Пусть
![$K_i$ $K_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/5/655ca15e2b101fb431577b12d444258082.png)
-- ядра функционалов
![$f_i$ $f_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/6/9b6dbadab1b122f6d297345e9d3b8dd782.png)
и
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
-- пересечение всех этих ядер; пусть
![$e_i$ $e_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/5/b95c2b0aab2482e5bebd25332a4bbde082.png)
-- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что
![$f_i(e_i)=1$ $f_i(e_i)=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/4/784f1057f728fbb9d2fdaf8816ea0d3282.png)
. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде
![$x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$ $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/2/fb2c2d6f35f884d5a26e79490ba2f4fd82.png)
, где
![$z\in K$ $z\in K$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/b/bdb44229255421310abf7b5e7637e6d682.png)
, т.е. что всё пространство представляется в виде суммы
![$L=M+K$ $L=M+K$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/2/cb2ed2575f8b5ba03c3c57220546b69282.png)
, где
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
-- это линейная оболочка элементов
![$\{e_i\}$ $\{e_i\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/3/c1353056b23f97220ac346f4d31d456f82.png)
. (Эта сумма может оказаться не прямой, но это пока не важно.)
Если элементы
![$\{e_i\}$ $\{e_i\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/3/c1353056b23f97220ac346f4d31d456f82.png)
линейно зависимы, то линейно зависимы и сами функционалы
![$\{f_i\}$ $\{f_i\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/7/0573c107229578771a5fb170a8d63bb682.png)
. Дело в том, что в этом случае некоторая нетривиальная комбинация функционалов обращается в ноль на
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
(просто потому, что размерность этой линейной оболочки оказывается меньше, чем количество функционалов), ну а на
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
обращается в ноль вообще любая их линейная комбинация.
Так вот. Любой "опорный" элемент
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
функционала
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
может, как и любой другой, быть представлен в виде
![$e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$ $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/0/dd06af27b79a0f580b624c65093a9eaf82.png)
. А поскольку по условию
![$f(z)=0$ $f(z)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/b/16b41b4a8b2f0e25e4f4432acb6da82c82.png)
, элемент
![$e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n$ $e=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/a/1aa9704c13e7f22ec1fa4376cb5873f682.png)
также является "опорным" для
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
. Т.е. элементы
![$e,e_1,e_2,\ldots,e_n$ $e,e_1,e_2,\ldots,e_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/5/8d5156e5ffc2eeafb824642f4b66bf7a82.png)
линейно зависимы -- а значит, зависимы и функционалы
![$f,f_1,f_2,\ldots,f_n$ $f,f_1,f_2,\ldots,f_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/9/0a910f22c651dcf9520b74b0d8f83c5b82.png)
.
Это доказывает утверждение для случая, когда исходные функционалы
![$f_1,f_2,\ldots,f_n$ $f_1,f_2,\ldots,f_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/7/8e7620bfcbd8ae943f91c05e0223500482.png)
линейно независимы. Но мы всегда можем так считать: достаточно оставить в рассмотрении лишь базисный поднабор этих функционалов, поскольку добавление к нему линейно зависимых от них на пересечение ядер никак не повлияет.
А какое доказательство имели в виду Колмогоров с Фоминым -- не знаю. (Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.)