Первый замечательный предел - так ли замечателен?

[Maslov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #473257 писал(а):

Боюсь, что даже и у Вас в 239-й танцы с саблями и арктангенсами демонстрировали только тем детишкам, которые уже к тому времени твёрдо знали, что такое синусы.

У нас были только 9-10 классы, а в то время детишки знали, что такое синусы, уже к 8-му. Но "бурбакизм" имел место быть с первой четверти 9-го: программа по математике начиналась с основных алгебраических структур (группы, кольца, поля, векторные и метрические пространства и т. п.).
Разные классы учились по немного разным программам (это определялось, в первую очередь, склонностями учителей), но в пределах одного класса никакого разделения по степени подготовленности не было. Абсолютное большинство выжило:)

[ewert]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #473263 писал(а):

У нас были только 9-10 классы

У нас тоже были только эти классы (я инкубаторский). Но, тем не менее, стандартная школьная программа -- у нас была именно стандартной, и лишь аранжировалась под бОльшую строгость.

[olenellus]

Maslov в сообщении #473251 писал(а):

Да Вы почитайте Ландау (я выше давал ссылку); там все подробненько написано. И про сумму квадратов, и про периодичность.

Пролистал: WOW! Меня его подход заворожил ещё с его "Основ анализа". Не знал, что и матан есть от этого автора. Это первая увиденная мною книга, где первый замечательный предел получается честно. Спасибо! Но я бы всё равно к тригонометрии шёл через $e^z$. Те же ряды, вроде бы, но куда прозрачнее смысл, по-моему. И потом, если мы заранее повозимся с общими доказательствами основных свойств экспоненты, то тригонометрические формулы получаются ещё легче. Ну, может, не легче, но естественнее.

(Оффтоп)

Toucan в сообщении #473269 писал(а):

ewert в сообщении #473266 писал(а):

У нас тоже были только эти классы (я инкубаторский). Но, тем не менее, стандартная школьная программа -- у нас была именно стандартной, и лишь аранжировалась под бОльшую строгость.

У нас была нестандартная. И только в конце 10-го класса в течение пары недель давалась "общепринятая" версия, пригодная для вступительных экзаменов (в частности, излагался "стандартный" способ определения тригонометрических функций :))

Везучие вы все

[Azog]

(Оффтоп)

У меня во "Второй школе" преподавалось параллельно. На спец. математике наводили усиленно строгость, а на алгебре\геометрии только "аранжировали". Зато к 10 классу, мы были в курсе существования аксиом Пеано и прочего.

И из разложения синуса в ряд наглядно следует его периодичность? Это плохое определение, затеняющее основные свойства этой функции.

[Maslov]

Azog в сообщении #473275 писал(а):

И из разложения синуса в ряд наглядно следует его периодичность? Это плохое определение, затеняющее основные свойства этой функции.

Дело вкуса; главное, чтобы к определенному моменту все основные свойства были сформулированы/доказаны. Это как с действительными числами: одни аксиоматически вводят, другие - через сечения, третьи - через бесконечные дроби, но результат-то все равно один.

(Оффтоп)

Azog в сообщении #473275 писал(а):

У меня во "Второй школе" преподавалось параллельно. На спец. математике наводили усиленно строгость, а на алгебре\геометрии только "аранжировали". Зато к 10 классу, мы были в курсе существования аксиом Пеано и прочего.

А у нас ..., а у нас ..., а нас алгебры/ геометрии вообще не было: все два года была просто "математика" :)

[_hum_]

_hum_ в сообщении #473181 писал(а):

ewert в сообщении #473172 писал(а):

Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности.

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

ewert в сообщении #473191 писал(а):

Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):

Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

ewert в сообщении #473257 писал(а):

Неклассических доказательств этого предела не бывает.

Под "классическим" я понимал то, которое приводится во многих учебниках и задействует определение меры угла через длину дуги окружности. В нем, действительно, тогда без такого определения не обойтись. Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.

ewert в сообщении #473257 писал(а):

[...]если у нас есть теория бесконечных дробей или неважно чего там эквивалентно-вещественного -- то и ладно. Если же нет -- длины на прямой с длинами на дуге невозможно согласовать, в принципе. А значит, и никакого практического значения понятие длины дуги (формально говоря) не имеет.

Я и не собирался использовать понятие длины дуги, а вел речь лишь о том, как вообще без использования окружности можно ввести меру угла, отталкиваясь только от понятия прямого угла и его разбиений. И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

[ewert]

_hum_ в сообщении #473283 писал(а):

Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.

Невозможно. Если мы хотим хоть как-то связать меру на окружности с мерой на прямой (а к подобной связи, собственно, и сводится сей замечательный предел) -- то никак невозможно. Чудес не бывает.

_hum_ в сообщении #473283 писал(а):

И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

И тоже нет, между прочим. Для отрезков на прямой (даже и до мистических корней из двух, трёх и этцетера) вполне аккуратно определены как минимум рациональные значения, при наперёд заданном масштабе. На окружности -- этот фокус уже не пройдёт.

[_hum_]

ewert в сообщении #473297 писал(а):

_hum_ в сообщении #473283 писал(а):

Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.

Невозможно. Если мы хотим хоть как-то связать меру на окружности с мерой на прямой (а к подобной связи, собственно, и сводится сей замечательный предел) -- то никак невозможно. Чудес не бывает.

Как-то не до конца убедительно - что мешает существованию другой геометрической интерпретации для отношения $\sin x/x$ (помимо трактовки, в которой $x$ - длина дуги единичной окружности).

ewert в сообщении #473297 писал(а):

_hum_ в сообщении #473283 писал(а):

И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

И тоже нет, между прочим. Для отрезков на прямой (даже и до мистических корней из двух, трёх и этцетера) вполне аккуратно определены как минимум рациональные значения, при наперёд заданном масштабе. На окружности -- этот фокус уже не пройдёт.

Вы меня так и не услышали. Я говорил об определении меры угла без использования окружности. Ну да ладно.

[ewert]

_hum_ в сообщении #473317 писал(а):

Как-то не до конца убедительно - что мешает существованию другой геометрической интерпретации для отношения $\sin x/x$ (помимо трактовки, в которой $x$ - длина дуги единичной окружности).

Ничего не мешает. Кроме того, что любая другая трактовка практически бесполезна. А зачем она тогда нужна, а?...

_hum_ в сообщении #473317 писал(а):

Вы меня так и не услышали. Я говорил об определении меры угла без использования окружности. Ну да ладно.

Это Вы меня не услышали. Меру можно определить, в принципе, как угодно. Но если это определение окажется практически бесполезным -- то оно таковым и окажется, и аминь.

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

А что значит "инкубаторский" и почему в школе были только 9-10 классы?

[ewert]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #475329 писал(а):

А что значит "инкубаторский" и почему в школе были только 9-10 классы?

Потому, что это был 45-й интернат.

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

Ясно, просто немного сбило высказывание о везении.

[ewert]

Gortaur

(Оффтоп)

Кстати, я точно не знаю, откуда эта кличка пошла. Кажется, нас местные пацаны так дразнили, ну а нам понравилось и мы приняли это как гордое самоназвание.

[Maslov]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #476024 писал(а):

просто немного сбило высказывание о везении

А учиться в 45-м интернате -- это действительно было достаточно большое везение: туда со всей страны съезжались, и конкурс был немаленький.

ewert в сообщении #476028 писал(а):

Кажется, нас местные пацаны так дразнили

Вас многие так дразнили, не только местные :) По крайней мере, я сразу понял, о чем Вы пишете, не был только уверен, что речь именно о 45-м идет.

[ewert]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #476032 писал(а):

А учиться в 45-м интернате -- это действительно было достаточно большое везение: туда со всей страны съезжались,

Ну не со всей, не со всей, только с северо-запада. У нас, во всяком случае, примерно половина скобарей была (и я в том числе, хоть родился и в Ленинграде).

А насчёт конкурса -- совершенно не помню. К нам во Псков приехала какая-то комиссия, провела какие-то испытания, я прошёл; потом посовещались с родителями: а почему бы и не поехать, мол?...