Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности.
Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.
Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.
Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы.
Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?
Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.
Неклассических доказательств этого предела не бывает.
Под "классическим" я понимал то, которое приводится во многих учебниках и задействует определение меры угла через длину дуги окружности. В нем, действительно, тогда без такого определения не обойтись. Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.
[...]если у нас есть теория бесконечных дробей или неважно чего там эквивалентно-вещественного -- то и ладно. Если же нет -- длины на прямой с длинами на дуге невозможно согласовать, в принципе. А значит, и никакого практического значения понятие длины дуги (формально говоря) не имеет.
Я и не собирался использовать понятие длины дуги, а вел речь лишь о том, как вообще без использования окружности можно ввести меру угла, отталкиваясь только от понятия прямого угла и его разбиений. И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.