2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение02.08.2011, 21:44 


26/12/08
1813
Лейден
MaximVD
Почему бы не взять интеграл для арксинуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение02.08.2011, 22:31 


14/07/10
206
Gortaur
Наверное, можно и арксинус определять через интеграл. Правда, синус тогда сначала можно определить только на $[-\pi/2; \pi/2]$ и, как мне кажется, чтобы его доопределить везде, потребует заодно и арккосинус определять через интеграл, а потом ещё возиться с тем, чтобы всё это хорошо состыковалось. Но, возможно, я неправ.
Я этот метод определения тригонометрических функций на лекциях услышал. Лектор сначала определял арктангенс, возможно такой метод чем-то лучше, чем через арксинус. Хотя, вполне вероятно, что это просто предпочтение лектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение02.08.2011, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Очень интересно, MaximVD. Кажется, по неочевидности Ваш способ переплюнул даже способ Бурбаки :) Буду знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение02.08.2011, 22:41 


23/12/07
1763
olenellus в сообщении #472913 писал(а):
Дайте, пожалуйста, если не трудно, список аксиом, а так же определения длин и углов, из этой теории. А то я невежда... У меня есть с собой только "Начала" Эвклида дореволюционного времени, но там строгостью даже не пахнет.


Ну, например, [url =http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта]wiki/Аксиоматика_Гильберта[/url].

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 01:52 


29/01/07
176
default city
olenellus в сообщении #472913 писал(а):
Дайте, пожалуйста, если не трудно, список аксиом, а так же определения длин и углов, из этой теории. А то я невежда... У меня есть с собой только "Начала" Эвклида дореволюционного времени, но там строгостью даже не пахнет.

Книжку Погорелова или Кисилева посмотрите. Это учебники. В хороших :) школах длину вводят не как метрику, а как некоторый параметр который можно сравнивать. То есть если есть некоторый эталонный отрезок длины 1, то можно построить нарисовав последовательно несколько таких отрезок длины 10. С отрезками рациональной длины, тоже все честно, но ровно настолько, насколько честно вводятся натуральные числа. Рассказывать про аксиомы Пеано в школе - не совсем хорошо, все-таки. Про отрезки иррациональной длины хорошие учителя честно ссылаются на теорию пределов, которую-де в школе не учат, а плохие несут несусветную чушь. Ну это в среднем, разумеется. Вообще, доказательство замечательного предела как ввикипедии Вполне честное, во всяком случае укладывается в здравый смысл.

Вообще, боюсь, что если рассказывать детям\студентам математику от самых оснований абсолютно честно, то Вы своих подопечных сделаете неврастениками. Иногда приходится верить на слово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 02:17 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)

MaximVD в сообщении #472973 писал(а):
Можно строго определить $\sin$ и без экспонент и рядов. Правда этот способ ну очень некрасивый и неестественный, да к тому же требует знание несобственных интегралов, но всё же. Для любого $x \in \mathbb{R}$ определим арктангенс по следующей формуле:
$$
\arctg(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2 + 1},
$$
После этого немного повозившись можно определить тангенс, а на основе тангенса ещё повозившись можно корректно определить синус.
Как это ни странно, именно так меня учили в школе, и все было довольно красиво и естественно:) Правда, это была ленинградская ФМШ №239.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 06:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8562

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #473027 писал(а):
Как это ни странно, именно так меня учили в школе, и все было довольно красиво и естественно:) Правда, это была ленинградская ФМШ №239.

Вот это жесть! :shock: :shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 06:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4595
Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 09:19 


19/01/11
718
Padawan в сообщении #473054 писал(а):
Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями :-)


Вопрос: Как можно доказывать 'при этих формулировок' первый замечательный предел? По моему основной вопрос состоит в этом. Товарищ olenellus без жульничество хочеть доказать это?Кстати этого (доказательство) я тоже хочу увидеть :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 09:36 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Padawan в сообщении #473054 писал(а):
Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями :-)
Да куча есть разных способов. У Э.Ландау в "Введении в дифференциальное и интегральное исчисление" тригонометрические функции определяются через ряды:
$$ \sin x = \sum\limits_{m=0}^\infty\frac{(-1)^m} {(2m+1)!} x ^{2m+1}$$При таком подходе первый замечательный предел вообще в одно действие получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 11:52 


26/12/08
1813
Лейден
Словом, было описано несколько формальных методов:

1. через гомоморфизм и теорию групп;

2. через интеграл;

3. через ряды.

4. через ДУ.

Вопроса тоже четыре:

1. какой метод быстрее + полезнее для студентов?

2. какой из них конструктивен?

3. в каком из них легче найти первый замечательный?

4. где мотивация для введения синуса через такую ж... , черт возьми? Арнольда на вас нет (

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 12:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8562

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #473112 писал(а):
4. где мотивация для введения синуса через такую ж... , черт возьми? Арнольда на вас нет (

Немного аналогичный пример - площадь круга. В обычной школе мы о ней узнаем в 8-м классе, а если честно через матан со строгими определениями и выводами, то о числе $\pi$ узнаем лишь на 2-м курсе. :roll:
Если преподавать школьникам в массе, то нужен 1-й метод, если идеальным математикам - то 2-й метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 12:05 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
Переехали в "Вопросы преподавания".

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Maslov в сообщении #473080 писал(а):
При таком подходе первый замечательный предел вообще в одно действие получается.

Об этом я и писал. Только Ландау сразу "угадал" нужный ряд, а можно было его "вычленить" из экспоненты более-менее естественным путём. И, если идти по этому пути, то ничего замечательного в первом замечательном пределе, действительно, нет.

Padawan в сообщении #473054 писал(а):
Можно еще определить синус как решение дифференциального уравнения $y''+y=0$ с соответствующими начальными условиями :-)

В этом случае, наверно, предел можно доказать, вылив воду из чайника: решить уравнение рядами (доказав, что там всё сходится), ну а дальше мы уже знаем.

Gortaur в сообщении #473112 писал(а):
1. какой метод быстрее + полезнее для студентов?

Вам шашечки или ехать? С ближним прицелом полезнее для студентов первого курса через школьную геометрию. Ведь им дифференцировать синусы-косинусы надо уже прямо сейчас - на физике. Быстрее всего через ряды (или аналитическое продолжение экспоненты, для наглядности). С дальним прицелом полезнее через теорию групп, мне кажется.

-- Ср авг 03, 2011 11:28:23 --

_hum_ в сообщении #472994 писал(а):
Ну, например, [url =http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиоматика_Гильберта]wiki/Аксиоматика_Гильберта[/url].

Да, надо бы мне почитать эвклидову геометрию внимательнее. Вот и Munin в другой теме примерно о том же говорит, что и Вы.

Но, как я понял, напрямую функции из геометрии в анализ засовывать нельзя. Поэтому Ваше предложение (или мои фантазии о Вашем предложении) сводится к нахождению таких функций (пары), что их алгебраические свойства совпадают с таковыми для синуса и косинуса в геометрии. При этом надо ещё доказать, что эти функции существуют (если мы их явно через ряды не выпишем, что сведёт этот случай к другому, и геометрическое доказательство сделает ненужным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9883
Москва
(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность)

Первый Замечательный Предел оттого так называется, что о нём рассказывают в самом начале курса. И поэтому в доказательстве ограничиваются тем, что школьники к этому времени выучили. Жертвуя строгостью, которую они не оценят.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group