fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 18:37 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 19:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Maslov в сообщении #473251 писал(а):
Да Вы почитайте Ландау (я выше давал ссылку); там все подробненько написано. И про сумму квадратов, и про периодичность.

Пролистал: WOW! Меня его подход заворожил ещё с его "Основ анализа". Не знал, что и матан есть от этого автора. Это первая увиденная мною книга, где первый замечательный предел получается честно. Спасибо! Но я бы всё равно к тригонометрии шёл через $e^z$. Те же ряды, вроде бы, но куда прозрачнее смысл, по-моему. И потом, если мы заранее повозимся с общими доказательствами основных свойств экспоненты, то тригонометрические формулы получаются ещё легче. Ну, может, не легче, но естественнее.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 19:32 


29/01/07
176
default city

(Оффтоп)


И из разложения синуса в ряд наглядно следует его периодичность? Это плохое определение, затеняющее основные свойства этой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 19:53 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Azog в сообщении #473275 писал(а):
И из разложения синуса в ряд наглядно следует его периодичность? Это плохое определение, затеняющее основные свойства этой функции.
Дело вкуса; главное, чтобы к определенному моменту все основные свойства были сформулированы/доказаны. Это как с действительными числами: одни аксиоматически вводят, другие - через сечения, третьи - через бесконечные дроби, но результат-то все равно один.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 20:01 


23/12/07
1763
_hum_ в сообщении #473181 писал(а):
ewert в сообщении #473172 писал(а):
Единственная проблема, которая при этом возникает -- а синус от чего это, собственно. Т.е. требуется зафиксировать угловую меру. Ну так она (радианная) вполне естественно фиксируется длинами дуг окружности.

Можно и без длин дуг окружности, просто через разбиения прямого угла конгруэнтными углами.

ewert в сообщении #473191 писал(а):
Нельзя, если речь об именно первом замечательном пределе.

Кроме того, даже с определением угла возникают кой-какие проблемы. Любую рациональную длину отрезка мы чисто геометрически определить можем; а вот любой рациональный угол -- уже увы.

_hum_ в сообщении #473208 писал(а):
Нельзя принципиально, или только в "классическом" доказательстве замечательного предела?

Не вижу принципиальных отличий: например, меру в 3/4 [прямого угла] имеет угол, составленный из 3 углов, отбрасыванием четвертого при разбиении прямого на 4 конгруэнтных угла.

ewert в сообщении #473257 писал(а):
Неклассических доказательств этого предела не бывает.

Под "классическим" я понимал то, которое приводится во многих учебниках и задействует определение меры угла через длину дуги окружности. В нем, действительно, тогда без такого определения не обойтись. Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.
ewert в сообщении #473257 писал(а):
[...]если у нас есть теория бесконечных дробей или неважно чего там эквивалентно-вещественного -- то и ладно. Если же нет -- длины на прямой с длинами на дуге невозможно согласовать, в принципе. А значит, и никакого практического значения понятие длины дуги (формально говоря) не имеет.

Я и не собирался использовать понятие длины дуги, а вел речь лишь о том, как вообще без использования окружности можно ввести меру угла, отталкиваясь только от понятия прямого угла и его разбиений. И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 20:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
_hum_ в сообщении #473283 писал(а):
Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.

Невозможно. Если мы хотим хоть как-то связать меру на окружности с мерой на прямой (а к подобной связи, собственно, и сводится сей замечательный предел) -- то никак невозможно. Чудес не бывает.

_hum_ в сообщении #473283 писал(а):
И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

И тоже нет, между прочим. Для отрезков на прямой (даже и до мистических корней из двух, трёх и этцетера) вполне аккуратно определены как минимум рациональные значения, при наперёд заданном масштабе. На окружности -- этот фокус уже не пройдёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 21:14 


23/12/07
1763
ewert в сообщении #473297 писал(а):
_hum_ в сообщении #473283 писал(а):
Но, возможно, существует другое доказательство, которое бы задействовало только понятие меры угла, вводимое без использования окружности - через разбиения прямого угла.

Невозможно. Если мы хотим хоть как-то связать меру на окружности с мерой на прямой (а к подобной связи, собственно, и сводится сей замечательный предел) -- то никак невозможно. Чудес не бывает.

Как-то не до конца убедительно - что мешает существованию другой геометрической интерпретации для отношения $\sin x/x$ (помимо трактовки, в которой $x$ - длина дуги единичной окружности).
ewert в сообщении #473297 писал(а):
_hum_ в сообщении #473283 писал(а):
И этот подход, на мой взгляд, полностью аналогичен методу определения длины отрезка.

И тоже нет, между прочим. Для отрезков на прямой (даже и до мистических корней из двух, трёх и этцетера) вполне аккуратно определены как минимум рациональные значения, при наперёд заданном масштабе. На окружности -- этот фокус уже не пройдёт.

Вы меня так и не услышали. Я говорил об определении меры угла без использования окружности. Ну да ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение03.08.2011, 21:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
_hum_ в сообщении #473317 писал(а):
Как-то не до конца убедительно - что мешает существованию другой геометрической интерпретации для отношения $\sin x/x$ (помимо трактовки, в которой $x$ - длина дуги единичной окружности).

Ничего не мешает. Кроме того, что любая другая трактовка практически бесполезна. А зачем она тогда нужна, а?...

_hum_ в сообщении #473317 писал(а):
Вы меня так и не услышали. Я говорил об определении меры угла без использования окружности. Ну да ладно.

Это Вы меня не услышали. Меру можно определить, в принципе, как угодно. Но если это определение окажется практически бесполезным -- то оно таковым и окажется, и аминь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение14.08.2011, 12:44 


26/12/08
1813
Лейден
ewert

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение16.08.2011, 01:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение18.08.2011, 11:09 


26/12/08
1813
Лейден
ewert

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение18.08.2011, 11:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Gortaur

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение18.08.2011, 11:28 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел - так ли замечателен?
Сообщение18.08.2011, 11:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group