mihaild, в принципе, можно проверить по индукции, не используя понятие линейной зависимости функционалов. При
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
условие задачи равносильно условию
![$\ker f = \ker f_1$ $\ker f = \ker f_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/e/bdefce31c73465728e94c5e2e6a2a14582.png)
. Для
![$n=2$ $n=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da60d8ce586cf444dfc2735588ee6cab82.png)
либо
![$\ker f_1=\ker f_2$ $\ker f_1=\ker f_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/e/5fe5caad9b1f555e52ad53e34de799d882.png)
либо
![$\ker f_1\ne \ker f_2$ $\ker f_1\ne \ker f_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16a94695b82b174364a4152b86bb29082.png)
. Первый вариант очевиден. Во втором существуют вектора
![$e_1, e_2$ $e_1, e_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/4/6e45973e67cf9bc08b5a479fe71e11c782.png)
такие, что
![$f_i(e_j)=\delta_{ij}$ $f_i(e_j)=\delta_{ij}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/8/38859e90c2d6d02ed6fb9fca82aecdee82.png)
. Пусть верно для
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, проверим для
![$k+1$ $k+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/3/33359de825e43daa97171e27f6558ae982.png)
. Возможны два варианта. Либо ядро никакого из ф-лов семейства
![$f_1,...,f_{k+1}$ $f_1,...,f_{k+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/e/41edae4fa866f939235f4d157b44613c82.png)
не содержит пересечение ядер остальных ф-лов этого семейства, и тогда существуют такие
![$e_1,...,e_{k+1}$ $e_1,...,e_{k+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/200f9372dbe58f1fcb65b1c8fbdd483a82.png)
, что
![$f_i(e_j)=\delta_{ij}$ $f_i(e_j)=\delta_{ij}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/8/38859e90c2d6d02ed6fb9fca82aecdee82.png)
. Либо для некоторого
![$m, 1\le m\le k+1,$ $m, 1\le m\le k+1,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/5/5d58567bb6ae88d867d70e7e118ae9e982.png)
ядро ф-ла
![$f_m$ $f_m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/b/0ebe2c05298ddee871173d6d59b50c5082.png)
содержит пересечение ядер остальных ф-лов из семейства
![$f_1,...,f_{k+1}$ $f_1,...,f_{k+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/e/41edae4fa866f939235f4d157b44613c82.png)
, и тогда
![$f_m$ $f_m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/b/0ebe2c05298ddee871173d6d59b50c5082.png)
можно представить в виде линейной комбинации остальных ф-лов этого семейства, а значит и
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
- тоже.