Насколько я понимаю, отличить "настоящее гравитационное поле" от неинерциальной системы отсчета можно хотя бы по тензору кривизны.
До темы по ссылке я добралась, все-таки. И по гиперссылке, даже, до более ранней темы, где все это начали обсуждать. С удовольствием прочитала обе темы. Голова, конечно, кругом. Но, честно говоря, я не поняла, каким образом разбиравшийся там пример плоскосимметричной метрики дезавуирует утверждение schekn. Подумаю еще.
Собственно это не моё мнение. Его высказывает Логунов в нескольких работах. Я попытаюсь его воспроизвести. В ОТО как и в его теории существуют силы инерции и силы гравитации, но он считает, что они совершенно разной природы и их никак нельзя считать эквивалентными. Значит можно говорить о «полях» инерции и полях гравитации.
Разберём подробно тот пример
eprosа, о котором идёт речь в сообщении
http://dxdy.ru/post191870.html#p191870.
Рассмотрим пространство-время Минковского с координатами
,
,
,
, метрика которого имеет вид
Известно, что все символы Кристоффеля для этой метрики нулевые, и псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля тожественно равен нулю (выражение для псевдотензора взято из учебника Ландау и Лифшица, том 2). Все тела движутся по прямым с постоянными скоростями или покоятся. Никакой гравитации нет, есть только инерция. Уравнения движения свободных материальных точек можно записать в виде
В сообщении
http://dxdy.ru/post521437.html#p521437 было показано, что уравнение равноускоренного движения точки с ускорением
(ускорение определяется в мгновенно сопутствующей точке инерциальной системе отсчёта) по прямой, параллельной оси
можно привести к виду
(в отличие от указанного сообщения, здесь центр гиперболы находится в точке с координатами
,
,
,
).
Вложение:
Hyperbola.gif [ 2.92 Кб | Просмотров: 2703 ]
Старая ссылка на рисунок перестала работать, поэтому загрузил рисунок на форум.
Someone 23/VI-2020.
Правая ветвь гиперболы изображает мировую линию точки, движущейся с ускорением
, а левая - с ускорением
.
Рассмотрим две области
"Склеим" из этих областей новое пространство-время, отождествив точки
и
, лежащие на границах областей
и
(то есть, удовлетворяющие условию
). Так как указанное соответствие между точками границ является изометрией этих границ, метрика (1) будет непрерывной на полученном многообразии, хотя гладкость будет нарушаться на поверхности склейки.
В сообщении
http://dxdy.ru/post191870.html#p191870 утверждается, что это пространство-время является моделью гравитационного поля однородной гравитирующей плоскости. Проверим это. Для этого сделаем следующую замену координат:
Эта замена формально является двузначной в точках с
, однако оба образа (один из них лежит на границе области
, другой - на границе области
, так как выполняется равенство
) мы отождествили при "склейке"
и
, поэтому на самом деле соответствие координат является взаимно однозначным.
Подставляя выражения (5) в метрику (1), получаем в новых координатах
Ненулевые символы Кристоффеля в этой метрике следующие:
что касается псевдотензора (Ландау и Лифшица) энергии-импульса гравитационного поля, то его ненулевые компоненты следующие:
где
- гравитационная постоянная.
Поправка. Написанное здесь выражение (8) неправильное, правильное выражение такое:
Подробности - далее в сообщении
http://dxdy.ru/post542060.html#p542060.
Someone 23/II-2012.
Добавил знак абсолютной величины, чтобы выражение было справедливо при всех
.
Someone 27/II-2012.
Рассмотрим теперь движение свободной материальной точки в полученном пространстве-времени. Я буду рассматривать движение только в области
, где
. Подставляя выражения (7) в уравнения движения
, получим уравнения
К этим уравнениям полезно добавить ещё одно уравнение, которое получается, если разделить равенство (6) на
:
Систему уравнений (9), (10) можно проинтегрировать в явном виде, но проще сделать иначе. Подставляя
в формулы (5), получим
,
,
,
; теперь можно получить явные выражения
,
,
через
, подставив выражения (5) в (2) (напоминаю, что
):
Из третьего уравнения находим
подставляя это выражение в первые два равенства (11) и выражая
из (12), получим
Дифференцируя выражения (13), найдём компоненты скорости:
Если в эти формулы подставить
, получим компоненты начальной скорости:
С помощью формул (15) можно полностью исключить параметры
,
,
из формул (13) и (14).
Рассмотрим классическую школьную задачу о бросании камня под углом к горизонту. В качестве начальных значений возьмём
,
,
,
. В этом случае
,
,
. Подставляя эти значения в формулы (13) и (14), получим (игнорируя координату
, которая остаётся равной
)
Найдём наибольшую высоту подъёма. В соответствующей точке
. Из второй формулы (17) получаем
, откуда
. Подставляя значения
и
во вторую формулу (16), найдём
(по школьной формуле получается
).
Найдём дальность полёта. В точке падения
. Из второй формулы (16) получаем
; воспользовавшись формулами
и
, получим
, откуда либо
, либо
. Первый случай соответствует моменту начала движения (
), а второй даёт момент падения
(по школьной формуле получается
). Далее находим
; первую формулу (16) можно переписать в виде
; подставив найденное значение
, найдём координату точки падения:
(по школьной формуле получается
).
Для примера возьмём
,
,
. Получаем:
максимальная высота полёта
(классическая механика -
);
продолжительность полёта
(классическая механика -
);
дальность полёта
(классическая механика -
).
На графике показаны обе траектории - классическая (маленькая парабола) и релятивистская (большая, но не парабола).
Вложение:
Parabola.gif [ 3.34 Кб | Просмотров: 4430 ]
Поправка. По причине, которую сейчас установить уже невозможно, численные результаты и график для релятивистского движения были неправильными. Исправил.
Someone 15/I-2015.
Таким образом, ситуация у нас следующая. Наблюдатель, расположенный на нашей гравитирующей плоскости, видит настоящее гравитационное поле. Все тела вокруг него падают на эту самую плоскость с явным ускорением. Если не швырять камни со скоростью в треть световой, то их движение вполне можно рассчитывать по школьным формулам (если скорость уменьшить в десять раз, то разница в дальности полёта, рассчитанной по классической и по релятивистской формуле, составит меньше
). Поскольку гравитационное поле настоящее, то у него должны быть энергия и импульс, и если они описываются тензором, то этот тензор должен быть ненулевым.
Совершенно другую картину видит свободно падающий наблюдатель. Все предметы вокруг него движутся прямолинейно и равномерно. И в 10 метрах, и в 10 километрах, и в 10 миллиардах километров - пока не наткнутся на ускоренно движущееся препятствие. Вообще, пространство-время, которое он наблюдает, является частью пространства-времени Минковского. Никакого гравитационного поля нет. Нет и энергии-импульса гравитационного поля. И если они описываются тензором, то этот тензор явно нулевой.
schekn и
dinaconst, может быть, Вы наконец снизойдёте до ответа на мои вопросы и объясните, какой-же тут тензор энергии-импульса гравитационного поля? Вам не кажется, что любой ответ будет неудовлетворительным? Зато псевдотензор явно ведёт себя правильно: он нулевой с точки зрения свободно падающего наблюдателя, для которого никакого гравитационного поля нет, и ненулевой с точки зрения наблюдателя, находящегося на нашей плоскости, для которого гравитационное поле присутствует.