Ядро линейного функционала

[profrotter]

Задача
Найти ядро $\operatorname{ker}\Delta_{\pm x_0}$ линейного функционала

$$\Delta_{\pm x_0}(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta(x-x_0)+\delta(x+x_0))\varphi(x)dx$$

на пространстве бесконечно-гладких убывающих на бесконечности функций $S$ над $\mathbb{R}$
Решение

$$\Delta_{\pm x_0}(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta(x-x_0)+\delta(x+x_0))\varphi(x)dx=$$

$$=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)\varphi(x)dx+\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x+x_0)\varphi(x)dx=$$

$$=\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)$$

Ядро заданного функционала представляет собою множество всех функций из $S$, таких, что $\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)=0$:

$$\operatorname{ker}\Delta_{\pm x_0}=\{\varphi|\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)=0, \varphi\in S\}.$$

Вывод:
В ядро заданного функционала входят функции из $S$, которые принимают равные, но противоположные по знаку значения в точках $\pm x_0$. К ним относятся в частности функции, которые обращаются в нуль в этих точках, а также, например, нечётно-симметричные функции и другие.

Проверьте пожалуйста решение.

Правильный ли я сделал вывод?

[Nimza]

Да, но плохо писать дельта-функцию под интегралом (это же функционал, а не функция):

$\Delta_{\pm x_0}(\varphi) = \langle (\delta(x-x_0) + \delta(x+x_0), \varphi(x) \rangle$

(Оффтоп)

Кстати, естественная область определения $\delta(x)$ это ВСЕ функции, непрерывные в нуле. То по своей природе у неё ядро намного более широкое.

[ewert]

profrotter в сообщении #521273 писал(а):

Правильный ли я сделал вывод?

Естественно, только чересчур уж (как это зачастую у Вас случается) долго. Надо было просто сказать: "очевидно, что значением этого функционала будет $\varphi(x_0)+\varphi(-x_0)$".

Кстати, обозначение $\Delta_{\pm x_0}$ выглядит крайне странно. Обычно значком $\Delta$ принято в приличном опчестве помечать всё-таки какую-либо разность, и во всяком случае не сумму.

Nimza в сообщении #521281 писал(а):

плохо писать дельта-функцию под интегралом (это же функционал, а не функция)

Ну, это вполне простительный и достаточно общеупотребительный жаргон. Другое дело, что вот тут этот жаргон как раз и провоцирует написание необъяснимо длинных формулок.

[Nimza]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #521425 писал(а):

Ну, это вполне простительный и достаточно общеупотребительный жаргон.

Интересно, откуда у людей вообще пошла привычка использовать такие обозначения? Ведь так и писать надо больше, и запутаться и применить недопустимые операции шансов больше. Кажется, легче уж интегральные функционалы писать в общей форме, чем произвольные функционалы в интегральной. Другое дело, что операции вводятся на основании операций в интегральных функционалах (дифференцирование, ...) --- не это ли причина распространённости жаргона?

[ewert]

(Оффтоп)

Nimza в сообщении #521446 писал(а):

Интересно, откуда у людей вообще пошла привычка использовать такие обозначения?

Nimza в сообщении #521446 писал(а):

Другое дело, что операции вводятся на основании операций в интегральных функционалах (дифференцирование, ...) --- не это ли причина распространённости жаргона?

Вот именно. Естественный функционал -- именно интегральный, дельта-функции же возникли лишь как результат абстрагирования тех функционалов на некий идеальный случай (в природе-то их не бывает). Отсюда и желание сохранить естественные обозначения.

[profrotter]

Nimza,ewert, благодарю за ответы. Для себя считаю естественным обозначать линейный оператор большой буквой. В некоторых книгах можно встретить обозначение, скажем, $\pi(x)$, но это не означает, что имеется ввиду число $\pi$. Мне думается, что обозначения дастаточно введены в поставке задачи.

[profrotter]

С новым годом, дорогие товарищи!

Делаю упражнение из А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа - М.: "Наука", 1976, стр.128:
Пусть $F,F_1,...,F_n$ - такие линейные функционалы на линейном пространстве $L$, что из $F_1=...=F_n=0$ вытекает $F=0$. Тогда существуют такие постоянные $C_1,...,C_n$, что $F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ для любого $x \in L$.

Подскажите пожалуйста, как следует понимать задание?
1. Доказать, что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$
или
2. Доказать, что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$.

Судя по тексту, требуется 1-й вариант. Но меня смущает, скажем при $n=2$, то, что при $\operatorname{ker}F_1\cap\operatorname{ker}F_2\subseteq\operatorname{ker}F $ ничто (вроде как) не мешает найтись более чем двум элементам $x_1\in\operatorname{ker}F$ и $x_1\notin\operatorname{ker}F_1\cap\operatorname{ker}F_2$. И для них представление $F(x)=C_1F_1(x)+C_2F_2(x)$ не сможет обеспечить $F(x_1)=0$:

[profrotter]

Докажем частное утверждение:

$$\operatorname{ker}F_1\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists C_1|F(x)=C_1F_1(x)\text{ }\forall x \in L$$

Доказательство

$$\forall x \in L\Rightarrow x=F_1(x)x_0+y,$$

где $x_0|F_1(x_0)=1$ - фиксированный элемент из $L$, $y\in \operatorname{ker}F_1$.

$$F(x)=F(F_1(x)x_0+y)=F_1(x)F(x_0)+F(y).$$

Так как $\operatorname{ker}F_1\subseteq\operatorname{ker}F$ и $y\in \operatorname{ker}F_1$, то $F(y)=0$ и

$$F(x)=F_1(x)F(x_0)$$

Обозначив $C_1=F(x_0)$ получим утверждение леммы.

Проверьте пожалуйста доказательство.

Снова не могу понять. Если $x_0$ оказывается вне ядра $F$, то $C_1\neq 0$ и для некоторого элемента, который не входит в ядро $F_1$, но входит в ядро $F$ получается некрасиво.

[profrotter]

profrotter в сообщении #522430 писал(а):

Снова не могу понять. Если $x_0$ оказывается вне ядра $F$, то $C_1\neq 0$ и для некоторого элемента, который не входит в ядро $F_1$, но входит в ядро $F$ получается некрасиво.

Всё понял. Размерность $L/\operatorname{ker}F_1$ равна 1, поэтому вложение $\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F$ возможно только если $F=0$. Иначе получаем противоречие: с одной стороны размерность один остаётся вне ядра $F_1$, а с другой - только вне ядра $F$.

Стало быть смысл имеет всё-таки формулировка с равенством -- 2, а 1 лишь охватывает случай представления тождественно нулевого функционала в виде линейной комбинации любых других с тривиальным набором коэффициентов?

[Oleg Zubelevich]

topic53395.html

[ewert]

Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$, т.е. что всё пространство представляется в виде суммы $L=M+K$, где $M$ -- это линейная оболочка элементов $\{e_i\}$. (Эта сумма может оказаться не прямой, но это пока не важно.)

Если элементы $\{e_i\}$ линейно зависимы, то линейно зависимы и сами функционалы $\{f_i\}$. Дело в том, что в этом случае некоторая нетривиальная комбинация функционалов обращается в ноль на $M$ (просто потому, что размерность этой линейной оболочки оказывается меньше, чем количество функционалов), ну а на $K$ обращается в ноль вообще любая их линейная комбинация.

Так вот. Любой "опорный" элемент $e$ функционала $f$ может, как и любой другой, быть представлен в виде $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$. А поскольку по условию $f(z)=0$, элемент $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n$ также является "опорным" для $f$. Т.е. элементы $e,e_1,e_2,\ldots,e_n$ линейно зависимы -- а значит, зависимы и функционалы $f,f_1,f_2,\ldots,f_n$.

Это доказывает утверждение для случая, когда исходные функционалы $f_1,f_2,\ldots,f_n$ линейно независимы. Но мы всегда можем так считать: достаточно оставить в рассмотрении лишь базисный поднабор этих функционалов, поскольку добавление к нему линейно зависимых от них на пересечение ядер никак не повлияет.

А какое доказательство имели в виду Колмогоров с Фоминым -- не знаю. (Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.)

[Oleg Zubelevich]

ewert
все проще гораздо

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #522505 писал(а):

все проще гораздо

Как?...
Ваша версия в предпоследнем посте -- гораздо сложнее.

[profrotter]

ewert, спасибо. Поразбираюсь с Вашей версией.

Немного поторопились конечно. У меня тоже было полное доказательство, только я его хотел последовательно изложить.


Докажем второе частное утверждение: $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$

Доказательство

Зафиксируем элемент $x_0\in L$, такой, что $F(x_0)=1$. Тогда имеет место представление $x=F(x)x_0+y$, где $y\in \operatorname{ker}F$ и
$F_1(x)=F(x)F_1(x_0),...,F_n(x)=F(x)F_n(x_0)$, откуда $F(x)=C_1F_1(x)+...+C_nF_n(x)$


Докажем основное утверждение: $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F\Rightarrow \exists \{C_k\}|F(x)=\sum\limits_{k=1}^nC_kF_k(x)$ $\forall x \in L$

Доказательство

На пересечении $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k$ построим линейный функционал $G=A_1F_1+...+A_nF_n$, такой что $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}G$. (Такое построение возможно в силу второго частного утверждения, хотя возможно тут следует убедиться, что пересечение ядер является подпространством и проверить коразмерность)

Поскольку $\operatorname{ker}G\subseteq\operatorname{ker}F$, то в силу первого частного утверждения $F=CG=C_1F_1+...+C_nF_n$

[profrotter]

ewert в сообщении #522494 писал(а):

Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$

Мне думается, что эта посылка у Вас как раз соответствует случаю $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k=\operatorname{ker}F$, ибо в случае $\bigcap\limits_{k=1}^n\operatorname{ker}F_k\subseteq\operatorname{ker}F$ мы должны были бы записать $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z_1+\ldots+z_n$, где $z_1\in K_1\ldots z_n\in K_n$. Или есть гарантия, что все $z_1,...,z_n$ попадут в $K$?

У меня сомнительный момент тут:

profrotter в сообщении #522559 писал(а):

(Такое построение возможно в силу второго частного утверждения, хотя возможно тут следует убедиться, что пересечение ядер является подпространством и проверить коразмерность)

Речь всё-таки идёт о вложении. Пример совсем рядом - в этой теме в стартовом сообщении. Складываются два функционала и в ядре результата появляются нечётно-симметричные функции, которые никак не входили в ядра слагаемых.

Доказательство этого факта есть в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000 и его более подробную версию воспроизвёл Oleg Zubelevich. Я его видел, конечно же, но мне интересно именно простое доказательство, которое было бы доступно, скажем, слабым студентам - не математикам. Да и качественная сторона вопроса никак не поддаётся простой интуитивно-понятной трактовке.

У меня теперь такой глупый, но важный вопрос. Вот есть некоторый линейный функционал $F$ и мы нашли два других $F_1,F_2$, так что пересечение ядер оказалось вложено в ядро первого, и записали $F=C_1F_1+C_2F_2$. Даёт ли рассматриваемое утверждение какую-нибудь гарантию, что не найдётся третий функционал, такой что $F_1,F_2,F_3$ -линейно-независимы и пересечение трёх ядер оказывается вложенным в ядро $F$, тогда $F=C_1F_1+C_2F_2+C_3F_3$, а предыдущая запись была просто частным случаем последней при $C_3=0$?