Об уравнении n-й степени

[Sasha2]

Я бы хотел задать вопрос всем уважаемым участникам этой дискуссии.
Вот здесь часто проскальзывает такое выражение, в тех или иных случаях корни многочлена не могут быть выражены через радикалы с использованием коэффициентов этого уравнения.

Хотелось бы узнать. Это действительно невозможно (в том смысле, что какую бы мыслимую, но конечную комбинацию с использованием радикалов и коэффициентов этого уравнения (да врочем не умаляя общности, произвольных целых чисел) мы бы ни взяли), все равно такая комбинация корня уравнения не даст?

ИЛИ ЖЕ ЭТО МЫ И ТОЛЬКО МЫ ПРОСТО НЕ МОЖЕМ НАЙТИ такую комбинацию, но она в принципе существует?

[нг]

не существует в принципе для уравнения степени выше 4

[PSP]

нг писал(а):

не существует в принципе для уравнения степени выше 4

Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы, т.е. для этих уравнений НЕ существует разрешимых групп? Что-то не верится...
Например, биквартное увавнение(8-я степень) такое решение иметь может...

[Someone]

PSP писал(а):

нг писал(а):

не существует в принципе для уравнения степени выше 4 8-)

Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы

Нет. Этот ответ означает, что существует уравнение заданной степени $n>4$, корни которого нельзя выразить через коэффициенты с помощью радикалов.

[незваный гость]

нет. Это следует понимать так, что существуют неразрешимые группы Галуа. Поскольку речь идет об общей формуле, то если бы она существовала, все бы группы были бы разрешимы.

В mathworld есть пример для уравнений пятой степени. Разрешимых мало…

P.S. Someone опередил конкуренция

P.P.S. Посмотрите mathworld. И поблуждайте по его ссылочкам. Там много чего есть (например, ссылки на разрешимые случаи).

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Можно ли этот ответ понимать так , что все группы Галуа для уравнения степени выше 4 неразрешимы, т.е. для этих уравнений НЕ существует разрешимых групп? Что-то не верится...

Есть два аспекта проблемы.

1. Группа Галуа конкретного многочлена с числовыми коэффициентами. Там возможны разнообразнейщие ответы, как разрешимые, так и неразрешимые.
2. Группа Галуа многочлена общего вида - с буквенными коэффициентами. В ответе всегда $S_n$, которая разрешима только при $n<=4$.

PSP писал(а):

Например, биквартное увавнение(8-я степень) такое решение иметь может...

А это уже не уравнение общего вида, здесь задано соотношение - нечетные коэффициенты равны нулю. Например, биквадратное уравнение имеет группу Галуа либо $D_8$, либо $C_2\times C_2$, либо $C_4$ в зависимости от того, выполняются ли еще кое-какие соотношения между коэффициентами. Естественно, общая формула для его решения работает в каждом из трех случаев, но, скажем, в третьем случае все корни являются рациональными функциями какого-нибудь одного из них, а в первых двух - нет.

Я не знаю общего метода учета или получения таких соотношений. Есть какие-то статьи для $n=5$ и даже для $n=6$, но для $n=7$ и выше не видел.
http://www.google.ru/search?q=solvable+quintic

Кстати, я не понимаю, как решение в радикалах может помочь физической задаче. Достаточно объявить новую спецфункцию имени себя, а кем и как будет вычисляться ее значение - это уже мелочи. Пусть, например, компьютер считает - он железный.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

Кстати, я не понимаю, как решение в радикалах может помочь физической задаче. Достаточно объявить новую спецфункцию имени себя, а кем и как будет вычисляться ее значение - это уже мелочи. Пусть, например, компьютер считает - он железный.

Конечно, это так -компьютер считает - он железный, но разрешимость группы Галуа, как ни удивительно, имеет физический смысл...
Кстати, а уравнение из произведений двух многочленов 4-й степени с действительными кэффициентами тоже имеет разрешимую группу Галуа?

[незваный гость]

В целом я думаю, Вы уже поняли эквивалентность двух условий — выразимость корней многочлена через радикалы (от коэффициентов) и разрешимость соответствующей группы Галуа.

В некотором смысле вещественность тут не причем.

[Sasha2]

Вообщем, в отдельных чертах понятно, но тогда возникает такой вопрос, в связи с чем были введены такие числа, которые выражаются в радикалах, они, значит, также мало характеризуют множество всех алгебраических чисел, как, например, множество всех животных московского зоопарка, харакктеризуют весь живой мир.

[dmd]

Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

[PSP]

dmd писал(а):

Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

И возможно ли сделать так, чтобы характеристики этого ряда полностью определялись коэффициентами решаемого уравнения?

[Sasha2]

Да здесь то вообще то выяснять надо, как одни алгебраические числа связаны с другими. Искать закономерности между ними и как-то может быть классифицировать их. Может быть сперва даже и без связи с конкретными полиномами.
И вообще, являются ли полиномы единстыенным источником, через которые можно определить понятие алгебраического числа?

[dmd]

PSP писал(а):

dmd писал(а):

Почему не поставить задачу по-другому? - искать решение в виде ряда. Для степени >4 общее решение в радикалах не можем, но в спецфункциях можем получить. Но и те и другие - бесконечные ряды.

И возможно ли сделать так, чтобы характеристики этого ряда полностью определялись коэффициентами решаемого уравнения?

Если такое решение будет найдено, то иначе и не будет - коэффициенты решаемого полинома будут полностью определять коэффициенты ряда-решения.

Sasha2 писал(а):

И вообще, являются ли полиномы единстыенным источником, через которые можно определить понятие алгебраического числа?

Радикалы, синусы-косинусы, спецфункции - это наш способ сокращенно записывать иррациональности и трансцендентности, но внутри себя все они - ряды. Т.е. универсальнее полиномной записи вроде ничего не придумано.

[PSP]

Интересно, если я разделю многочлен 8-й степени на многочлен 4-й степени и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени, будет ли это подмножество ур-й 8-й степени разрешимым в радикалах?
(все коэфф. действительны)

[Macavity]

PSP писал(а):

Интересно, если я разделю многочлен 8-й степени на многочлен 4-й степени и найду условия, когда это деление будет без остатка и соответственно найду зависимость коэф. множителей 4-й степени от коэф. многочлена 8-й степени, будет ли это подмножество ур-й 8-й степени разрешимым в радикалах?
(все коэфф. действительны)

Вероятно да, Вы ведь получите два уравнения четвертой степени. Мне кажется, что при этом Вы найдете не только и не столько соотношение коэф. многочлена ур. 8-й степени с коеф. многочлена ур. 4-й степени, сколько соотношение между коэффициентами исходного многочлена 8-й степени. Я уже пробовал, что-то такое делать для одной Олимпиадной задачи (геом. задача на построение), там должен был быть корень кратности два, но до конца не дорешал (http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=43591&highlight=#43591)