К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[dinaconst]

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Воображаемая Вами причина ускорения воображаемых точек не имеет ни малейшего значения и никому, кроме Вас, не нужна.

А на меня-то наплевать, что ли?

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Давайте сравним то, что наблюдает человек, стоящий на поверхности Земли, и человек, стоящий на плоскости $z=0$ в пространстве-времени с метрикой (6). ...

Я же Вам писала, вот это:

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Я, вроде бы, разглядела, что в "урезанном" минковском делается преобразование к такой криволинейной СК, в которой эта самая отождествленная ракета не меняет своих пространственных координат, а все неподвижные ранее тела летят мимо ракеты, в этой СК, с соответствующим, естественно, ускорением.

Из этого, разве не видно, что мне прекрасно будет все понятно про этих двух ваших наблюдателей. И вопрос у меня к Вам был другой, вот такой:
dinaconst в сообщении #539227 писал(а):
"...честно говоря, я не поняла, каким образом разбиравшийся там пример плоскосимметричной метрики дезавуирует утверждение schekn".

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Ага. Упрямства Вам не занимать. Если не хотите что-нибудь понимать - ни за что не поймёте. Такое поведение у нас может классифицироваться как троллинг с последующим блокированием тролля.

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Да, я вижу, что Вы ничего не понимаете. И ведёте себя точно так же, как и другие невежды: поучаете специалистов, как им следует понимать то, чего Вы сами не понимаете. Кстати, тех, кто упорно лезет в обсуждение, не понимая предмета обсуждения, у нас тоже, случается, блокируют. За злокачественное невежество.

Все подобное, я где-то раньше уже читала. Никто не заставляет Вас вести со мной диалог.

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Какое "подходящее взаимодействие" включается и выключается при замене координат? Замена координат - чисто математическая процедура, к физике отношения не имеющая.

Если Вы понимаете, что замена координат - чисто математическая процедура, то должны понимать, о каком и чего включении и выключении я говорю.

Someone в сообщении #541509 писал(а):

И, между прочим, гравитационное поле имеет энергию...

Спасибо за лекцию, но я не студентка.

Someone в сообщении #541509 писал(а):

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Т.е. псевдотензор я связываю с энергетикой этого образного "ракетного двигателя", этого "подходящего" взаимодействия.

Где находится "ракетный двигатель" на Земле и где его источник энергии?

Если Вы немного попрыгаете, то усталость Вам подскажет ответ на ваш вопрос.

[VladTK]

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Я никакой гравитирующей плоскости так и не разглядела...

Someone здорово расписал многие моменты, но увы, начал не с того. Была поставлена задача: имеется гравитирующая плоскость. Найти метрику вне этой плоскости. Можно в лоб решать уравнения Эйнштейна с граничными условиями. А можно построить решение так, как это сделал epros (а Someone его нам здесь прекрасно изложил). Может в такой постановке суть будет Вам яснее.

epros в сообщении #541488 писал(а):

Непонятно, что Вы тут подразумеваете под "принципами теории". Объясните пожалуйста, откуда именно Вы взяли, что правую часть уравнений Эйнштейна нужно трактовать как какие-то "источники"?

Из принципа эквивалентности.

epros в сообщении #541488 писал(а):

а в ОТО в общем случае пространство-время НЕ Минковского.

Вы спутали фон, на котором формулируется теория и физическое пространство-время.

epros в сообщении #541488 писал(а):

Ох-хо-хо. Выбора никакого нет, потому что возможный вариант только один: Вы ошиблись в расчётах. Ибо из изотропности задачи не "можно было бы ожидать", а просто с очевидностью и независимо ни от каких формул суперпотенциалов ДОЛЖНЫ следовать нулевые значения интегралов по замкнутой поверхности, соответствующие $P^{\alpha}$. Но "пересчитывать правильно" я не хочу, а предлагаю сделать это Вам.

Ок! Проделал еще раз вычисления. Вы правы. 4-импульс поля равен нулю!!! Хотя нулю не равны ни тензор кривизны Римана, ни тензор Риччи, ни тензор Эйнштейна. Хочу рассчитать еще компоненты псевдотензора энергии-импульса, но тут все очень громоздко (кстати, если 00-компонента этого псевдотензора ненулевая, то она пропорциональна $\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2$. Странно, не находите? Компонента ненулевая и строго монотонная, а интеграл от нее нулевой...). Я верно рассчитал компоненты суперпотенциалов. Они образуют однородное векторное поле в пространстве (компоненты зависят от времени, но не от пространственных координат). Поток такого поля через любую замкнутую поверхность действительно зануляется, а этого при интегрировании раньше я не учел. Это верно для любого суперпотенциала. Но вопрос о выборе суперпотенциала это не снимает. Еще бы очень хотелось услышать Ваше объяснение равенства нулю 4-импульса в данном случае. Как такое возможно?

epros в сообщении #541488 писал(а):

Наверное это потому, что Вы что-то не то называете "локальными законами сохранения". Ибо локальные законы сохранения - это те же глобальные, только в пределе бесконечно малой области пространства-времени. Так что одно с другим однозначно связано:
Если Вы согласны с тем, что в заданной СО понятие трёхмерной "скорости материальной точки" (это локальная величина) имеет смысл, то и средний квадрат скоростей для N материальных точек (а это уже "интегральная" величина) Вы посчитать сможете (относительно той же СО). Нековариантность этих величин уж точно никак Вам не помешает.

Нет, не согласен. Локальные законы сохранения по сути представляют собой лишь связь между производными. Чтобы из них следовали интегральные сохраняющеся величины, пространство-время обязано обладать некоторыми глобальными свойствами симметрии. В общем случае, пространство-время ОТО такими свойствами не обладает, а потому и интегральных сохраняющихся величин не допускает.

[KVV]

Someone
Может быть я что-то пропустил... Но хотелось бы узнать, почему моделью гравитационного поля однородной гравитирующей плоскости является именно решение а), но не решение б) из post130377.html#p130377 ?

[Jnrty]

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Я же Вам писала, вот это:

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Я, вроде бы, разглядела, что в "урезанном" минковском делается преобразование к такой криволинейной СК, в которой эта самая отождествленная ракета не меняет своих пространственных координат, а все неподвижные ранее тела летят мимо ракеты, в этой СК, с соответствующим, естественно, ускорением.

Куда "мимо"? Имеется плоскость, на которую с ускорением падают тела. И с одной стороны, и с другой. Как должна двигаться ракета, чтобы тела двигались ускоренно навстречу друг другу? Не забывайте, что всё происходит в евклидовом пространстве и плоском (за исключением плоскости $z=0$) пространстве-времени.
Ответ обязателен. Причём, по существу. Ни в коем случае не отписка.

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Все подобное, я где-то раньше уже читала. Никто не заставляет Вас вести со мной диалог.

Дело не в Someone, а в том, что Вы ведёте себя некорректно и нарушаете правила.

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Какое "подходящее взаимодействие" включается и выключается при замене координат? Замена координат - чисто математическая процедура, к физике отношения не имеющая.

Если Вы понимаете, что замена координат - чисто математическая процедура, то должны понимать, о каком и чего включении и выключении я говорю.

Ответ по существу будет или нет?

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Someone в сообщении #541509 писал(а):

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Т.е. псевдотензор я связываю с энергетикой этого образного "ракетного двигателя", этого "подходящего" взаимодействия.

Где находится "ракетный двигатель" на Земле и где его источник энергии?

Если Вы немного попрыгаете, то усталость Вам подскажет ответ на ваш вопрос.

Ответ по существу будет?

Или Вас заблокировать за постоянное нарушение правил форума? Вы ведь далеко не первый раз уклоняетесь от ответов. А по правилам форума для дискуссионных разделов, участники, поддерживающие альтернативные теории, обязаны отвечать на вопросы, относящиеся к теме дискуссии. Причём, отвечать по существу, а не отписками типа "сам догадайся".

Jnrty:

Пока - предупреждение за уклонение от ответов на вопросы, относящиеся к теме дискуссии.

[dinaconst]

VladTK в сообщении #541597 писал(а):

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Я никакой гравитирующей плоскости так и не разглядела...

Можно в лоб решать уравнения Эйнштейна с граничными условиями. А можно построить решение так, как это сделал epros (а Someone его нам здесь прекрасно изложил). Может в такой постановке суть будет Вам яснее.

schekn отличает "настоящую" гравитацию от "неинерциальности" по наличию или отсутствию тензора кривизны. Он пользуется таким критерием. Ему приводят пример гравитации, которая по его критерию однозначно подпадает под "неинерциальность", но которую приводящие пример классифицируют как "настоящую". Меня не заботит вопрос - "настоящая" или нет? Но, если критерий schekn прост и вполне до меня доходчив, то, каким критерием пользуются приводящие и записывающие пример в графу "настоящая", до меня не доходит. Надеюсь, что не навсегда.

[dinaconst]

Jnrty в сообщении #541661 писал(а):

Или Вас заблокировать за постоянное нарушение правил форума?

Я этот вопрос не решаю.

Цитата:

Вы ведь далеко не первый раз уклоняетесь от ответов.

Я не на допросе.

Цитата:

А по правилам форума для дискуссионных разделов, участники, поддерживающие альтернативные теории, обязаны отвечать на вопросы, относящиеся к теме дискуссии.

Никаких альтернативных теорий я не поддерживаю.

Цитата:

Причём, отвечать по существу, а не отписками типа "сам догадайся".

В моих ответах нигде не встречается словосочетание "сам догадайся".

[Jnrty]

dinaconst в сообщении #541790 писал(а):

Jnrty в сообщении #541661 писал(а):

Или Вас заблокировать за постоянное нарушение правил форума?

Я этот вопрос не решаю.

А я у Вас не спрашиваю.

dinaconst в сообщении #541790 писал(а):

Цитата:

Вы ведь далеко не первый раз уклоняетесь от ответов.

Я не на допросе.

Цитата:

А по правилам форума для дискуссионных разделов, участники, поддерживающие альтернативные теории, обязаны отвечать на вопросы, относящиеся к теме дискуссии.

Никаких альтернативных теорий я не поддерживаю.

Вы в разделе "Дискуссионные темы" критикуете теорию, которая в настоящее время считается стандартной. Никаких противоречий эксперименту у этой теории пока нет. Поэтому, согласно правилам этого раздела, Вы обязаны чётко аргументировать свои утверждения и отвечать на вопросы по существу.

dinaconst в сообщении #541790 писал(а):

Цитата:

Причём, отвечать по существу, а не отписками типа "сам догадайся".

В моих ответах нигде не встречается словосочетание "сам догадайся".

Давайте посмотрим.

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Someone в сообщении #541509 писал(а):

Какое "подходящее взаимодействие" включается и выключается при замене координат? Замена координат - чисто математическая процедура, к физике отношения не имеющая.

Если Вы понимаете, что замена координат - чисто математическая процедура, то должны понимать, о каком и чего включении и выключении я говорю.

dinaconst в сообщении #541571 писал(а):

Someone в сообщении #541509 писал(а):

dinaconst в сообщении #541471 писал(а):

Т.е. псевдотензор я связываю с энергетикой этого образного "ракетного двигателя", этого "подходящего" взаимодействия.

Где находится "ракетный двигатель" на Земле и где его источник энергии?

Если Вы немного попрыгаете, то усталость Вам подскажет ответ на ваш вопрос.

dinaconst в сообщении #541191 писал(а):

Someone в сообщении #541176 писал(а):

dinaconst в сообщении #541147 писал(а):

Возможно, все не так, как мне видится.

"Не так" - это как?

Вот не так - "Вот VladTK, мне кажется, тоже это подмечает. Потому, мне кажется, и постарался, эту мысль четко выделить."

Дело вовсе не в словах "сам догадайся". Вот примеры из недавних Ваших сообщений, где Вы уклонялись от ответа.

Итак, где ответы по существу?

Jnrty:

Предупреждение за дискуссию с модератором в неположенном месте.

[Someone]

dinaconst в сообщении #541766 писал(а):

schekn отличает "настоящую" гравитацию от "неинерциальности" по наличию или отсутствию тензора кривизны. Он пользуется таким критерием. Ему приводят пример гравитации, которая по его критерию однозначно подпадает под "неинерциальность", но которую приводящие пример классифицируют как "настоящую". Меня не заботит вопрос - "настоящая" или нет? Но, если критерий schekn прост и вполне до меня доходчив, то, каким критерием пользуются приводящие и записывающие пример в графу "настоящая", до меня не доходит. Надеюсь, что не навсегда.

Я уже писал, что три года тому назад я думал так же, как schekn, и пытался различать "настоящие" и "ненастоящие" гравитационные поля. Разобравшись в обсуждаемом сейчас примере, я пришёл к выводу, что Munin прав, и что все гравитационные поля настоящие. Но есть устранимые и есть неустранимые гравитационные поля. Гравитационное поле в некоторой области является устранимым, если в этой области можно устроить замену координат, приводящую метрику к стандартному виду $ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$, что в односвязной области равносильно тому, что кривизна во всей области равна нулю.

Гравитационное поле, описываемое метрикой (6), является устранимым отдельно в области $z>0$ и отдельно в области $z<0$, но не является устранимым во всём пространстве-времени. Преобразование (5) является разрывным на плоскости $z=0$ и отображает пространство-время с метрикой (6) на две отдельные области $D_1$ и $D_2$ в пространстве-времени Минковского. Чтобы избавиться от разрыва, мы должны склеить границы этих областей, а сделать это, оставаясь в пространстве-времени Минковского, невозможно.

Плоскость $z=0$ - это поверхностный слой с некоторым поверхностным тензором энергии-импульса. Слой нулевой толщины - это, конечно, идеализация. Можно заменить его слоем положительной толщины, подобрав тензор энергии-импульса так, чтобы метрический тензор, определяемый из уравнений Эйнштейна, и его производные нужных порядков были непрерывными. Однако внутри этого слоя кривизна заведомо будет ненулевой, и гравитационное поле сразу во всём пространстве-времени будет заведомо неустранимым.

Гравитационное поле, "возникающее" в пространстве-времени Минковского в неинерциальной системе отсчёта, заведомо является устранимым во всём пространстве-времени, поэтому Ваши попытки свести метрику (6) к неинерциальной системе отсчёта обречены на неудачу. Если Вы будете продолжать утверждать, что никакого "настоящего" гравитационного поля в метрике (6) нет, а есть только ускорение мифической "ракеты", я буду требовать предъявить эту "ракету" явным образом: вы должны будете определить движение этой "ракеты" в пространстве-времени Минковского таким образом, чтобы в её системе отсчёта тела в областях $z>0$ и $z<0$ ускорялись навстречу друг другу точно так же, как в метрике (6).

KVV в сообщении #541648 писал(а):

Someone
Может быть я что-то пропустил... Но хотелось бы узнать, почему моделью гравитационного поля однородной гравитирующей плоскости является именно решение а), но не решение б) из http://dxdy.ru/post130377.html#p130377?

Ну, я не смог "прицепить" гравитирующую плоскость к решению б). А с решением а), как видите, всё очень хорошо получается.

[VladTK]

Someone в сообщении #541454 писал(а):

...Подставляя выражения (5) в метрику (1), получаем в новых координатах

$$ds^2=\left(1+\frac{g|z|}{c^2}\right)^2c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\eqno{(6)}$$

Ненулевые символы Кристоффеля в этой метрике следующие:

$$\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\begin{cases}-\frac g{c^2\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)}\text{ при }z<0,\\ \frac g{c^2\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)}\text{ при }z>0,\end{cases}\Gamma^3_{00}=\begin{cases}-g\left(1-\frac{gz}{c^2}\right)\text{ при }z<0,\\ g\left(1+\frac{gz}{c^2}\right)\text{ при }z>0;\end{cases}(7)$$

что касается псевдотензора (Ландау и Лифшица) энергии-импульса гравитационного поля, то его ненулевые компоненты следующие:

$$t^{11}=t^{22}=-\frac{c^2g}{8\pi k},\eqno{(8)}$$

где $k$ - гравитационная постоянная...

Someone не могли бы Вы объяснить причины своего выбора псевдотензора Ландау-Лифшица? Почему именно он, а не какой-нибудь другой (Эйнштейна, Меллера, Мицкевича, Папапетру и т.д.)?

Munin в сообщении #541537 писал(а):

VladTK коряво выразился, а вы не поняли. Речь идёт о фоне Минковского, который в ОТО ввести можно всегда (в рамках одной карты хотя бы, но никого, кроме меня, похоже, в этой теме такие детали вообще не волнуют).

По поводу "рамок одной карты". Можно ли понимать Ваши слова Munin как утверждение, что полевая и геометрическая формулировки ОТО математически не эквивалентны (по крайней мере не полностью эквивалентны)?

[Someone]

VladTK в сообщении #541899 писал(а):

Someone не могли бы Вы объяснить причины своего выбора псевдотензора Ландау-Лифшица?

Его выражение у меня под рукой, а остальные надо ещё где-то разыскивать...

[Z.S.]

Someone, к вопросу о "настоящих" и "ненастоящих" гравитационных полях,
можно рассмотреть следующий мысленный опыт:

Имеется небольшая закрытая кабина. В кабине находится тележка с гироскопом.
Ось вращения гироскопа перпендикулярна полу кабины.
Тележка движется прямолинейно, с постоянной скоростью, относительно пола кабины.

Случай 1.
Кабина установлена неподвижно на гравитирующей плоскости.

Случай 2.
Кабина движется с постоянным собственным ускорением в пустом пространстве.
(ускорение перпендикулярно полу кабины)

Случай 3.
Кабина находится в пустоте, в невесомости.

Случай4.
Кабина свободно падает на гравитирующую плоскость.

На Ваш взгляд, в каком из случаев не будет наблюдаться прецессия гироскопа?

[schekn]

To SOMEONE
Так если сходу, не вникая в вычисления, у Вас и у Epros получается что вы выбрасываете целый кусок пространства Минковского. Так делать нельзя, Вы должны задействовать все 4 квадранта. У Вас должна быть взаимооднозначное соответствие пространства Минковского и полученное в результате сшивки областей D1 и D2.
Можно по другому . На одном и том же многообразии М (x,y,z,t) можно задать разные римановы пространства , также как и конформные псевдоевклидовы пространства. Вначале вы задали пространство Минковского (1), , а получили в результате ни проективно псевдоевклидово пространство , ни комформно псевдоевклидово.

[Munin]

VladTK в сообщении #541899 писал(а):

По поводу "рамок одной карты". Можно ли понимать Ваши слова Munin как утверждение, что полевая и геометрическая формулировки ОТО математически не эквивалентны (по крайней мере не полностью эквивалентны)?

Я про это уже говорил: полевая формулировка эквивалентна геометрической в пределах одной карты, геометрическая позволяет рассматривать многообразия, занимающие несколько карт.

schekn в сообщении #541946 писал(а):

Так если сходу, не вникая в вычисления, у Вас и у Epros получается что вы выбрасываете целый кусок пространства Минковского. Так делать нельзя, Вы должны задействовать все 4 квадранта.

Это потрясающее невежество. Что вы нам тут голову морочили, будто ОТО знаете?

schekn в сообщении #541946 писал(а):

У Вас должна быть взаимооднозначное соответствие пространства Минковского и полученное в результате сшивки областей D1 и D2.

Нет, не должно быть. Не рассматривается пространство Минковского. Рассматривается пространство-время с гравитирующей плоскостью, отдельные области которого устроены как области пространства Минковского.

schekn в сообщении #541946 писал(а):

На одном и том же многообразии М (x,y,z,t) можно задать разные римановы пространства , также как и конформные псевдоевклидовы пространства.

Вы не в курсе, что такое риманово пространство и многообразие. Ваши представления ошибочны: многообразие в общем случае нельзя покрыть одной картой с координатами $(x,y,z,t)$ (не накладывая даже никаких ограничений на метрической тензор).

schekn в сообщении #541946 писал(а):

Вначале вы задали пространство Минковского (1), , а получили в результате ни проективно псевдоевклидово пространство , ни комформно псевдоевклидово.

Никогда, ни в начале, ни потом, там не задавалось пространство Минковского, а получено полноценное псевдориманово (кроме одной плоскости, причём и эту особенность можно устранить) пространство.

[VladTK]

Someone в сообщении #541919 писал(а):

VladTK в сообщении #541899 писал(а):

Someone не могли бы Вы объяснить причины своего выбора псевдотензора Ландау-Лифшица?

Его выражение у меня под рукой, а остальные надо ещё где-то разыскивать...

Я боялся услышать подобный ответ :)

Ну мне разыскивать ничего не пришлось - ЛЛ-2 и лекции Петрова http://www.astronet.ru/db/msg/1170672/node1.html под рукой. Вы, Someone, подкинули мне неплохой пример для исследуемой темы - "энергетики" ОТО. Мой пример с плоской метрикой ФРУ немного забуксовал вследствие странного зануления 4-импульса грав.поля. Ситуация парадоксальная: в системе имеется неустранимое гравитационное поле, но его 4-импульс в любом объеме равен нулю. Как это происходит надеюсь объяснит epros, а пока перейду к Вашему примеру с гравитирующей плоскостью.

К сожалению, Вы ошиблись с компонентами псевдотензора Ландау-Лифшица (неверная размерность). Я пересчитал их и сделал еще кое-что. Итак, у нас есть элемент интервала

$$ ds^2=\left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^2 c^2 dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 $$

и, соответственно, метрика

$$ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} \left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

с определителем $(-g)=\left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^2$

Найдем компоненты суперпотенциала Фрейда (этот суперпотенциал дает псевдотензор Ландау-Лифшица, формулы из ЛЛ-2 - (96.2), (96.3), (96.5) )

$$ {}^{LL} \psi^{\mu \nu \sigma}=\frac{1}{2 \kappa} \partial_{\alpha} [ (-g) (g^{\mu} g^{\sigma \alpha} - g^{\mu \sigma} g^{\nu \alpha}) ] $$

где $\kappa=\frac{8 \pi G}{c^4}$ - постоянная Эйнштейна, а прединдексы $LL$ обозначают Ландау-Лифшиц. Ненулевые компоненты суперпотенциала равны

$$ {}^{LL} \psi^{113}={}^{LL} \psi^{223}=-{}^{LL} \psi^{131}=-{}^{LL} \psi^{232}=\frac{g c^2}{8 \pi G} \left( 1+\frac{gz}{c^2} \right) $$

Рассчитаем 4-импульс поля в некотором объеме, охваченном замкнутой поверхностью (формула из ЛЛ-2 (96.16))

$$ {}^{LL} P^{\mu}=\frac{1}{c} \oint_{S} {}^{LL} \psi^{\mu 0 \alpha} df_{\alpha} $$

где $df_{\alpha}$ - элемент поверхности $S$. Все компоненты ${}^{LL} \psi^{\mu 0 \alpha}$ равны нулю, а потому и 4-импульс поля также нулевой. Ну здесь хотя бы этот результат не кажется очень уж странным - все-таки пространство-время плоское. Пошли дальше. Посчитаем псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля (т.е. псевдотензор Ландау-Лифшица). Для этого воспользуемся формулой (96.5) из ЛЛ-2, предварительно заметив, что тензор энергии-импульса "вещества" вне гравитирующей плоскости равен нулю, а потому обычная дивергенция суперпотенциала равна псевдотензору

$$ (-g) t^{\mu \nu}=\partial_{\sigma} {}^{LL} \psi^{\mu \nu \sigma} $$

Отсюда получаем ненулевые компоненты псевдотензора Ландау-Лифшица

$$ {}^{LL} t^{11}={}^{LL} t^{22}=\frac{g^2}{8 \pi G \left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^2} $$

В довершение повторим все вычисления для суперпотенциала Меллера (в лекциях Петрова формула (1.20))

$$ {}^{M} \psi^{\mu \alpha}_{\nu}=\frac{1}{2 \kappa} \sqrt{-g} g^{\mu \beta} g^{\alpha \rho} (\partial_{\beta} g_{\nu \rho}-\partial_{\rho} g_{\nu \beta}) $$

Ненулевые компоненты этого суперпотенциала равны

$$ {}^{M} \psi^{03}_{0}=-{}^{M} \psi^{30}_{0}=\frac{g c^2}{8 \pi G} \frac{1}{\left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)} $$

или для контравариантных компонент

$$ {}^{M} \psi^{003}=-{}^{M} \psi^{030}=\frac{g c^2}{8 \pi G} \frac{1}{\left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^2} $$

Опять рассчитаем 4-импульс поля в некотором объеме, охваченном замкнутой поверхностью

$$ {}^{M} P^{\mu}=\frac{1}{c} \oint_{S} {}^{M} \psi^{\mu 0 \alpha} df_{\alpha} $$

Компонента ${}^{M} \psi^{003}$ не равна нулю и к тому же в этой компоненты нетривиальная пространственная зависимость, а потому и 4-импульс поля будет уже ненулевой. Т.е. разные суперпотенциалы дают разные 4-импульсы грав.поля для одного и того же объема в одной СО. Мягко говоря - это загадочно... Ну и напоследок рассчитаю псевдотензор Меллера

$$ (-g) t^{\mu \nu}=\partial_{\sigma} {}^{M} \psi^{\mu \nu \sigma} $$

Единственная ненулевая компонента этого псевдотензора равна

$$ {}^{M} t^{00}=-\frac{g^2}{4 \pi G \left( 1+\frac{gz}{c^2} \right)^5} $$

Замечу мимоходом, что ни один псевдотензор не дает Ньютоновской плотности энергии

$$ \varepsilon_N = -\frac{g^2}{8 \pi G} $$

но это уже похоже не проблема.

[Munin]

VladTK в сообщении #542024 писал(а):

Мягко говоря - это загадочно...

Мягко говоря, это заранее понятно было, если текст читать между формулами...