Об уравнении n-й степени

[Sasha2]

Можно ли утверждать, что уравнение n-й степени (обычный многочлен) является разрешимым в радикалах, если, каждый из его корней, является корнем какого-либо многочлена, который разрешим в радикалах?

Ну хотя бы для простоты сначала, если каждый из корней исходного многочлена является корнем многочлена степени не выше 4.

[Brukvalub]

Если а - число, то оно является корнем многочлена х-а=0,разрешимого даже без радикалов, так что ответ на Ваш вопрос - нет.

[Руст]

Brukvalub писал(а):

Если а - число, то оно является корнем многочлена х-а=0,разрешимого даже без радикалов, так что ответ на Ваш вопрос - нет.

Ответ да. Для многочлена x-a корень а является корнем первой степени от а.

[Sasha2]

Sasha2 писал(а):

Brukvalub писал(а):

Если а - число, то оно является корнем многочлена х-а=0,разрешимого даже без радикалов, так что ответ на Ваш вопрос - нет.

Ну я просто забыл упомянуть о целочисленности коэффициентов.
Ну, например, если 2 является корнем нашего исходного многочлена, а все остальные его корни также являются корнями многочленов степени не выше 4, что мы не можем выразить все эти корни через радикалы (в том числе и это 2)?

В частности, можно ли утверждать, что любое уравнение n-й степени (с целыми коэффициентами), имеющее все целые корни, разрешимо в радикалах?

[незваный гость]

Вы меня совсем запуталию Я всегда считал, что уравнение «разрешимо в радикалах» означает ровно то, что каждый из корней может быть выраженн как конечная последовательность арифметических действий и извлечений корней (целых степеней). Если принимать это определение, то:

1) всякое уравнение степеени не выше четвертой разрешимо в радикалах;
2) всякое уравнение с целыми корнями разрешимо в радикалах;
3) уравнение n-й степени (обычный многочлен) является разрешимым в радикалах, если каждый из его корней является корнем какого-либо многочлена, который разрешим в радикалах.

Остался вопрос — действительно ли это общепринятое определение разрешимости в радикалах.

[Sasha2]

Да, уважаемый незванный гость, это я и хотел услышать.
Вы очень четко все разложили по полочкам.
Спасибо большое.

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
Вы меня совсем запуталию Я всегда считал, что уравнение «разрешимо в радикалах» означает ровно то, что каждый из корней может быть выраженн как конечная последовательность арифметических действий и извлечений корней (целых степеней). Если принимать это определение, то:

1) всякое уравнение степеени не выше четвертой разрешимо в радикалах;
2) всякое уравнение с целыми корнями разрешимо в радикалах;
3) уравнение n-й степени (обычный многочлен) является разрешимым в радикалах, если каждый из его корней является корнем какого-либо многочлена, который разрешим в радикалах.

Остался вопрос — действительно ли это общепринятое определение разрешимости в радикалах.

Нет, это не общепринятое условие разрешимости. Условие 3) пахнет тавтологией (разрешим если разрешим). Если уточнять так: разрешим, если каждый корень является, корнем некоторого разрешимого многочлена, то это станет неверным.
2) требует так же уточнения типа все корни рациональные.
Определение разрешимого многочлена сводится к разрешимости группы Галуа этого многочлена. Если поле получается последовательным расшширением с помощью радикалов, то группа Галуа получается расширением с помощью циклических групп. Таким образом устанавливается эквивалентность выражений корней через радикалы с разрешимостью группы Галуа поля, полученного добавлением корней уравнения.

[Brukvalub]

А теперь я ничего не понял.
1.незваный гость писал:

Цитата:

...Я всегда считал, что уравнение «разрешимо в радикалах» означает ровно то, что каждый из корней может быть выраженн как конечная последовательность арифметических действий и извлечений корней (целых степеней)....

Мне кажется, что здесь не хватает слов: "через коэффициенты этого уравнения"
2.незваный гость писал:

Цитата:

уравнение n-й степени (обычный многочлен) является разрешимым в радикалах, если каждый из его корней является корнем какого-либо многочлена, который разрешим в радикалах.

Ну, тогда возьмем какое-либо неразрешимое в радикалах полиномиальное уравнение (я слышал, что такие бывают даже 5-й степени) и обозначим через а какой-либо его корень. Этот корень является также корнем заведомо разрешимого в радикалах уравнения х-а=о. Проделав такую штуку со всеми корнями неразрешимого в радикалах уравнения, мы докажем его разрешимость?

[Руст]

Разрешимость означает, что корни многочлена могут быть получены в виде последовательных операций от коэффициентов, включающих суммы, разницы, (соответственно отсюда следует, что могут войти и целые коэффициенты) произведений, делений и рациональных степеней.
Что касается x-a, где а корень некоторого многочлена P(x). То здесь многочлен x-a разрешим, даже если P(x) не разрешим. Определение дается о разрешимости многочлена. Однако, можно дать и определение разрешимости для корней, как принадлежащих полю, являющегося расширением исходного (обычно Q) поля, с разрешимой группой Галуа.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

Мне кажется, что здесь не хватает слов: "через коэффициенты этого уравнения"

Я долго думал, писать или не писать свое мнение. Именно по этой причине. Но "через коэффициенты уравнения" очень сужает круг разрешимых в радикалах уравнений до параметрических. Между тем многие учебники алгебры (да если и на форуме поискать, то найдем) приводят пример конкретного уравнения пятой степени, неразрешимого в радикалах. Для конкретного же уравнения требование через коэффициенты становится несколько бессмысленным, не правда ли.

Мне кажется, существование формул Кардана и Тартальи несколько избаловало нас. Тем не менее, я хочу подчеркнуть, что я отнюдь не уверен, что данное мной определение выразимости в радикалах является общепринятым.

Brukvalub писал(а):

Ну, тогда возьмем какое-либо неразрешимое в радикалах полиномиальное уравнение (я слышал, что такие бывают даже 5-й степени) и обозначим через а какой-либо его корень. Этот корень является также корнем заведомо разрешимого в радикалах уравнения х-а=о

А кто сказал, что этот корень выразим в радикалах? Ведь в оригинальном вопросе (как я его понял) эта выразимость была частью условия. И еще, по-видимому, подразумевалась как минимум алгебраичность коэффициентов всех участвующих уравнений.

Иначе, разумеется, плохо. $x - \pi = 0$ становится законным примером.

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

Руст писал(а):

Разрешимость означает, что корни многочлена могут быть получены в виде последовательных операций от коэффициентов, включающих суммы, разницы, (соответственно отсюда следует, что могут войти и целые коэффициенты) произведений, делений и рациональных степеней.

Интересно, что данное определение не требует участие коэффициентов (в крайнем случае, $1$ всегда равно $a/a$, и мы немедленно имеем все рациональные числа в своем распоряжении).

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
Я долго думал, писать или не писать свое мнение. Именно по этой причине. Но "через коэффициенты уравнения" очень сужает круг разрешимых в радикалах уравнений до параметрических. Между тем многие учебники алгебры (да если и на форуме поискать, то найдем) приводят пример конкретного уравнения пятой степени, неразрешимого в радикалах. Для конкретного же уравнения требование через коэффициенты становится несколько бессмысленным, не правда ли.

Конкретное уравнение ничем не выделяется, просто, когда речь идёт об уравнениях с целыми числами, исходным полем является поле Q, а для общего уравнения исходное поле, поле рациональных функции от коэффициентов.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Нет, это не общепринятое условие разрешимости. Условие 3) пахнет тавтологией (разрешим если разрешим). Если уточнять так: разрешим, если каждый корень является, корнем некоторого разрешимого многочлена, то это станет неверным.
2) требует так же уточнения типа все корни рациональные.

a) Я написал определение (уточненное Вами в следующем сообщении, но «достаточно хорошее». В рамках этого определения я ответил на несколько вопросов заданных Sasha2. Я не пытался сделать из этих вопросов критерии разрешимости.

б) Если все корни целые, то они обычно все рациональные. Так что на первый взгляд уточнения не требуется.

в) Третий пункт особенно интересен. Позвольте уточнить формулировку: мы имеем нетривиальный многочлен (с целыми коэффициентами) $p(x)$, про каждый из корней $x_k$ которого известно существование $q_k(x)$ — такого, что (a) $q_k(x)$ имеет целые коэффициенты, (б) $q_k(x_k) = 0$, и (в) $q_k(x)$ разрешим в радикалах. Вы утверждаете, что в этих условиях нельзя утверждать разрешимость в радикалах $p(x)$? Тогда можно чуть подробнее? Если есть конкретный пример, очень здорово.

г) Собственно, вопрос: пусть $p(x) | q(x)$ и $q(x)$ разрешим в радикалах. Верно ли, что $p(x)$ разрешим в радикалах? (Этот вопрос очевидным образом связан с пунктом (в)).

[Brukvalub]

А я окончательно запутался, коэффициенты уравнения вдруг стали целыми, хотя в начальном посте об этом не было и слова, раньше мне казалось, что всякое квадратное уравнение над полем С разрешимо в радикалах, а теперь я начал в этом сомневаться , поэтому выхожу из дискуссии, с понедельника начну посещать лекции по алгебре для 1 и 2 курсов мех-мата - может, чего и пойму.

[незваный гость]

Brukvalub писал(а):

А я окончательно запутался, коэффициенты уравнения вдруг стали целыми, хотя в начальном посте об этом не было и слова,

Да. Первый пост весьма не строг, каждый пополняет и понимает его как может.

[lofar]

Давайте разберемся.

Рассмотрим полином $f(x)\in\mathbb Q[x]$.
Существуют комплексные числа $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (не обязательно различные) такие, что $f(x)=(x-\alpha_1)\ldots(x-\alpha_n)$.

Пусть $K=\mathbb Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. $K$ --- наименьшее из полей $L$ таких, что:
a) $\mathbb Q\subseteq L\subseteq\mathbb C$,
b) $f(x)$ раскладывается на линейные множители в $L[x]$.
$K$ называется полем разложения полинома $f(x)$.

Полином $f(x)$ называется разрешимым в радикалах если существует натуральное $t$ и цепочка полей $\mathbb Q=L_0\leqslant L_1\leqslant\ldots\leqslant L_t=K$ такие, что для любого $i=1,\ldots,t$ найдется элемент $\beta_i\in L_i$ такой, что
a) $L_i =L_{i-1}(\beta_i)$,
b) существует натуральное $n_i$ такое, что $\beta_i^{n_i}\in L_{i-1}$.