теорема о факторизации для линейных пространств

[Oleg Zubelevich]

$\xymatrix{E\ar[rd]_B\ar[rr]^{A}&&{A(E)\subseteq W}\ar[ld]^{C}\\&V}$
$E,W,V$ -- линейные пространства; $A,B$ -- линейные операторы

Утв. Предположим, что $\ker A\subseteq\ker B$. Тогда найдется линейный оператор $C:A(E)\to V$ такой, что $B=CA$.

Доказательство. Определим оператор $C$ следующим образом. $Cz=By$, где $y$ таков, что $Ay=z$.
Это определение корректно в том смысле, что значение $Cz$ не зависит от выбора $y\in E$. Действительно, пусть найдется еще $y'$ такой, что $Ay'=z$, но тогда $y-y'\in\ker A\subseteq\ker B$, а значит $By=By'$. ЧТД

Следствие. Пусть $f,f_1,\ldots,f_n:E\to \mathbb{R}$ -- линейные функционалы и $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$. Тогда $f=c_1f_1+\ldots+c_nf_n$, $c_i$ -- некоторые константы.

Действительно, рассмотрим оператор $F:E\to\mathbb{R}^n$ заданный формулой $F(x)=(f_1(x),\ldots,f_n(x))^T$. Очевидно, $\ker F=\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f.$
Следовательно, в силу Утв. найдется линейный функционал $C:F(E)\to\mathbb{R}$ такой, что $f=CF$.

Продолжим функционал $C$ с образа $F(E)$ на все пространство $\mathbb{R}^n$. Получим линейный функционал на $\mathbb{R}^n$ это просто матрица-строка. Соответственно,

$$CF=(c_1,\ldots,c_n)(f_1,\ldots,f_n)^T.$$

ЧТД

[profrotter]

Oleg Zubelevich, тема находится в разделе вопросы преподавания. Я правильно понимаю, что Вы хотите обсудить не достаточно подробное изложение материала в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000.?

Полностью с Вами согласен: там не только не достаточно (на мой взгляд) подробно изложены п. 2.3.8 и п.2.3.12, там даже определение коммутативной диаграммы даётся, как это ни странно, на примере (в пункте 2.3.3).

Благодарю Вас за подробное разьяснение.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #522543 писал(а):

Oleg Zubelevich, тема находится в разделе вопросы преподавания. Я правильно понимаю, что Вы хотите обсудить не достаточно подробное изложение материала в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000.?

Тема находится в вопросах преподавания, потому, что это чисто учебный материал. Если угодно, в ней предлагается способ изложения теоремы о множителях Лагранжа. Учебник Кутателадзе недостаточно подробным не считаю. Считаю, что это один из лучших русскоязычных курсов функана.