К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[epros]

obar в сообщении #533006 писал(а):

Итак, ваше выражение сводится к стандартной формуле и как и другие подобные формулы подчинено асимптотическому условию (1).

obar, я ничего не имею против того, что при наличии указанной асимптотики выражение для массы сводится к указанному пределу. Я ведь утверждал более общую вещь: что при любой асимптотике указанное выражение для массы остаётся инвариантным при заменах радиальной координаты.

А асимптотику как раз можно "незаметно" подпортить. Например, выполнив такую замену радиальной координаты, что будет уже не $g_s \to r^2$, а, скажем: $g_s \to (1 + \alpha) r^2$, где $\alpha$ - некий параметр преобразования.

[obar]

epros в сообщении #533047 писал(а):

Я ведь утверждал более общую вещь: что при любой асимптотике указанное выражение для массы остаётся инвариантным при заменах радиальной координаты.

Вот как раз этого я и не увидел: выражение для массы справедлива лишь при выполнении (1).

[epros]

obar в сообщении #533101 писал(а):

epros в сообщении #533047 писал(а):

Я ведь утверждал более общую вещь: что при любой асимптотике указанное выражение для массы остаётся инвариантным при заменах радиальной координаты.

Вот как раз этого я и не увидел: выражение для массы справедлива лишь при выполнении (1).

Да откуда Вы это взяли?

Выполните замену: $r' = f(r)$ и убедитесь, что:

1) $g_{t t ,r} = g_{t t ,r'} \frac{d r'}{d r}$
2) $g_{r r} = g_{r' r'} \left( \frac{d r'}{d r} \right)^2$, т.е. $\sqrt{- g_{r r}} = \sqrt{- g_{r' r'}} \frac{d r'}{d r}$

Так что в формуле для $M(r)$ величина $\frac{d r'}{d r}$ сокращается. Очевидно, что в пределе $r \to \infty$ величина $M$ остаётся той же. Это не зависит от асимптотики. Можете, если хотите, попробовать замену $r' = r^2$ и получите ту же величину.

[dinaconst]

obar в сообщении #533006 писал(а):

На сколько я понимаю, ваша формула

$$M(r)=\frac{g_s g_{t t ,r}}{2 G g_{t t}\sqrt{-g_{r r}}}$$

выражает инертную массу, заключенную внутри сферы радиуса $r$. Чтобы найти полную массу $M$ нужно перейти к пределу $r\rightarrow\infty$.

Что такое "полная масса"? Поясните, пожалуйста.

[obar]

Мы говорим о разных вещах. Вы мне говорите, что ваше варажение для $M$ инвариантно относительно замены радиальной переменной. Я с этим согласен (и ни когда это не оспаривал). Я вам говорю другое. Предел для инертной массы

$$ M=\frac1{2G}\lim_{r\rightarrow\infty}\left(r^2\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}\right) $$

существует (не нулевой) лишь при выполнении (1). Я могу попытаться устроить такое распределение вещества в пространстве, что $\rho(r)\rightarrow0$ при $r\rightarrow\infty$, но $g_{00}(r)=1+O(1/r^\alpha)$ с $\alpha\neq1$.

-- Пн янв 30, 2012 18:03:36 --

Впрочем, наверное, не смогу (так, чтобы масса оставалась конечной).

[epros]

obar в сообщении #533124 писал(а):

Я вам говорю другое. Предел для массы

$$ M=\frac1{2G}\lim_{r\rightarrow\infty}\left(r^2\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}\right) $$

существует (не нулевой) лишь при выполнении (1).

Разумеется, у Вас же этот предел получился из предположений, что метрика имеет соответствующую асимптотику. Так в чём же тогда проблема? Вот есть инвариантное выражение для массы, которое для решения Шварцшильда даёт значение $M = \frac{r_g}{2 G}$, какие бы замены радиальной координаты мы ни делали. Почему мы теперь, опираясь на какие-то неинвариантные определения массы, должны считать, что в теории не всё гладко?

[obar]

С такими островными (да еще сферически симметричными) системами, конечно, ни каких трудностей не возникает. Я еще давно говорил (и это общеизвестно), что если система допускает существование времениподобного вектора Киллинга, то все о'k. Вы рассматриваете как раз такой случай. По настоящему проблемы начнутся при рассмотрении общего случая, когда ни каких симметрий нет.

[Someone]

А в общем случае есть какое-то понятие массы?

[epros]

Ну так, это не я рассматривал, а господа Логунов и Денисов рассматривали и почему-то нашли проблемы как раз в таком случае - статической, да ещё и островной системы.

Разумеется, в нестационарной задаче формулки получатся посложнее. По крайней мере, от устранимости энергии-импульса заменой координат (включающей и временную координату) никуда не деться - в этом естественным образом проявляется устранимость гравитации соответствующим выбором СО. Но чтобы при этом возникли странности, подобные тем, о которых заявляет "группа Логунова" ... позвольте в это не поверить.

[obar]

Someone в сообщении #533135 писал(а):

А в общем случае есть какое-то понятие массы?

Так о том и речь. В ЛЛ2, например, вводят понятие полной энергии (и импульса) вселенной в целом. Имеет ли это понятие смысл?

Но допустим даже, что мы интересуемся какой-либо островной системой, но вселенная на бесконечности не галилеева, а имеет какую-то кривую фоновую метрику. Что тогда?

[Someone]

obar в сообщении #533139 писал(а):

В ЛЛ2, например, вводят понятие полной энергии (и импульса) вселенной в целом.

Где-то мелькало, но сейчас бегло посмотрел и не нашёл. Не напомните, где именно?

Но то, что рассматривается в космологии - очень далеко не общий случай.

obar в сообщении #533139 писал(а):

Но допустим даже, что мы интересуемся какой-либо островной системой, но вселенная на бесконечности не галилеева, а имеет какую-то кривую фоновую метрику. Что тогда?

А зачем нам нужно рассматривать метрику на бесконечности? Вообще говоря, галилеева метрика "на бесконечности" - это условие замкнутости системы. Под "бесконечностью" нужно понимать такую зону вокруг системы, в которой гравитационное поле системы уже пренебрежимо мало, а влияние окружающих масс ещё пренебрежимо мало. Если такой зоны нет, то система не является замкнутой, и для неё понятия массы, энергии, импульса определены плохо. Как и в классической механике.

Вообще, я не понимаю этой проблемы. Например, в классической механике "полная" энергия системы ведёт себя нисколько не лучше: можно поделить систему на произвольные части и приписать каждой части произвольную "полную" энергию. Почему никто не устраивает истерик по этому поводу? Да, в ОТО энергия-импульс гравитационного поля выражается псевдотензором, а не тензором, как некоторым хотелось бы. Это как-то влияет на предсказания теории?

[schekn]

epros в сообщении #533138 писал(а):

Ну так, это не я рассматривал, а господа Логунов и Денисов рассматривали и почему-то нашли проблемы как раз в таком случае - статической, да ещё и островной системы.

Разумеется, в нестационарной задаче формулки получатся посложнее. По крайней мере, от устранимости энергии-импульса заменой координат (включающей и временную координату) никуда не деться - в этом естественным образом проявляется устранимость гравитации соответствующим выбором СО. Но чтобы при этом возникли странности, подобные тем, о которых заявляет "группа Логунова" ... позвольте в это не поверить.

К сожалению из ваших сообщений я так и не понял где ошибка в статьях Логунова. В ЛЛ-2 гравитационная масса определяется как постоянная в g00=1-2MG/r, при этом М - это выражение (100.23) из ЛЛ-2 -интеграл от $T_0^0$ по объему, как будто тело погружено в плоское пространство. Это разумеется инвариант относительно 3-х мерных преобразований. Пока я увидел одно существенное замечание, что Логунов использовал суперпотенциал не по Мёллеру, а по Ландау-Лифшицу. Так и должно быть , ведь он критикует псевдотензорное напрвление в рамках ЛЛ-2 и показывает его абсурдность. Если только в этом неточность статьи , то давайте двигаться дальше.

[dinaconst]

obar в сообщении #533124 писал(а):

-- Пн янв 30, 2012 18:03:36 --
Впрочем, наверное, не смогу (так, чтобы масса оставалась конечной).

Если имеется в виду то, что Вы называли "полной массой", то, видимо, да.

obar в сообщении #533139 писал(а):

Но допустим даже, что мы интересуемся какой-либо островной системой, но вселенная на бесконечности не галилеева, а имеет какую-то кривую фоновую метрику.

Островная система, это подсистема "вселенной"? Или, это и есть "вселенная"?

[schekn]

Цитата:

сообщении #533152. Вообще, я не понимаю этой проблемы. Например, в классической механике "полная" энергия системы ведёт себя нисколько не лучше: можно поделить систему на произвольные части и приписать каждой части произвольную "полную" энергию. Почему никто не устраивает истерик по этому поводу? Да, в ОТО энергия-импульс гравитационного поля выражается псевдотензором, а не тензором, как некоторым хотелось бы. Это как-то влияет на предсказания теории?

Вообще говоря это плохо, если полная энергия системы : массы самого тела и гравитационного поля вне его - зависит от выбора системы пространственных координат. Я привел пример, что в экспериментах масса инертная и тяжелая равны, а из формул ОТО получается, что нет в случае произвольной арифметизации пространства. К тому же если только рассматривать статью Шрединегера, из которой следует, что нельзя локализовать энергию ГР. поля, то как вы собираетесь иследовать гравитационные волны, если в одной системе они переносят энергию, а в другой нет?

[Someone]

schekn в сообщении #533174 писал(а):

как вы собираетесь иследовать гравитационные волны, если в одной системе они переносят энергию, а в другой нет?

Это из нелокализуемости энергии не следует. Чтобы такое утверждать, Вы должны рассмотреть гравитационную волну и продемонстрировать две системы координат, в одной из которых волна переносит энергию, а в другой - нет.

schekn в сообщении #533174 писал(а):

Я привел пример, что в экспериментах масса инертная и тяжелая равны

В ОТО нет гравитационной (тяжёлой) массы. Масса не является источником гравитационного поля и не реагирует на гравитационное поле. Инертная масса протяжённой системы уже в СТО является штукой маловразумительной. Вы лучше скажите: движение частицы, регистрируемое в опыте, изменится от того, что мы как-то испортили радиальную координату?