Ядро линейного функционала

[ihq.pl]

mihaild, в принципе, можно проверить по индукции, не используя понятие линейной зависимости функционалов. При $n=1$ условие задачи равносильно условию $\ker f = \ker f_1$. Для $n=2$ либо $\ker f_1=\ker f_2$ либо $\ker f_1\ne \ker f_2$. Первый вариант очевиден. Во втором существуют вектора $e_1, e_2$ такие, что $f_i(e_j)=\delta_{ij}$. Пусть верно для $k$, проверим для $k+1$. Возможны два варианта. Либо ядро никакого из ф-лов семейства $f_1,...,f_{k+1}$ не содержит пересечение ядер остальных ф-лов этого семейства, и тогда существуют такие $e_1,...,e_{k+1}$, что $f_i(e_j)=\delta_{ij}$. Либо для некоторого $m, 1\le m\le k+1,$ ядро ф-ла $f_m$ содержит пересечение ядер остальных ф-лов из семейства $f_1,...,f_{k+1}$, и тогда $f_m$ можно представить в виде линейной комбинации остальных ф-лов этого семейства, а значит и $f$ - тоже.

[svv]

Мы рассматриваем конечномерный случай и отождествляем $L$ и $L^{**}$.
Пусть $F=\operatorname{span}\{ f_1,...,f_n\}\subset L^*$.
Пусть $K$ — подпространство таких векторов $x\in L$, что $f(x)=0$ для любого $f\in F$. Тогда $K=F^0$, т.е. $K$ — аннулятор $F$.
Пусть $g\in L^*$ и $g(x)=0$ для любого $x\in K$. Тогда $g\in K^0=(F^0)^0$.
Поскольку аннулятор аннулятора $F$ есть $F$, функционал $g$ является линейной комбинацией $f_1,...,f_n$.