PSP писал(а):
А какие ограничения на коэффициенты агебр. уравнения, например 8-й степани, надо накладывать, чтобы оно было разрешимо в радикалах?
Группа Галуа многочлена должна быть разрешимой. В принципе это сводится к проверке, раскладывается ли на множители некая резольвента, но, насколько я знаю, для восьмой степени ее никто явно не строил.
Даже если многочлен разрешим в радикалах, для получения явного решения при каждой конкретной разрешимой группе Галуа приходится приложить нетривиальные усилия. Например:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/galois_8А вот здесь в разделе 3.3 можно посмотреть список возможных групп и оценить масштаб бедствия:
http://hobbes.la.asu.edu/papers/octics.pdfPSP писал(а):
Будет ли требование разложимости многочлена 8-й степени на произведение 2-х многочленов 4-й степени наиболее общим условием того , чтобы ур-е 8-й степени было решаемо в радикалах?
На произведение многочленов с каками коэффициентами? Если в

, то, очевидно, так разложится любой многочлен. Если же в минимальном поле, содержащем коэффициенты исходного уравнения, то это неверно:

неприводим в
![$\mathbb{Q}[x]$ $\mathbb{Q}[x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/d/c5df9180b7d5649f3937cea2ffb2311982.png)
, но разрешим в радикалах.