Пан-Геометрия

[Руст]

Замкнутый путь ненулевой длины (ваше условие выполнено). Следовательно не существует максимума длины (можно многократно пройти через замкнутый путь). Поэтому спасает только дополнительное требование ориентированности пути, чтобы всюду сохранялся знак $dt$.

[bayak]

Руст в сообщении #473842 писал(а):

Замкнутый путь ненулевой длины (ваше условие выполнено). Следовательно не существует максимума длины (можно многократно пройти через замкнутый путь). Поэтому спасает только дополнительное требование ориентированности пути, чтобы всюду сохранялся знак $dt$.

Не понял роль, которую Вы отводите замкнутому пути. В моём понимании надо оценивать длину пути между парой точек (1,2) по прямой и через промежуточную точку 3, т.е. сравнивать длину отрезка |1,2| и сумму длин отрезков |1,3|+|3,2|. Про дополнительное требование я добавил в предыдущий комментарий.

[Руст]

От точки $А=(0,0)$ к точке $В=(2,1)$ можно двигаться делая вначале несколько кругов $A\to C\to B, C=(5,3)$.
$|AC|=4, |CB|=\sqrt 5, |BA|=\sqrt 3$. В нашем случае и так $|AC|+|CB|>|AB$. В то же время если двигаться через $D=(1,1)$, то $|AD|+|DB|=1<|AB|$. Поэтому без ориентации путей по направлению $dt$ на измеримой прямой не достигается ни минимум, ни максимум.

[bayak]

Руст, но ориентация пути спасает только в случае пространств типа Минковского, а моё предложение более универсально.

[Руст]

bayak в сообщении #473855 писал(а):

Руст, но ориентация пути спасает только в случае пространств типа Минковского, а моё предложение более универсально.

Что универсально. Я показал, что вашему условию измеримости пути обладают. Экстремум не достигается только за счет не ориентированности пути по времени. А в случае если метрика ни Евклидова ни Минковского типа, то вариационные исчисления не работают.

[bayak]

Руст в сообщении #473859 писал(а):

Что универсально. Я показал, что вашему условию измеримости пути обладают. Экстремум не достигается только за счет не ориентированности пути по времени. А в случае если метрика ни Евклидова ни Минковского типа, то вариационные исчисления не работают

Не кипятитесь. Просто Вы не заметили добавления в комментарий, где я согласился с Вами, но предложил вместо ориентации пути по времени использовать другой критерий. Открутите записи немного назад.

[Руст]

Вы это имеете в виду.

bayak в сообщении #473839 писал(а):

Хотя, если подумать, то на вариацию пути должны быть наложены ещё более жёсткие ограничения - между парой точек надо разрешить только такой соединяющий их путь, который не пересекает светоподобные полуконусы с вершинами в этих точках.

Это не ограничивает. Можно замкнутые пути проходит оставаясь внутри полуконусов с вершинами в конечных точках.

[bayak]

Руст в сообщении #473863 писал(а):

Это не ограничивает. Можно замкнутые пути проходит оставаясь внутри полуконусов с вершинами в конечных точках.

Однако отрезок (A,C) пересекает полуконус с центром в точке В. Полуконусом здесь служит пара лучей, направленных в "будущее".

[Руст]

Только для данного конкретного пути. Можно взять указанный треугольник и поместить их в полуконусы. Затем соединить треугольник с вершинами полуконусов.

[bayak]

Руст в сообщении #473871 писал(а):

Только для данного конкретного пути. Можно взять указанный треугольник и поместить их в полуконусы. Затем соединить треугольник с вершинами полуконусов.

Ещё раз о предложенном критерии. Допустимы лишь такие пути из точки А в точку В, которые не пересекают светоподобных полуконусов с вершинами в точках А и В. Если квадрат расстояния между произвольными точками пути не положительный, то такие точки (пути) исключаются. Этот критерий совпадает с временным условием для пространств Минковского типа, но он должен работать ещё и в других пространствах (псевдоевклидовых пространствах произвольной сигнатуры, а м.б., и в финслеровых пространствах).

P.S. Похоже, что для наших целей достаточно положительности квадрата расстояния между произвольными точками пути.

[Руст]

Путь $A=(0,0), C=(5,3), D=(2,1), B=(7,2)$ все точки пути остаются в полуконусах с вершинами A и В. При этом можно делать несколько обходов $A\to C\to D\to A$ оставаясь в полуконусах.
Вообщем я устал объяснять очевидные вещи.

[bayak]

Руст в сообщении #473887 писал(а):

Путь $A=(0,0), C=(5,3), D=(2,1), B=(7,2)$ все точки пути остаются в полуконусах с вершинами A и В. При этом можно делать несколько обходов $A\to C\to D\to A$ оставаясь в полуконусах.
Вообщем я устал объяснять очевидные вещи.

А как же просветительские цели?
Выбросьте из рассмотрения замкнутые пути и всё станет на место. Впрочем, если Вы ещё не совсем устали, то посмотрите постскриптум в предыдущем моём комментарии.

[Time]

alcoholist в сообщении #472993 писал(а):

Насчет финслеровой геометрии... мне кажется, у участников дискуссии весьма смутное представление о том, что это такое. Высказывания, подобные

Time в сообщении #455516 писал(а):

Первый идет от Картана и связан с двухиндексным финслеровым метрическим тензором, зависящим как от точки, так и от направления в касательном пространстве. Второй идет от Рашевского. Только второй подход и признает Гарасько. В нем финслеров метрический тензор, как и риманов, не зависит от направления, а лишь от точки, однако в общем случае имеет не два индекса, а больше, в зависимости от "арности" фундаментальной метрической формы.

не подлежат адекватной расшифровке (= я не могу понять, что они означают в точности)


Давайте по-простому будем: гладкое многообразие $M$ называется финслеровым, если каждое касательное пространство $T_xM$ снабжено (гладкой... но можно и предельные случаи рассматривать) нормой $\|\cdot\|_x$, гладко зависящей от точки $x\in M$. Гладкая зависимость от точки -- гладкость в каждой карте отображения $(x,v)\to \|v\|_x$.

На счет поимания в точности - какие проблемы? В посте, откуда Вы вырезали фразу есть ссылка, посмотрите, может станет понятнее..
Предлагаемое Вами "простое" определение выбрасывает за рамки финслеровости, например, такие важные для физики многообразия, у которых следующие метрические функции:
$dS^2=dx_1dx_2+dx_1dx_3+dx_1dx_4+dx_2dx_3+dx_2dx_4+dx_3dx_4$
$dS^3=dx_1dx_2dx_3+dx_1dx_2dx_4+dx_1dx_3dx_4+dx_2dx_3dx_4$
$dS^4=dx_1dx_2dx_3dx_4$.
Конечно, при желании их можно просто по другому называть, например, псевдофинслеровыми или пространствами с мультинормами. Это не принципиально. Принципиально то, что основываясь на классическом подходе (т.е. типа Вашего "простого" определения, но примененного к подобным пространствам) даже простейших геометрических свойств таких многообразий часто бывает не разглядеть. В частности, не разглядеть возможностей для введения обобщений углов, а тем более их обобщений на меры фигур из трех и более векторов (полиуглы). Вместе с этим за бортом оказываются непрерывные симметрии этих пространств, являющиеся финслеровыми обобщениями конформных преобразований евклидовых пространств. А какой же физик станет игнорировать непрерывные симметрии?
Короче, попробуйте предложить "простое" и одновременно работоспособное основание для работы с многообразиями, метрические формы которых выписаны выше, а как их называть, финслеровыми или нефинслеровыми, дело десятое..
Полагаю, если такое простое и работоспособное основание Вы сформулируете, то и моя фраза, на которую Вы ссылаетесь как на неадекватную, уже вряд ли покажется таковой..

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #473962 писал(а):

На счет поимания в точности - какие проблемы? В посте, откуда Вы вырезали фразу есть ссылка, посмотрите, может станет понятнее..

А что, вас уже выпустили из сумасшедшего дома?

[Time]

Kallikanzarid

Анекдот припоминается..
Мужик на Красной площади спрашивает: "И зачем такую большую стену вокруг Кремля отгрохали?"
Ему постовой отвечает: "Что бы дураки не лазили".
Мужик: "Оттуда?"

Я нахожусь явно в иной компании
http://cs.unitbv.ro/fert2011/
чем можете позволить себе вы. Наверное, отсюда и поскуливание..