Об уравнении n-й степени

[tolstopuz]

PSP писал(а):

В результате получил необходимость решения уравнения 8-й степени

Так все просто: подставьте случайные целые числа вместо переменных. Если ваше уравнение решается в радикалах, то при подстановке любых чисел разрешимость останется.

Я подставил $m=3, K_1=13, K_2=17, x=29$ и получил $S8$. Так что не судьба.

[PSP]

Большое Спасибо,уважаемый tolstopuz! Ваш результат для меня очень важен!
Итак, получается, что мне нужно иметь решение уравнения 8-й степени не в радикалах, а через гиперэллиптические интегралы и модулярные функции Зигеля, как описано в работе Хироси Умемура стр.362 (181).Но это описание для меня слишком обще, хотелось бы разобраться с этим методом на конкретных примерах...
..Похоже, что такое решение будет функцией неаналитической и бесконечно ветвящеёся...Только вот как его найти?

[PSP]

Почему это так важно?
Понятие разрешимой группы - это фактически обобщение понятия коммутативной группы, тогда понятие НЕразрешимой группы - фактически обобщение понятия НЕкоммутативной группы. А это уже фактически квантовая механика, да ещё в теории с фундаментальной длиной. Так что появление группы S_8 - вполне закономерное явление. И тут раскрываются такие удивительные физические следствия!

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Так что появление группы S_8 - вполне закономерное явление.

Естественно. Появление группы S_8 в связи с уравнением восьмой степени примерно так же закономерно, как и то, что на вас при прогулке не падает метеорит. Почти все уравнения восьмой степени имеют группу Галуа S_8. Попробуйте рассчитать, например, обратную кинематическую задачу, чтобы рука робота из нескольких суставов дотянулась до цели - там могут появиться уравнения и больших степеней. Это тоже фактически квантовая механика?

Меня больше интересует, чего именно вы пытаетесь достичь с помощью формул. Сейчас у вас есть черный ящик с четырьмя входами $m, K_1, K_2, x$ и выходом $p$. В качестве реализации этого черного ящика может выступать как Maple, так и любая самодельная программа нахождения корней уравнения. Допустим, марсиане дадут вам формулу нахождения корней с использованием гипермарсианских функций. Фактически это означает, что они снимут с черного ящика крышку и покажут, что внутри него находится переплетение проводов, всякие стандартные операционные усилители, рассыпуха и несколько черных ящичков поменьше. Какую именно задачу вы будете решать следующей, зная эту схему? Что именно мешает вам начать решать эту задачу прямо сейчас?

[PSP]

Что касается физических аспектов, то дискуссия по этому поводу развёрнута здесь.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

tolstopuz писал(а):

Что именно мешает вам начать решать эту задачу прямо сейчас?

Мешает именно отсутствие общей формулы...

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

tolstopuz писал(а):

Какую именно задачу вы будете решать следующей, зная эту схему?

Остальные задачи будут уже решаться сравнительно просто, самое главное потом - физическая интерпретация решений, но у меня уже есть мысли по этому поводу..

[tolstopuz]

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

Что именно мешает вам начать решать эту задачу прямо сейчас?

Мешает именно отсутствие общей формулы...

Вот, например, есть такая функция - тангенс. Что такое общая формула для тангенса и часто ли вы ей пользуетесь?

PSP писал(а):

Остальные задачи будут уже решаться сравнительно просто

Можете ли вы привести пример какой-нибудь "остальной" задачи? Возможно, она не требует явной формулы или даже легче решается с использованием исходного многочлена.

[PSP]

tolstopuz писал(а):

Что такое общая формула для тангенса и часто ли вы ей пользуетесь?

Ну, мы можем разложить её в ряд, выразить дифференциалы и интегралы от неё через другие функции, решать с её помощью алг. уравнения..делать различные практические расчёты..

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

tolstopuz писал(а):

Можете ли вы привести пример какой-нибудь "остальной" задачи? Возможно, она не требует явной формулы или даже легче решается с использованием исходного многочлена.

Нет, к сожалению, остальные задачи требуют общей формулы, например, уравнения движения..

[tolstopuz]

PSP писал(а):

tolstopuz писал(а):

Что такое общая формула для тангенса и часто ли вы ей пользуетесь?

Ну, мы можем разложить её в ряд

Кого "ее"? Что такое общая формула для тангенса?

PSP писал(а):

выразить дифференциалы и интегралы от неё через другие функции, решать с её помощью алг. уравнения..делать различные практические расчёты..

Ну да. Тангенс проще всего определяется как обратная функция к арктангенсу, который является интегралом от алгебраической функции. На основании именно этого неявного определения и выводятся все дальнейшие его свойства, включая вышеперечисленные.

PSP писал(а):

Нет, к сожалению, остальные задачи требуют общей формулы, например, уравнения движения..

Так я не понимаю. Попробуйте рассказать, скажем, на примере тангенса.

Допустим, у вас есть дифференциальное уравнение: $y'=1+y^2, y(0)=0$.
Как выглядит "общая формула" для $y(x)$? Каким способом эта общая формула позволяет выразить производную от $y(x)$ через другие функции или разложить $y(x)$ в ряд? Если $y(x)$ входит в другие уравнения, то как именно знание "общей формулы" позволит работать с ней в этих уравнениях?

[PSP]

Я попробую обьяснить всю процедуру моих поисков.
Имею ($\dot{x}=\nabla_p E,\ \ x\in R^3,\ \ p\in R^3$) и уравнение для $L=p\dot{x}-E$,а также имею алгебраическое уравненме $F(E,p)=0$ нужно получить $p=p(\dot{x})$ в явном виде.Тогда я смогу получить очень нужную мне $L$ - т.е. лагранжиан.А его уже можно разлагать в ряд,дифференцировать,строить уравнения движения и их решать..

[tolstopuz]

PSP писал(а):

в явном виде.

А что такое "явный вид"? Какие операции допустимы? Чем гиперэллиптические интегралы лучше RootOf?

[PSP]

tolstopuz писал(а):

PSP писал(а):

в явном виде.

А что такое "явный вид"? Какие операции допустимы? Чем гиперэллиптические интегралы лучше RootOf?

Явный вид - это выражение через известные нам функции ,например.
Гиперэллиптические интегралы лучше RootOf в том , что они выражаются через коэффициенты решаемого уравнения и дифференцируются,интегрируются, разлагаются в ряд...

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Гиперэллиптические интегралы лучше RootOf в том , что они выражаются через коэффициенты решаемого уравнения

Что значит "выражаются"? Зависят только от них? Ну так RootOf зависит от них же.

PSP писал(а):

и дифференцируются,интегрируются, разлагаются в ряд...

Я приводил вам пример про тангенс. Попробуйте в него вникнуть - он показывает, что дифференцировать и раскладывать в ряд неявную функцию не сложнее, чем явную.

А как вы собираетесь аналитически интегрировать гиперэллиптические интегралы? Просто написать впереди еще один значок интеграла? Так с RootOf это не сложнее.

[PSP]

В Мапле никогда RootOf не пользовался как функцией...Надо попробовать...

[tolstopuz]

PSP писал(а):

В Мапле никогда RootOf не пользовался как функцией...Надо попробовать...

Сначала вам надо понять, какой именно из восьми корней вам нужен. Без физического смысла это невозможно. Кстати, для решения через тэта-функции тоже надо сначала отделить корни и пронумеровать их. То есть гладкую однозначную функцию от четырех параметров (насколько я понимаю физический смысл задачи, вам именно она и нужна) вы принципиально можете получить только в какой-то области. И никакие волшебные формулы вам в этом не помогут, функцию надо исследовать.

Подставляйте разные физически осмысленные значения $m, K_1, K_2$, стройте график $x(p). Можете фиксировать только два из параметров и строить трехмерный график. Для этого даже не надо решать уравнение, а предстваление о количестве корней и том, какой из них нужен, вы уже получите.

[PSP]

В том то идело, что мне нужен действительный корень...