Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.
Именно! Именно же! А то я сижу и пишу тут, откровенно говоря, бред, ничего не понимаю и никто меня не поправит. Я пойду нечестным путём и рассмотрю
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
- мерное линейное пространство
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
. В точечной (геометрической) интерпретации в нём ядро функционала (конечно тут о функционале говорить некорректно) представляет собою
![$N-1$ $N-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e35caf405a5e9b4afd75a0d338c4dc1282.png)
- плоскость (или просто плоскость). Пересечение
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
ядер тогда - это пересечение
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
штук
![$N-1$ $N-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e35caf405a5e9b4afd75a0d338c4dc1282.png)
- плоскостей, проходящих через нулевую точку. Это означает, что следующая система уравнений совместна:
![$$\begin{cases}
a_{1,1}x_1+...+a_{1,N}x_{N}=0\\
a_{2,1}x_1+...+a_{2,N}x_{N}=0\\
...\\
a_{n,1}x_1+...+a_{n,N}x_{N}=0\\
\end{cases}
$$ $$\begin{cases}
a_{1,1}x_1+...+a_{1,N}x_{N}=0\\
a_{2,1}x_1+...+a_{2,N}x_{N}=0\\
...\\
a_{n,1}x_1+...+a_{n,N}x_{N}=0\\
\end{cases}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/3/653d4a58ceae9c1ab425564d017de98e82.png)
Результатом пересечения является
![$N-r$ $N-r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/9/ea904b46938d4a7d6c369d055e899fb582.png)
- плоскость, где
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
- ранг основной матрицы системы. Поскольку мы предположили функционалы линейно-независимыми, все плоскости различны и ранг матрицы равен
![$r=n$ $r=n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/880574c17268de1fe3aacbbd9c5ba59682.png)
. Таким образом пересечение
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
штук
![$N-1$ $N-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e35caf405a5e9b4afd75a0d338c4dc1282.png)
- плоскостей имеет размерность
![$N-n$ $N-n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/d/37da842cc09d6afb19f036c0727aef2782.png)
или коразмерность
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Затрудняюсь оценить насколько честно я поступаю, обобщая это и на случай бесконечно-мерного пространства.
Сразу, как только это установлено, я делаю вывод, что запись
![$\operatorname{ker}F=\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ $\operatorname{ker}F=\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/3/fe3d2e3de977a9298e1e44f760b7a0b682.png)
означает, что все рассматриваемые функционалы являются линейно-зависимыми и из этой записи вытекает лишь
![$\operatorname{ker}F=\operatorname{ker}F_1=...=\operatorname{ker}F_n$ $\operatorname{ker}F=\operatorname{ker}F_1=...=\operatorname{ker}F_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26e9bdbd457ce3860e1b20bf742864a482.png)
. (Иначе просто невозможно обеспечить коразмерность 1 для
![$\operatorname{ker}F$ $\operatorname{ker}F$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/f/aafab7bb297b86cdb531cef2fbc06cf582.png)
) Линейную зависимость, собственно я и получил, когда рассматривал своё второе частное утверждение.
Сразу становится понятным, что запись
![$\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F_1$ $\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/b/39bc74209a53a55b49eed24ba88fcf3d82.png)
означает именно
![$\operatorname{ker}F_1= \operatorname{ker}F$ $\operatorname{ker}F_1= \operatorname{ker}F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/9/3591875f9c9379231382d602e042c2a782.png)
, так как вложение плоскостей эквивалентно их равенству.
Теперь, поскольку
![$\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/d/66d6817c456586869013ed3276e701b482.png)
имеет коразмерность
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, то возможно единственное представление любого элемента из
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
в виде:
![$$x=a_1x_1+...+a_nx_n+y,$$ $$x=a_1x_1+...+a_nx_n+y,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/7/bd741b50f994f931b0c15e3aa96491e782.png)
где
![$x_1,...,x_n\in L/\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ $x_1,...,x_n\in L/\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/4/5d457749b205ebbd33a5b5cde4ae3e6382.png)
, а
![$y\in \bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ $y\in \bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/7/a075f2e5745708be9a745519703a550482.png)
. Геометрический смысл этой записи понятен: к имеющимся в подпространстве
![$\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/d/66d6817c456586869013ed3276e701b482.png)
измерениям требуются ещё
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
для того, чтобы охватить всё пространство
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
.
Ну, а дальше, как Вы справедливо заметили, выбирая в качестве системы линейно-независимых элементов опорные элементы функционалов
![$F_1,...,F_n$ $F_1,...,F_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/8790945db69754042cde1fe1835c45db82.png)
, получим линейную зависимость для опорных элементов функционалов
![$x_0=a_1x_1+...+a_nx_n+y$ $x_0=a_1x_1+...+a_nx_n+y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/a/10aafff00a215f1c478e10a7ebb2f80c82.png)
(в этой системе количество элементов превосходит размерность пространства), откуда следует и линейная зависимость самих функционалов
![$F,F_1,...,F_n$ $F,F_1,...,F_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/5/86590e587e733de4f2489053a59dfb3882.png)
.
Но я пока так нигде и не увидел, что может определить достаточность значения
?Это утверждение есть, например, в книге А. Я. Хелемский, "Лекции по функциональном анализу", предложение 4.2.2. Доказательство там, по существу, совпадает с тем, что предложил Oleg Zubelevich.
MaximVD, благодраю за книжку. Но хочу обратить Ваше внимание, что
Oleg Zubelevich не предложил доказательство, а привёл его без ссылки на источник, а источник скрывает и до сих пор.
![:mrgreen: :mrgreen:](./images/smilies/icon_mrgreen.gif)
В приличных местах "такое не есть хорошо". Например, если на защите диссертиции обнаруживается, что некий факт защищающийся приписывает себе, то диссертацию могут снять с защиты.