2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Gortaur в сообщении #473112 писал(а):
2. какой из них конструктивен?

Полагаю, что конструктивный - через ряды. Может быть, через интегралы. Но я в конструктивной математике ничего не понимаю :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 14:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Синус приходится по необходимости вводить геометрически, как отношение катета к гипотенузе. И ни в коем случае не через ряды, интегралы и т.п. Уж слишком много фактов элементарной геометрии на синус завязано, через ряды к ним за разумное время точно не продерёшся.

Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности. При этом существенны два обстоятельства. Во-первых, что понятие длины кривой интуитивно понятно всем, безо всяких изысканных теорий. Во-вторых, что и точную теорию выстроить тут (учитывая, что речь идёт исключительно об окружности) тоже совсем нетрудно. Во всяком случае, матшкольникам (т.е. знакомым хоть в какой-то степени с точным понятием вещественного числа) определить строго длину дуги окружности можно за вполне разумное время.

Немат школьникам же, т.е. тоже имеющим о вещественных числах некоторое представление, но весьма смутное -- всё равно никакой строгой теории не толкнёшь. Да им этого и не нужно; свои задачки они могут решать вполне уверенно, основываясь лишь на интуитивных соображениях. И когда они потом приходят в ВУЗ (где, как правило, до наведения марафета руки тоже не доходят: в школе было слишком рано, а теперь уж слишком поздно) -- никаких проблем для них это не создаёт, настолько сильно за время школьной дрессировки въелось в них понятие длины. И неважно, что оно не было обосновано строго. Вполне достаточно того, что такое обоснование возможно в принципе, и что потенциальную возможность этого они чуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 14:57 


23/12/07
1763
ewert в сообщении #473172 писал(а):
Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности.

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:01 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #473172 писал(а):
Уж слишком много фактов элементарной геометрии на синус завязано, через ряды к ним за разумное время точно не продерёшся.
Это какие, например, факты?
Через те же ряды довольно просто доказывается, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, затем рисуем единичный круг и получаем факты элементарной геометрии про отношения катетов и гипотенузы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
_hum_ в сообщении #473181 писал(а):
Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы. Правда, можно определить любую длину, определяемую конечной двоичной дробью, и этого вроде и было б достаточно, коли б были в нашем распоряжении вещественные числа; да вот ведь нет их в элементарной геометрии.

-- Ср авг 03, 2011 16:23:29 --

Maslov в сообщении #473183 писал(а):
Через те же ряды довольно просто доказывается, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, затем рисуем единичный круг

Ничего не доказывается. Нет никаких рядов как класса. Вообще ни одного ряда нет. К моменту возникновения геометрии. И никогда (к тому моменту) не будет.

Потому что при изучении любой теории (даже и математиками, не говоря уж обо всех прочих) важна мотивация. Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может. В отличие от вполне наглядного (и, следовательно, даже неважно насколько строгого) геометрического определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:41 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #473191 писал(а):
Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может.
А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гопотенузы, может?
И в чем же мотивация?

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
ewert в сообщении #473191 писал(а):
Потому что при изучении любой теории (даже и математиками, не говоря уж обо всех прочих) важна мотивация. Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может. В отличие от вполне наглядного (и, следовательно, даже неважно насколько строгого) геометрического определения.

Наглядность и внутреннее чутьё проистекают не из геометрических определений, и не из аксиоматики эвклидовой геометрии (это уже попытка осмыслить эмпирические данные), а из свойств пространства, а именно, из понятий вращения и переноса, и длины с углами, как свойств, при этом не меняющихся. А синусы-косинусы появляются, когда мы следим за тем, что происходит с проекциями (катеты-гипотенузы). Так что реальная мотивация нас приведёт к группам, к чему-нибудь вроде подхода Бурбаки. Кстати, если так подходить к геометрии, то СТО потом пойдёт как по маслу. Может, сразу с группы Пуанкаре начать, а всю это элементарную геометрию из её подгрупп получить? Впрочем, знание анализа нам всё равно понадобится...

А вообще, Пуанкаре не надо... Мы эволюционно привыкли только к трёхмерным вращениям и переносам. Группа Пуанкаре для нас, хоть и родная, но чуждая, прошу прощения за каламбур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:57 


23/12/07
1763
ewert в сообщении #473191 писал(а):
_hum_ в сообщении #473181 писал(а):
Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Цитата:
Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы.

Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

Цитата:
Правда, можно определить любую длину, определяемую конечной двоичной дробью, и этого вроде и было б достаточно, коли б были в нашем распоряжении вещественные числа; да вот ведь нет их в элементарной геометрии.

Это как? А длина диагонали квадрата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3128
Уфа
Maslov писал(а):
А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы, может?
И в чем же мотивация?
Да, чувствуется школа :D
К началу обучения в вузе ученикам хорошо известны тригонометрические функции, которые хочется изучать так же, как изучаются остальные функции. Вот и вся мотивация.
А в принципе чистым математикам тригонометрические функции можно вообще не давать. Миша Вербицкий будет в восторге :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 17:19 


29/01/07
176
default city
Maslov в сообщении #473200 писал(а):
ewert в сообщении #473191 писал(а):
Загадочный набор символов, образующих так называемый ряд и зачем-то обозванный синусом -- такой мотивацией служить никак не может.
А загадочный набор символов $\sin \alpha$, которым зачем-то обозвали отношение длины противолежащего катета к длине гопотенузы, может?
И в чем же мотивация?

Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.


Геометрическая мотивация загадочного синуса довольно проста: можно решать задачи. Ну первое что в голову приходит - как Вы без тригонометрии рассчитаете треугольник?

Последовательное и строго изложение математики должно начинаться со строгого введения натуральных чисел, вещественных чисел и тому подобного. А это, как Вы сами знаете, не самые простые вопросы. Строго говоря и физику от математики временами тяжело отличить, и химию. Так что же, упразднить предмет математика и ввести предмет "естествознание"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Maslov в сообщении #473183 писал(а):
Через те же ряды довольно просто доказывается, что


синус периодичен... ога)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 17:57 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
myra_panama в сообщении #473070 писал(а):
Padawan в сообщении #473054 писал(а):
Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями :-)


Вопрос: Как можно доказывать 'при этих формулировок' первый замечательный предел? По моему основной вопрос состоит в этом. Товарищ olenellus без жульничество хочеть доказать это?Кстати этого (доказательство) я тоже хочу увидеть :mrgreen:

Обозначим через $\sin x$ решение этого ДУ, удовлетворяющее начальным условиям $\sin(0) = 0, \sin'(0) = 1$, а через $\cos x$ -- решение, удовлетворяющее начальным условиям $\cos(0) = 1, \cos'(0) = 0$. Эти два решения исходного уравнения являются независимыми, а следовательно любое другое решение может быть представлено как их линейная комбинация.

Теперь докажем, что $\sin'(x) = \cos(x)$.

Пусть $y(x) = \sin'(x)$, тогда
$y'(x) = \sin''(x) = -\sin(x)$
$y''(x) = -\sin'(x) = -y(x)$
Другими словами, $y(x)$ удовлетворяет исходному уравнению с начальными условиями $y(0) = 1, y'(0) = 0$, откуда
$y(x) = 0 \cdot \sin(x) + 1 \cdot \cos(x) = \cos(x)$

Т.о., $\sin'(x) = \cos(x)$.

Ну а дальше по определению производной функции $\sin x$ в точке $x = 0$ получаем значение первого замечательного предела:
$\sin'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin (x)} {x} = \cos(0) = 1$

Azog в сообщении #473240 писал(а):
Геометрическая мотивация загадочного синуса довольно проста: можно решать задачи.
Ну так если те же свойства получить через интегралы, ряды или дифференциальные уравнения, то тоже можно решать задачи.

alcoholist в сообщении #473243 писал(а):
Maslov в сообщении #473183 писал(а):
Через те же ряды довольно просто доказывается, что
синус периодичен... ога)))
Да Вы почитайте Ландау (я выше давал ссылку); там все подробненько написано. И про сумму квадратов, и про периодичность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 18:04 


29/01/07
176
default city
Цитата:
Ну так если те же свойства получить через интегралы, ряды или дифференциальные уравнения, то тоже можно решать задачи.

Геометрическое определение хоть и не столь наукообразно, как прочие, не требует лишних знаний, а главное само по себе пригодно для решения задач. Из остальных определений основные свойства тригонометрических функций надо выводить. Пусть и не очень сложно, но весьма мутными методами. Если речь идет о студенте первого курса\школьнике, то он еще не видал ни дифуров, ни рядов. На кой ляд они нужны ему пока что невдомек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 18:16 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Azog в сообщении #473255 писал(а):
Если речь идет о студенте первого курса\школьнике, то он еще не видал ни дифуров, ни рядов. На кой ляд они нужны ему пока что невдомек.
Я же писал уже:
Maslov в сообщении #473200 писал(а):
Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 18:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Maslov в сообщении #473200 писал(а):
Речь же не о первом знакомстве с предметом идет, а о более-менее последовательном построении математики как единой науки, в которой деление на алгебру, геометрию, тригонометрию и т. п. весьма и весьма условно.

В том-то и дело, что очень условно. Потому и достоинства той или иной последовательности изложения -- очень условны. Говоря абстрактно.

Говоря же конкретно -- есть один неоспоримый факт. Есть некоторые базовые знания, которые необходимы здесь и сейчас. И опираться они могут лишь на интуицию (поскольку бурбакизм начиная с минус тринадцатого класса в школьную программу заведомо не втиснешь). И уж только потом, потом можно пытаться наводить формальный порядок (для особо продвинутых) -- лишь после того, как все даже и особо продвинутые прочувствуют всю пользу тех же синусов, уже заранее известных -- но не ранее.

(Оффтоп)

Боюсь, что даже и у Вас в 239-й танцы с саблями и арктангенсами демонстрировали только тем детишкам, которые уже к тому времени твёрдо знали, что такое синусы.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):
Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Неклассических доказательств этого предела не бывает. Любая попытка типа аксиоматического доказательства так или иначе будет паразитировать на классическом понимании предела как всё более и более точного приближения к реальности. "Данной нам в ощущениях", ога.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):
Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

Да, не видите. Я же специально оговорил этот Ваш пример как конечную двоичную дробь. И если у нас есть теория бесконечных дробей или неважно чего там эквивалентно-вещественного -- то и ладно. Если же нет -- длины на прямой с длинами на дуге невозможно согласовать, в принципе. А значит, и никакого практического значения понятие длины дуги (формально говоря) не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group