2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 12:04 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Задача
Найти ядро $\operatorname{ker}\Delta_{\pm x_0}$ линейного функционала $$\Delta_{\pm x_0}(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta(x-x_0)+\delta(x+x_0))\varphi(x)dx$$ на пространстве бесконечно-гладких убывающих на бесконечности функций $S$ над $\mathbb{R}$
Решение
$$\Delta_{\pm x_0}(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta(x-x_0)+\delta(x+x_0))\varphi(x)dx=$$ $$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)\varphi(x)dx+\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x+x_0)\varphi(x)dx=$$ $$=\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)$$
Ядро заданного функционала представляет собою множество всех функций из $S$, таких, что $\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)=0$: $$\operatorname{ker}\Delta_{\pm x_0}=\{\varphi|\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)=0, \varphi\in S\}.$$
Вывод:
В ядро заданного функционала входят функции из $S$, которые принимают равные, но противоположные по знаку значения в точках $\pm x_0$. К ним относятся в частности функции, которые обращаются в нуль в этих точках, а также, например, нечётно-симметричные функции и другие.

Проверьте пожалуйста решение.

Правильный ли я сделал вывод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 13:19 


15/01/09
549
Да, но плохо писать дельта-функцию под интегралом (это же функционал, а не функция):
$\Delta_{\pm x_0}(\varphi) = \langle (\delta(x-x_0) + \delta(x+x_0), \varphi(x) \rangle$


(Оффтоп)

Кстати, естественная область определения $\delta(x)$ это ВСЕ функции, непрерывные в нуле. То по своей природе у неё ядро намного более широкое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 21:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
profrotter в сообщении #521273 писал(а):
Правильный ли я сделал вывод?

Естественно, только чересчур уж (как это зачастую у Вас случается) долго. Надо было просто сказать: "очевидно, что значением этого функционала будет $\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)$".

Кстати, обозначение $\Delta_{\pm x_0}$ выглядит крайне странно. Обычно значком $\Delta$ принято в приличном опчестве помечать всё-таки какую-либо разность, и во всяком случае не сумму.

Nimza в сообщении #521281 писал(а):
плохо писать дельта-функцию под интегралом (это же функционал, а не функция)

Ну, это вполне простительный и достаточно общеупотребительный жаргон. Другое дело, что вот тут этот жаргон как раз и провоцирует написание необъяснимо длинных формулок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 21:44 


15/01/09
549

(Оффтоп)

ewert в сообщении #521425 писал(а):
Ну, это вполне простительный и достаточно общеупотребительный жаргон.

Интересно, откуда у людей вообще пошла привычка использовать такие обозначения? Ведь так и писать надо больше, и запутаться и применить недопустимые операции шансов больше. Кажется, легче уж интегральные функционалы писать в общей форме, чем произвольные функционалы в интегральной. Другое дело, что операции вводятся на основании операций в интегральных функционалах (дифференцирование, ...) --- не это ли причина распространённости жаргона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 22:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Nimza в сообщении #521446 писал(а):
Интересно, откуда у людей вообще пошла привычка использовать такие обозначения?

Nimza в сообщении #521446 писал(а):
Другое дело, что операции вводятся на основании операций в интегральных функционалах (дифференцирование, ...) --- не это ли причина распространённости жаргона?

Вот именно. Естественный функционал -- именно интегральный, дельта-функции же возникли лишь как результат абстрагирования тех функционалов на некий идеальный случай (в природе-то их не бывает). Отсюда и желание сохранить естественные обозначения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение29.12.2011, 22:35 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Nimza,ewert, благодарю за ответы. Для себя считаю естественным обозначать линейный оператор большой буквой. В некоторых книгах можно встретить обозначение, скажем, $\pi(x)$, но это не означает, что имеется ввиду число $\pi$. Мне думается, что обозначения дастаточно введены в поставке задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.01.2012, 21:28 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
С новым годом, дорогие товарищи!

Делаю упражнение из А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа - М.: "Наука", 1976, стр.128:
Пусть $F,F_1,...,F_n$ - такие линейные функционалы на линейном пространстве $L$, что из $F_1=...=F_n=0$ вытекает $F=0$. Тогда существуют такие постоянные $C_1,...,C_n$, что $F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ для любого $x \in L$.

Подскажите пожалуйста, как следует понимать задание?
1. Доказать, что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$
или
2. Доказать, что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$.

Судя по тексту, требуется 1-й вариант. Но меня смущает, скажем при $n=2$, то, что при $\operatorname{ker}F_1\cap\operatorname{ker}F_2\subseteq\operatorname{ker}F $ ничто (вроде как) не мешает найтись более чем двум элементам $x_1\in\operatorname{ker}F$ и $x_1\notin\operatorname{ker}F_1\cap\operatorname{ker}F_2$. И для них представление $F(x)=C_1F_1(x)+C_2F_2(x)$ не сможет обеспечить $F(x_1)=0$:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение02.01.2012, 23:40 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Докажем частное утверждение:
$$\operatorname{ker}F_1\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists C_1|F(x)=C_1F_1(x)\text{  }\forall x \in L$$
Доказательство

$$\forall x \in L\Rightarrow x=F_1(x)x_0+y,$$ где $x_0|F_1(x_0)=1$ - фиксированный элемент из $L$, $y\in \operatorname{ker}F_1$.
$$F(x)=F(F_1(x)x_0+y)=F_1(x)F(x_0)+F(y).$$
Так как $\operatorname{ker}F_1\subseteq\operatorname{ker}F$ и $y\in \operatorname{ker}F_1$, то $F(y)=0$ и
$$F(x)=F_1(x)F(x_0)$$
Обозначив $C_1=F(x_0)$ получим утверждение леммы.

Проверьте пожалуйста доказательство.

Снова не могу понять. Если $x_0$ оказывается вне ядра $F$, то $C_1\neq 0$ и для некоторого элемента, который не входит в ядро $F_1$, но входит в ядро $F$ получается некрасиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 01:01 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
profrotter в сообщении #522430 писал(а):
Снова не могу понять. Если $x_0$ оказывается вне ядра $F$, то $C_1\neq 0$ и для некоторого элемента, который не входит в ядро $F_1$, но входит в ядро $F$ получается некрасиво.
:mrgreen: Всё понял. Размерность $L/\operatorname{ker}F_1$ равна 1, поэтому вложение $\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F$ возможно только если $F=0$. Иначе получаем противоречие: с одной стороны размерность один остаётся вне ядра $F_1$, а с другой - только вне ядра $F$.

Стало быть смысл имеет всё-таки формулировка с равенством -- 2, а 1 лишь охватывает случай представления тождественно нулевого функционала в виде линейной комбинации любых других с тривиальным набором коэффициентов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 11:22 


10/02/11
6786
topic53395.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 11:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$, т.е. что всё пространство представляется в виде суммы $L=M+K$, где $M$ -- это линейная оболочка элементов $\{e_i\}$. (Эта сумма может оказаться не прямой, но это пока не важно.)

Если элементы $\{e_i\}$ линейно зависимы, то линейно зависимы и сами функционалы $\{f_i\}$. Дело в том, что в этом случае некоторая нетривиальная комбинация функционалов обращается в ноль на $M$ (просто потому, что размерность этой линейной оболочки оказывается меньше, чем количество функционалов), ну а на $K$ обращается в ноль вообще любая их линейная комбинация.

Так вот. Любой "опорный" элемент $e$ функционала $f$ может, как и любой другой, быть представлен в виде $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$. А поскольку по условию $f(z)=0$, элемент $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n$ также является "опорным" для $f$. Т.е. элементы $e,e_1,e_2,\ldots,e_n$ линейно зависимы -- а значит, зависимы и функционалы $f,f_1,f_2,\ldots,f_n$.

Это доказывает утверждение для случая, когда исходные функционалы $f_1,f_2,\ldots,f_n$ линейно независимы. Но мы всегда можем так считать: достаточно оставить в рассмотрении лишь базисный поднабор этих функционалов, поскольку добавление к нему линейно зависимых от них на пересечение ядер никак не повлияет.

А какое доказательство имели в виду Колмогоров с Фоминым -- не знаю. (Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 12:17 


10/02/11
6786
ewert
все проще гораздо

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 12:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #522505 писал(а):
все проще гораздо

Как?...
Ваша версия в предпоследнем посте -- гораздо сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 15:05 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
ewert, спасибо. Поразбираюсь с Вашей версией.

Немного поторопились конечно. :mrgreen: У меня тоже было полное доказательство, только я его хотел последовательно изложить.


Докажем второе частное утверждение: $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$

Доказательство

Зафиксируем элемент $x_0\in L$, такой, что $F(x_0)=1$. Тогда имеет место представление $x=F(x)x_0+y$, где $y\in \operatorname{ker}F$ и
$F_1(x)=F(x)F_1(x_0),...,F_n(x)=F(x)F_n(x_0)$, откуда $F(x)=C_1F_1(x)+...+C_nF_n(x)$


Докажем основное утверждение: $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$

Доказательство

На пересечении $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k$ построим линейный функционал $G=A_1F_1+...+A_nF_n$, такой что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}G$. (Такое построение возможно в силу второго частного утверждения, хотя возможно тут следует убедиться, что пересечение ядер является подпространством и проверить коразмерность)

Поскольку $\operatorname{ker}G\subseteq\operatorname{ker}F$, то в силу первого частного утверждения $F=CG=C_1F_1+...+C_nF_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 22:07 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
ewert в сообщении #522494 писал(а):
Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$
Мне думается, что эта посылка у Вас как раз соответствует случаю $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F$, ибо в случае $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F$ мы должны были бы записать $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z_1+\ldots+z_n$, где $z_1\in K_1\ldots z_n\in K_n$. Или есть гарантия, что все $z_1,...,z_n$ попадут в $K$?

У меня сомнительный момент тут:
profrotter в сообщении #522559 писал(а):
(Такое построение возможно в силу второго частного утверждения, хотя возможно тут следует убедиться, что пересечение ядер является подпространством и проверить коразмерность)

Речь всё-таки идёт о вложении. Пример совсем рядом - в этой теме в стартовом сообщении. Складываются два функционала и в ядре результата появляются нечётно-симметричные функции, которые никак не входили в ядра слагаемых.

Доказательство этого факта есть в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000 и его более подробную версию воспроизвёл Oleg Zubelevich. Я его видел, конечно же, но мне интересно именно простое доказательство, которое было бы доступно, скажем, слабым студентам - не математикам. Да и качественная сторона вопроса никак не поддаётся простой интуитивно-понятной трактовке.

:?: У меня теперь такой глупый, но важный вопрос. Вот есть некоторый линейный функционал $F$ и мы нашли два других $F_1,F_2$, так что пересечение ядер оказалось вложено в ядро первого, и записали $F=C_1F_1+C_2F_2$. Даёт ли рассматриваемое утверждение какую-нибудь гарантию, что не найдётся третий функционал, такой что $F_1,F_2,F_3$ -линейно-независимы и пересечение трёх ядер оказывается вложенным в ядро $F$, тогда $F=C_1F_1+C_2F_2+C_3F_3$, а предыдущая запись была просто частным случаем последней при $C_3=0$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group