}^2}{c^2}}}$ во вторую формулу (16), найдём

$$z_{\max}=\frac{c^2}g\left(\frac 1{\sqrt{1-\frac{v_{z_0}^2}{c^2}}}-1\right)$$

(по школьной формуле получается $z_{\max}=\frac{v_{z_0}^2}{2g}$).

Найдём дальность полёта. В точке падения $z=0$. Из второй формулы (16) получаем $\ch\frac{gt}c-1-\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}c=0$; воспользовавшись формулами $\ch\frac{gt}c-1=2\sh^2\frac{gt}{2c}$ и $\sh\frac{gt}c=2\sh\frac{gt}{2c}\ch\frac{gt}{2c}$, получим $2\sh^2\frac{gt}{2c}-2\frac{v_{z_0}}c\sh\frac{gt}{2c}\ch\frac{gt}{2c}=0$, откуда либо $\sh\frac{gt}{2c}=0$, либо $\th\frac{gt}{2c}=\frac{v_{z_0}}c$. Первый случай соответствует моменту начала движения ($t=0$), а второй даёт момент падения

$$t_{\text{п}}=\frac{2c}g\mathop{\operatorname{Arth}}\frac{v_{z_0}}c$$

(по школьной формуле получается $t_{\text{п}}=\frac{2v_{z_0}}g$). Далее находим $\th\frac{gt}c=\frac{\th\frac{gt}{2c}}{1+\th^2\frac{gt}{2c}}=\frac{2\frac{v_{z_0}}c}{1+\frac{v_{z_0}^2}{c^2}}$; первую формулу (16) можно переписать в виде $x=\frac{cv_{x_0}}g\cdot\frac{\th\frac{gt}c}{1-\frac{v_{z_0}}c\th\frac{gt}c}$; подставив найденное значение $\th\frac{gt}c$, найдём координату точки падения:

$$x_{\text{п}}=\frac{2v_{x_0}v_{z_0}}{g\left(1-\frac{v_{z_0}^2}{c^2}\right)}$$

(по школьной формуле получается $x_{\text{п}}=\frac{2v_{x_0}v_{z_0}}g$).

Для примера возьмём $g=9{,}80665\text{ м/с}^2$, $c=299 792 458\text{ м/с}$, $v_{x_0}=v_{z_0}=10^8/\sqrt{2}\text{ м/с}$. Получаем:
максимальная высота полёта $z_{\max}=2{,}66084\cdot 10^{14}\text{ м}$ (классическая механика - $z_{\max}=2{,}54929\cdot 10^{14}\text{ м}$);
продолжительность полёта $t_{\text{п}}=1{,}46977\cdot 10^7\text{ с}$ (классическая механика - $t_{\text{п}}=1{,}4421\cdot 10^7\text{ с}$);
дальность полёта $x_{\text{п}}=1{,}07979\cdot 10^{15}\text{ м}$ (классическая механика - $x_{\text{п}}=1{,}01972\cdot 10^{15}\text{ м}$).

На графике показаны обе траектории - классическая (маленькая парабола) и релятивистская (большая, но не парабола).

Вложение:

Parabola.gif [ 3.34 Кб | Просмотров: 4485 ]

Поправка. По причине, которую сейчас установить уже невозможно, численные результаты и график для релятивистского движения были неправильными. Исправил.
Someone 15/I-2015.

Таким образом, ситуация у нас следующая. Наблюдатель, расположенный на нашей гравитирующей плоскости, видит настоящее гравитационное поле. Все тела вокруг него падают на эту самую плоскость с явным ускорением. Если не швырять камни со скоростью в треть световой, то их движение вполне можно рассчитывать по школьным формулам (если скорость уменьшить в десять раз, то разница в дальности полёта, рассчитанной по классической и по релятивистской формуле, составит меньше $0{,}055\%$). Поскольку гравитационное поле настоящее, то у него должны быть энергия и импульс, и если они описываются тензором, то этот тензор должен быть ненулевым.
Совершенно другую картину видит свободно падающий наблюдатель. Все предметы вокруг него движутся прямолинейно и равномерно. И в 10 метрах, и в 10 километрах, и в 10 миллиардах километров - пока не наткнутся на ускоренно движущееся препятствие. Вообще, пространство-время, которое он наблюдает, является частью пространства-времени Минковского. Никакого гравитационного поля нет. Нет и энергии-импульса гравитационного поля. И если они описываются тензором, то этот тензор явно нулевой.

schekn и dinaconst, может быть, Вы наконец снизойдёте до ответа на мои вопросы и объясните, какой-же тут тензор энергии-импульса гравитационного поля? Вам не кажется, что любой ответ будет неудовлетворительным? Зато псевдотензор явно ведёт себя правильно: он нулевой с точки зрения свободно падающего наблюдателя, для которого никакого гравитационного поля нет, и ненулевой с точки зрения наблюдателя, находящегося на нашей плоскости, для которого гравитационное поле присутствует.

[dinaconst]

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

epros в сообщении #541243 писал(а):

Ковариантная или нековариантная формы записи уравнений - это без разницы. Всё равно они об одном и том же.

Дело же не в этом. В ОТО имеется три варианта уравнений поля:

И, что "без разницы", и, что "в ОТО", ну никак не могу согласиться. Да, имеется три варианта, но, никак не в ОТО и разница огромная.

Цитата:

1) "геометрические"

$$ R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\kappa T^{ik} $$

Да, это ОТО. Тут энергией-импульсом обладает только так называемое "вещество" или "материя". У так называемой "гравитации" тут никакой энергии-импульса нет.

Цитата:

2) "переходные"

$$ -\frac{1}{g} \frac{\partial h^{ikl}}{\partial x^l} = T^{ik}+t^{ik} $$

Это, действительно, в некотором смысле "переходный" случай - уже не ОТО, но, еще и не полевая теория.
Уже не ОТО потому, что так называемая "гравитация" уже наделена тут соответствующей "энергетической буковкой". Но риманов фон дает этой "буковке" права лишь на псевдоэнергию-импульс. Поэтому, это, еще не полевая теория.

Цитата:

и 3) "полевые"

$$ G^{ik} = T^{ik}_{matter}+T^{ik}_{gravitation} $$

где $G^{ik}$ - линейный оператор, действующий на тензорный гравитационный потенциал $\varphi^{ik}$, $T^{ik}_{matter}, T^{ik}_{gravitation}$ - тензоры энергии-импульса "вещества" и грав.поля соответственно. Это уравнение записано в пространстве-времени Минковского и фактически совпадает с уравнением поля спина 2.

А, вот это, уже чисто полевая теория. Тут, так называемая "гравитация" или "гравитационное поле" наделены равными правами (в отношении ЭИ, в первую очередь) с так называемым "веществом" или "материей", т.е. с другими физическими полями.

[dinaconst]

schekn в сообщении #537762 писал(а):

Насколько я понимаю, отличить "настоящее гравитационное поле" от неинерциальной системы отсчета можно хотя бы по тензору кривизны.

dinaconst в сообщении #539227 писал(а):

Но, честно говоря, я не поняла, каким образом разбиравшийся там пример плоскосимметричной метрики дезавуирует утверждение schekn.

Someone в сообщении #541454 писал(а):

Рассмотрим пространство-время Минковского с координатами $\tau$, $\xi$, $\eta$, $\zeta$, метрика которого имеет вид

$$ds^2=c^2d\tau^2-d\xi^2-d\eta^2-d\zeta^2.\eqno{(1)}$$

...
...Правая ветвь гиперболы изображает мировую линию точки, движущейся с ускорением $g$, а левая - с ускорением $-g$.

Тут, замечу, на всякий случай, что Вы не отмечаете наличие физической причины ускорения этих точек в минковском. А это, в разбираемом вопросе, имеет, на мой взгляд, некоторое значение, о чем я ниже скажу.

Someone в сообщении #541454 писал(а):

В сообщении http://dxdy.ru/post191870.html#p191870 утверждается, что это пространство-время является моделью гравитационного поля однородной гравитирующей плоскости. Проверим это. ...
...Таким образом, ситуация у нас следующая. Наблюдатель, расположенный на нашей гравитирующей плоскости, видит настоящее гравитационное поле. Все тела вокруг него падают на эту самую плоскость с явным ускорением.
Поскольку гравитационное поле настоящее, то у него должны быть энергия и импульс, и если они описываются тензором, то этот тензор должен быть ненулевым.
Совершенно другую картину видит свободно падающий наблюдатель. Все предметы вокруг него движутся прямолинейно и равномерно. Вообще, пространство-время, которое он наблюдает, является частью пространства-времени Минковского. Никакого гравитационного поля нет. Нет и энергии-импульса гравитационного поля. И если они описываются тензором, то этот тензор явно нулевой.

Я никакой гравитирующей плоскости так и не разглядела. Я разглядела, сначала, две ракеты, ускоренные в минковском навстречу друг другу. А после всяких "склеиваний" и отождествления координат мировых линий этих ракет, стало можно, по-видимому, говорить и об одной ракете. Я, вроде бы, разглядела, что в "урезанном" минковском делается преобразование к такой криволинейной СК, в которой эта самая отождествленная ракета не меняет своих пространственных координат, а все неподвижные ранее тела летят мимо ракеты, в этой СК, с соответствующим, естественно, ускорением. Поскольку, в новой СК появляются ненулевые связности, то можно по рецепту ЛЛ2 построить некий псевдотензор, который можно глобально занулять, и это соответствует минковскости (т.е. отсутствию тензора кривизны) той части пространства-времени, в которой все рассматривается. Вот, примерно то, что я разглядела. И, в итоге, я могу повторить только то, что уже говорила:

dinaconst в сообщении #539227 писал(а):

Но, честно говоря, я не поняла, каким образом разбиравшийся там пример плоскосимметричной метрики дезавуирует утверждение schekn.

Someone в сообщении #541454 писал(а):

schekn и dinaconst, может быть, Вы наконец снизойдёте до ответа на мои вопросы и объясните, какой-же тут тензор энергии-импульса гравитационного поля? Вам не кажется, что любой ответ будет неудовлетворительным?

Могу, только, в очередной раз "отрекламировать" свою точку зрения. Я не связываю с так называемым "гравитационным полем", а строго говоря с пространством-временем, никаких силовых и, следовательно, энергетических характеристик. Ну, или наоборот, никаких энергетических и, следовательно, силовых характеристик.

Someone в сообщении #541454 писал(а):

Зато псевдотензор явно ведёт себя правильно: он нулевой с точки зрения свободно падающего наблюдателя, для которого никакого гравитационного поля нет, и ненулевой с точки зрения наблюдателя, находящегося на нашей плоскости, для которого гравитационное поле присутствует.

И особенности псевдотензора я не связываю напрямую с пространством-временем. Псевдотензор, на мой взгляд, связан не с пространством временем как таковым, а с тем обстоятельством, что, грубо говоря, "включать или выключать" гравитацию (глобально или локально, в зависимости от кривизны), можно только включая или выключая какой-то "ракетный двигатель", т.е. включая или выключая какое-нибудь "подходящее" взаимодействие. Т.е. псевдотензор я связываю с энергетикой этого образного "ракетного двигателя", этого "подходящего" взаимодействия.

[epros]

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

Не что угодно, а лишь то что соответствует принципам теории. Для ОТО - это ПЭ в форме источника.

Непонятно, что Вы тут подразумеваете под "принципами теории". Объясните пожалуйста, откуда именно Вы взяли, что правую часть уравнений Эйнштейна нужно трактовать как какие-то "источники"?

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

Дело же не в этом. В ОТО имеется три варианта уравнений поля:

Первое и второе - просто разные формы записи одного и того же уравнения (ковариантная и нековариантная). Третьего не существует и быть не может. Наверное потому что:

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

Это уравнение записано в пространстве-времени Минковского

а в ОТО в общем случае пространство-время НЕ Минковского.

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

Я Вам привел простой пример, когда Ваш метод ни к чему не приводит, а Вы все пытаетесь доказать мне что все в ажуре.

Я же Вам привёл простое доказательство, что не может быть не в ажуре, а Вы пытаетесь опровергнуть это какими-то корявыми вычислениями.

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

Да - из однородности и изотропности пространства можно было бы ожидать некоторого поведения компонент 4-импульса. Однако расчет показывает обратное. Возможных выходов два. Либо я ошибся в расчетах, тогда достаточно пересчитать правильно и все встанет на место. Либо ошибки нет, и косяк заключается в определениях энергии-импульса в ОТО. Что выбираете?

Ох-хо-хо. Выбора никакого нет, потому что возможный вариант только один: Вы ошиблись в расчётах. Ибо из изотропности задачи не "можно было бы ожидать", а просто с очевидностью и независимо ни от каких формул суперпотенциалов ДОЛЖНЫ следовать нулевые значения интегралов по замкнутой поверхности, соответствующие $P^{\alpha}$. Но "пересчитывать правильно" я не хочу, а предлагаю сделать это Вам.

VladTK в сообщении #541316 писал(а):

в "энергетике" ОТО я склоняюсь к мнению Munina: локальные законы сохранения есть, глобальных нет

Наверное это потому, что Вы что-то не то называете "локальными законами сохранения". Ибо локальные законы сохранения - это те же глобальные, только в пределе бесконечно малой области пространства-времени. Так что одно с другим однозначно связано:
Если Вы согласны с тем, что в заданной СО понятие трёхмерной "скорости материальной точки" (это локальная величина) имеет смысл, то и средний квадрат скоростей для N материальных точек (а это уже "интегральная" величина) Вы посчитать сможете (относительно той же СО). Нековариантность этих величин уж точно никак Вам не помешает.

[Someone]

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Тут, замечу, на всякий случай, что Вы не отмечаете наличие физической причины ускорения этих точек в минковском.

Видите ли, для движения воображаемой точки никакие физические причины не нужны. Мы можем вообразить совершенно произвольное её поведение. Вы можете совершенно спокойно этот абзац пропустить, это никак не повлияет на всё последующее.

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

А это, в разбираемом вопросе, имеет, на мой взгляд, некоторое значение, о чем я ниже скажу.

Воображаемая Вами причина ускорения воображаемых точек не имеет ни малейшего значения и никому, кроме Вас, не нужна.

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Я никакой гравитирующей плоскости так и не разглядела. Я разглядела, сначала, две ракеты, ускоренные в минковском навстречу друг другу. А после всяких "склеиваний" и отождествления координат мировых линий этих ракет, стало можно, по-видимому, говорить и об одной ракете. Я, вроде бы, разглядела, что в "урезанном" минковском делается преобразование к такой криволинейной СК, в которой эта самая отождествленная ракета не меняет своих пространственных координат, а все неподвижные ранее тела летят мимо ракеты, в этой СК, с соответствующим, естественно, ускорением.

Ага. Упрямства Вам не занимать. Если не хотите что-нибудь понимать - ни за что не поймёте. Такое поведение у нас может классифицироваться как троллинг с последующим блокированием тролля.

Давайте сравним то, что наблюдает человек, стоящий на поверхности Земли, и человек, стоящий на плоскости $z=0$ в пространстве-времени с метрикой (6). Обратите внимание, никакой ракеты у него нет, он стоит на плоскости, которая, с его точки зрения, никуда не летит, тем более - ускоренно. Оба наших наблюдателя "видят" (проведя соответствующие измерения) вокруг себя плоское евклидово пространство (для наблюдателя на плоскости - точно евклидово, для Земли - евклидово с очень высокой точностью). Оба ощущают, что некая сила прижимает их к поверхности, на которой они стоят. Оба, бросив камень, видят, что траектория камня загибается вниз, и камень падает на поверхность. Причём, чтобы обнаружить отличия в траекториях, требуются очень точные измерения. Они оба могут повторить эксперимент Паунда - Ребки и обнаружить гравитационное красное смещение. Оба (по крайней мере, теоретически) могут обнаружить отклонение световых лучей в гравитационном поле. Вы думаете, что поверхность, на которой стоит наш наблюдатель, куда-то движется с ускорением $g$? А который из них имеет основания так думать? Землянин? Или другой? Каждый из них (чисто теоретически) может прокопать вертикальную шахту насквозь того, на чём стоит, и посмотреть, что с другой стороны. И убедиться, что там точно то же самое, что и с его стороны: предметы не улетают прочь с ускорением $g$, а, как и с его стороны, падают на поверхность. Так в какую сторону ускоряется плоскость?

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

И, в итоге, я могу повторить только то, что уже говорила

Да, я вижу, что Вы ничего не понимаете. И ведёте себя точно так же, как и другие невежды: поучаете специалистов, как им следует понимать то, чего Вы сами не понимаете. Кстати, тех, кто упорно лезет в обсуждение, не понимая предмета обсуждения, у нас тоже, случается, блокируют. За злокачественное невежество.

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

И особенности псевдотензора я не связываю напрямую с пространством-временем. Псевдотензор, на мой взгляд, связан не с пространством временем как таковым, а с тем обстоятельством, что, грубо говоря, "включать или выключать" гравитацию (глобально или локально, в зависимости от кривизны), можно только включая или выключая какой-то "ракетный двигатель", т.е. включая или выключая какое-нибудь "подходящее" взаимодействие.

Какое "подходящее взаимодействие" включается и выключается при замене координат? Замена координат - чисто математическая процедура, к физике отношения не имеющая.

И, между прочим, гравитационное поле имеет энергию. Гравитационные волны переносят положительную энергию, которая сама порождает гравитационное поле. Если мы рассмотрим два неподвижных (относительно друг друга) пробных тела, то после прохождения гравитационной волны тела начинают сближаться. Это энергия гравитационной волны создала гравитационное поле, которое ускорило наши два тела по направлению друг к другу. (Это результат расчётов, выполненных в ОТО.)
Мощность гравитационного излучения Солнечной системы, связанного с движением планет, составляет единицы киловатт, и не видно шансов на обнаружение этой потери энергии. Однако существуют тесные системы пульсаров, в которых такая потеря энергии вполне обнаружима. Одна из таких систем - PSR 1913+16. В ней орбиты нейтронных звёзд постепенно уменьшаются в размерах из-за потери энергии с гравитационными волнами, причём, скорость потери энергии совпадает с тем, что можно вычислить с помощью того самого псевдотензора, который Вам так не нравится.

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Т.е. псевдотензор я связываю с энергетикой этого образного "ракетного двигателя", этого "подходящего" взаимодействия.

Где находится "ракетный двигатель" на Земле и где его источник энергии?

[Munin]

dinaconst в сообщении #541455 писал(а):

уже не ОТО

Идите учить матчасть. А то рассуждаете с нулевыми знаниями.

epros в сообщении #541488 писал(а):

Объясните пожалуйста, откуда именно Вы взяли, что правую часть уравнений Эйнштейна нужно трактовать как какие-то "источники"?

В любом ДУЧП правую часть нужно трактовать как источники. Если вы до сих пор не в курсе, чего вы вообще про источники рассуждаете?

epros в сообщении #541488 писал(а):

а в ОТО в общем случае пространство-время НЕ Минковского.

VladTK коряво выразился, а вы не поняли. Речь идёт о фоне Минковского, который в ОТО ввести можно всегда (в рамках одной карты хотя бы, но никого, кроме меня, похоже, в этой теме такие детали вообще не волнуют).

epros в сообщении #541488 писал(а):

Выбора никакого нет, потому что возможный вариант только один: Вы ошиблись в расчётах.

Проведите свои и укажите ошибку.

epros в сообщении #541488 писал(а):

Наверное это потому, что Вы что-то не то называете "локальными законами сохранения". Ибо локальные законы сохранения - это те же глобальные, только в пределе бесконечно малой области пространства-времени.

Ваше личное мнение здесь не указ, так как с литературой расходится.