Об уравнении n-й степени

[PSP]

Руст писал(а):

PSP писал(а):

Вообше то меня интересуют разрешимые подгруппы порядка 8 ,ну типаZ_8 и как по данной подгруппе построить соответствующее уравнение 8-й степени ,те.е. какие ограничение на его коэффициенты налагает подобная подгруппа? Ну и соответственно, методы решения такого уравнения...

Разве не разрешимы все силовские группы?

Увы ,не знаю...Не знаю даже, что это за группы..Может, кто разьяснит?
Кстати, убедился окончательно, что понятия разрешимости и неразрешимости группы имеют очень важный, большой физический смысл, как ни странно...

[RIP]

PSP
Разрешимы все $p$-группы, т.е. группы $G$ порядка $|G|=p^m$, где $p$ - простое число, $m\in\mathbb{N}$. В частности, все группы порядка $8$ разрешимы.

[PSP]

Группа Галуа многочлена общего вида - с буквенными коэффициентами, это симметрическая группа $S_n$, которая разрешима только при $n<=4$. Для $n=8$ у неё могут быть разрешимые подгруппы $S_4*S_2$, что соответствует биквартному уравнению$x^8+a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_1=0$., группа $Z_8$, это циклическая группа , соответствует уравнению $x^8+a=0$. Вроде бы всё. Или есть ещё какие-то разрешимые подгруппы? Например, разрешима ли знакопеременная группа $A_8$? Если в чём ошибся, поправьте меня.. А вот о чём Вы говорите , не понимаю... Можете разьяснить?

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Для $n=8$ у неё могут быть разрешимые подгруппы $S_4*S_2$,что соответствует биквартному уравнению$x^8+a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_1=0$.

Эксперименты в Maple подсказывают, что группа Галуа общего биквартного уравнения - $8T44$ порядка $384$. А обозначение $S_4*S_2$ я не очень понимаю.

PSP писал(а):

группа $Z_8$,это циклическая группа , соответствует уравнению $x^8+a=0$

Эксперименты в Maple подсказывают, что группа Галуа этого уравнения - $8T15$ порядка $32$. А $Z_8$, например, имеет уравнение

$$x^8-x^7-7x^6+6x^5+15x^4-10x^3-10x^2+4x+1=0$$

или

$$x^8+8x^6+20x^4+16x^2+2=0$$

.

PSP писал(а):

Вроде бы всё. Или есть ещё какие-то разрешимые подгруппы?

Далеко не всё. Существует пятьдесят классов сопряженности транзитивных подгрупп $S_8$, из которых сорок пять разрешимы.
http://www.math.uni-duesseldorf.de/~klu ... ode45.html
(там можно походить по ссылкам и посмотреть на примеры многочленов восьмой степени с каждой из 50 групп Галуа)

[PSP]

Мне нужна такая ситуация, чтобы между буквенными кэффициентами уравнения 8-й степени были такие соотношения, чтобы оно было разрещимо, и желательно, чтобы в этом разрешимом уравнении были и нечётные степени..Возможно такое?
Под $S_4*S_2$ понимается произведение соответствующих групп...

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Мне нужна такая ситуация, чтобы между буквенными кэффициентами уравнения 8-й степени были такие соотношения, чтобы оно было разрещимо, и желательно, чтобы в этом разрешимом уравнении были и нечётные степени..Возможно такое?

Наверное, да. Но, повторяю, про соотношения и резольвенты для степеней больше 5 мне ничего не известно. Мне самому интересно, например, написать общий вид уравнения восьмой степени с группой Галуа $C_8$, но не знаю, как подступиться.

PSP писал(а):

Под $S_4*S_2$ понимается произведение соответствующих групп...

Какое именно произведение? Как именно оно вложено в полную $S_8$?

[PSP]

tolstopuz писал(а):

Мне самому интересно, например, написать общий вид уравнения восьмой степени но не знаю, как подступиться

Как я понял, группа Галуа $C_8$ разрешима? Могу сказать, что для физика эта цель важна.А в чём тут трудность?
Под $S_4*S_2$ понимается прямое произведение соответствующих групп, и оно будет подгруппой группы S_8$ ...

[tolstopuz]

Возьмем, к примеру, кубическое уравнение.

Неприводимое кубическое уравнение $x^3+px+q=0$ имеет циклическую группу Галуа тогда и только тогда, когда его дискриминант $D=-4p^3-27q^2$ является полным квадратом.

Или в другой форме:

Неприводимое кубическое уравнение $x^3+px+q=0$ имеет циклическую группу Галуа тогда и только тогда, когда его квадратичная резольвента $x^2-3qx+p^3+9q^2=0$ имеет корень в исходном поле (то есть когда это квадратное уравнение раскладывается на множители).

Устраивает ли вас такая формулировка критерия?

[PSP]

Наверное, да. Особенно последнее.

[tolstopuz]

А вот что мы имеем для уравнения четвертой степени:

Неприводимое уравнение четвертой степени $x^4+px^2+qx+r=0$ имеет группу Галуа:
1) $S_4$, если его кубическая резольвента $x^3-2px^2+(p^2-4r)x+q^2=0$ неприводима и дискриминант $D=16p^4r-4p^3q^2-128p^2r^2+144pq^2r-27q^4+256r^3$ не является полным квадратом;
2) $A_4$, если кубическая резольвента неприводима и дискриминант является полным квадратом;
3) $D_8$, если кубическая резольвента раскладывается на линейный и квадратичный множители и исходное уравнение неприводимо при присоединении $\sqrt D$;
4) $C_4$, если кубическая резольвента раскладывается на линейный и квадратичный множители и исходное уравнение приводимо при присоединении $\sqrt D$;
5) $C_2\times C_2$, если кубическая резольвента раскладывается на линейные множители.

А вообще я тормоз. Я только что узнал, что Maple находит группу Галуа многочлена с буквенными коэффициентами как раз до восьмой степени. Давайте свое уравнение.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

А вообще я тормоз. Я только что узнал, что Maple находит группу Галуа многочлена с буквенными коэффициентами как раз до восьмой степени. Давайте свое уравнение.

Да в том то и дело, что мне подойдёт любое уравнение 8-й степени с буквенными коэффициентами и с нечётными степенями , которое можно решить, я думаю...А уравнение , которое у меня получилось, дам завтра, оно на другом компе..

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Да в том то и дело, что мне подойдёт любое уравнение 8-й степени с буквенными коэффициентами и с нечётными степенями , которое можно решить, я думаю...

Как это? Что это за физическая задача, которую можно подогнать под любое уравнение?

Кстати, нашел статью автора метода, реализованного в Maple. Если кому вдруг интересно:
http://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S00 ... 0831-4.pdf

Добавлено спустя 15 минут 35 секунд:

Вы таки не поверите, но нашел!
http://www.ams.org/mcom/2000-69-230/S00 ... 1160-6.pdf

Например, $(x^4+4x-3)^2+tx^4(4x-3)=0$

[PSP]

Очень интересно. Завтра напишу своё уравнение. Про физ. задачу тоже завтра расскажу, а то глаза слипаются. Большое спасибо , допрогой коллега! До завтра!

[tolstopuz]

Так. Беглый анализ таблицы в статье показал, что, за редким исключением, все примеры из последней таблицы статьи либо биквартные, либо возвратные, либо легко раскладываются на два множителя четвертой степени с использованием только квадратных корней. А в статье про октики, ссылку на которую я давал на предыдущей странице, есть этому объяснение (раздел 3.1). Оказывается, уравнения восьмой степени делятся на пять основных типов:

1) решаемые в квадратных корнях (подгруппы $8T35$, таблица 3.2);
2) сводимые к независимому решению квадратного уравнения и уравнения четвертой степени (подгруппы $8T24$, таблица 3.3);
3) приводящиеся квадратичной подстановкой к уравнению четвертой степени (подгруппы $8T44$, таблица 3.4);
4) приводящиеся подстановкой четвертой степени к квадратному уравнению (подгруппы $8T47$, таблица 3.5);
5) ПРОЧИЕ.

Внешне уравнения типов 1-4 могут выглядеть сколь угодно пугающе. То, что в статье про $\mathbb{Q}(t)$ они все либо биквартные, либо возвратные, еще ни о чем не говорит - видимо, просто лень было искать более интересные примеры, для $\mathbb{Q}$ их полно. Но для каждого из них существует волшебная подстановка, низводящая это уравнение до уровня олимпиадной задачи. Думаю, потратив какое-то количество усилий, можно явно выписать все выкладки в каждом из случаев.

А вот с типом 5 гораздо интереснее. Там есть семь вариантов группы Галуа - два разрешимых ($8T25$ и $8T36$) и пять неразрешимых ($8T37=PSL_2(7)$, $8T43=PGL_2(7)$, $8T48=Aff_3(2)$, $8T49=A_8$ и $8T50=S_8$). Уравнения с $8T25$ и $8T36$, хотя и решаются в радикалах, но, в отличие от типов 1-4, требуют извлечения корня седьмой степени. И вот как раз для них в той статье не удалось придумать простых и понятных примеров в $\mathbb{Q}(t)$, пришлось обойтись безумными компьютерными результатами. Где-то в архивах Usenet я видел, как кто-то учил кого-то решать в радикалах уравнение с одной из этих групп, так что в принципе можно разобраться и с этими случаями.

Так что решение решаемого уравнения восьмой степени в радикалах - гораздо более обозримая задача, чем казалось вначале.

[PSP]

Нужно было решить вот это:
restart; solve(x = 1/2/((m^2+p^2/((1-K1*p^2)^2+K2*p^4))^(1/2))*(2*p/((1-K1*p^2)^2+K2*p^4)-p^2/(((1-K1*p^2)^2+K2*p^4)^2)*(-4*(1-K1*p^2)*K1*p+4*K2*p^3)),p);

В результате получил необходимость решения уравнения 8-й степени