Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[whitefox]

А разве доказано, что оценка Виноградова для тригонометрических сумм не улучшаема?
Возможно, что на этом пути удастся решить и бинарную проблему Гольдбаха.

[vorvalm]

whitefox
А никто ничего и не отрицает. Ведь до сих пор решают БТФ.
Как говорится "битому неймется".

[Батороев]

(Оффтоп)

vorvalm в сообщении #468280 писал(а):

Батороев
Мое замечание никакого отношения к вам не имеет и адвокат здесь не нужен.

Типа, "пошоль нафиг, с Новым годом!" ?

[vorvalm]

"Юпитер, ты сердишся? Значит ты не прав" Юнона.

[Батороев]

(Оффтоп)

Как я могу на вас сердиться, ведь вы такой прикольный! Это ж надо было догадаться, добиваться своей правоты, выводя оппонента из себя!!!
Почти, по Янковскому-Мюнгхаузену...
Когда я рассержусь, я отмечу свое сообщение другим смайликом.

[vorvalm]

Да...До "Юпитера" вам еще далеко.

[Батороев]

Точно так же, как вам до "Юноны"!

Ну, что ж, господин "Геросрат", вы достигли того, чего добивались, и я вынужден просить модераторов отправить тему в Пургаторий, т.к. не смотря на то, что в ней хоть и есть отдельные содержательные сообщения, но она ныне покрылась т-а-а-а-а-ким толстенным слоем гов пурги!!!

[AKM]

Тема закрыта на анализы и, возможно, на деvorvalmизацию.
Тема открыта по просьбам трудящихся.

[Sonic86]

Я попытался найти точные нижние и верхние оценки сверху для плотности $\rho (x,P) = \sum\limits_{1 \leqslant a \leqslant x, x \perp P} 1$. Сама плотность равна
$\rho (x,P) = \sum\limits_{1 \leqslant r < P, r \perp P} \left[ \frac{x+r}{P} \right] = $
$x\frac{\varphi (P)}{P} + \frac{\varphi(P)}{2} - \sum\limits_{1 \leqslant r < P, x \perp P} \left\{ \frac{x+r}{P} \right\} \leqslant x\frac{\varphi (P)}{P}+ \frac{\varphi(P)}{2}$
и аналогично $\rho (x,P) \geqslant x\frac{\varphi (P)}{P} - \frac{\varphi(P)}{2}$.
Т.е. плотность зажата в коридоре шириной $\varphi(P)$. В общем случае, оценка, видимо, неулучшаема - можно подобрать такую последовательность $P_m$ с постоянным числом простых множителей, что $\rho (x,P_m)$ подходит сколь угодно близко к этим границам. Хотя для конкретно выбранного $P$ коридор оказывается уже. Сама разность $\rho (x,P_m) - x\frac{\varphi (P)}{P}$ оказалась довольно интересная, но толку от этого, кажется, мало. Я еще не проверил, как меняется $\rho (x,P)$, если в $P$ увеличивать число множителей. Если интересно - могу посмотреть...

Вот тут еще немного есть: topic47971.html

-- Чт июл 21, 2011 05:02:48 --

Батороев, я еще попытался разобраться в Вашей конструкции. Понял так: Вы берете число $P$ (свободное от квадратов), домножаете его на $q$, взаимно простое с $P$, разбиваете отрезок $[1;Pq]$ на отрезки, содержащие ровно по $q$ чисел (всего $P$ отрезков), а затем находите число чисел $N(m,P,q)=\sum\limits_{qm+1 \leqslant r \leqslant q(m+1), r \perp P}1$, где $m=0,...,P-1$ - номер отрезка, содержащего $q$ чисел и потом находите распределение $N(m,P,q)$ по всем $m$.
Вас именно это интересует? Можно попытаться найти распределение и так...

-- Чт июл 21, 2011 05:33:20 --

Очевидно, что $\sum\limits_{m=1}^P N(m,P,q) = \varphi (P)q$
Например, для $P=p$ - простого и $q>p$ $N(m,p,q)$ может принимать всего 2 значения: $\left[ \frac{\varphi (p)}{p}q\right]$ и $\left[ \frac{\varphi (p)}{p}q\right]+1$. Пусть 1-е значение $N(m,p,q)$ принимает $a$ раз, а 2-е - $b$ - раз. Тогда получаем уравнение
$a\left[ \frac{\varphi (p)}{p}q\right] + b \left( \left[ \frac{\varphi (p)}{p}q\right]+1 \right) = \varphi (p)q$, с условием $a+b=p$, которое легко решается:
$a+b = p$
$b=\varphi (p)q - p\left[ \frac{\varphi (p)}{p}q\right] = \varphi (p)q \mod p$.
Вот уже что-то...

[Батороев]

Sonic86

Вы довольно быстро прогрессируете, по крайней мере, по сравнению с тем, каким Вы появились на форуме. Теперь уже я не очень понимаю Ваши выкладки, но не из-за того, что они верные или неверные. Просто моих знаний не хватает.

Sonic86 в сообщении #470127 писал(а):

Батороев, я еще попытался разобраться в Вашей конструкции. Понял так: Вы берете число $P$ (свободное от квадратов), домножаете его на $q$, взаимно простое с $P$, разбиваете отрезок $[1;Pq]$ на отрезки, содержащие ровно по $q$ чисел (всего $P$ отрезков), а затем находите число чисел $N(m,P,q)=\sum\limits_{qm+1 \leqslant r \leqslant q(m+1), r \perp P}1$, где $m=0,...,P-1$ - номер отрезка, содержащего $q$ чисел и потом находите распределение $N(m,P,q)$ по всем $m$.
Вас именно это интересует?

Давайте я на пальцах объясню, какова конструкция моего рассмотрения и что требуется.

Имеем число $N=100$.
$\sqrt{100}=10$, следовательно, все составные числа будут иметь простые множители до $7$ включительно.
Рассмотрим примориал $7\#=210$.
На интервале натурального ряда от $1$ до $210$ имеется $\varphi (210)=\varphi(2)\cdot\varphi(3)\cdot\varphi(5)\cdot\varphi(7)=1\cdot 2\cdot4\cdot6=48$ чисел, взаимнопростых с $7\#$, расположенных на интервале от $1$ до $210$.

Разбивая этот интервал на $5\#=2\cdot 3\cdot5=30$ частей, получаем подинтервалы, равные $\dfrac {210}{30}=7$. Находим количество взаимнопростых чисел, приходящихся в среднем на этот подинтервал: $n_s=\dfrac{\varphi(210)}{5\#}=\dfrac {48}{30}=1,6 $.

На участке от $1$ до $7^2<N$ имеется не менее $\dfrac{7^2-7}{7}=6$ подинтервалов, на которых по нашим прикидкам должно быть примерно $1,6\cdot 6=9,6$ взаимнопростых чисел, а следовательно, простых.

На основании проделанной работы берем на себя "смелость" утверждать, что кроме "известных" нам простых чисел $2,3,5,7$ до числа $N$ имеется, как минимум, еще одно простое число.
Но и данную "смелость" нужно подкрепить доказательством того, что действительная равномерность распределения взаимнопростых чисел не может отличаться от нашей прикидочной настолько, что на указанном участке от $7$ до $49$ вместо заявленных нами $9$ простых вдруг не окажется ни одного (!!!) простого числа.

При этом надо учесть, что с ростом числа $N$ средняя плотность $n_s$ также растет (причем, без ограничений), соответственно, растет и вероятность того, что число $7$ - не последнее простое.

p.s. В Ваших обозначения для данного примера, по-видимому, $q=7$.

[Sonic86]

Батороев в сообщении #470431 писал(а):

Теперь уже я не очень понимаю Ваши выкладки, но не из-за того, что они верные или неверные. Просто моих знаний не хватает.

А что я такого написал? $a \perp b$ означает "$a$ взаимно просто с $b$". Просто так короче всего обозначить (обозначение взял из Кнута из Конкретной математики). Остальные все буковки вроде обычные...

Прочел Ваш текст. Ну да - я так и понял, и теперь Вы написали задачу более явно. В терминах распределения значений функции $N(m,P,q)$ для $P=p_1...p_i$ и $q=p_{i+1}$ Ваше утверждение вполне может следовать из того, что, например, число $m:N(m,P,q)=0$ ограничено сверху для всех $P,q$ и, предположим, очень мало (например $=2$). Вот и попробую это доказать.
Просто мне нужно понять, насколько метод вообще работает и насколько он обобщается с последовательности простых на последовательность произвольных попарно взаимно простых чисел, причем вместо чисел $a:p|a$ нужно исключать числа из произвольных прогрессий $a:a \equiv r \pmod m$.

[Sonic86]

Батороев в сообщении #470431 писал(а):

На участке от $1$ до $7^2<N$ имеется не менее $\dfrac{7^2-7}{7}=6$ подинтервалов, на которых по нашим прикидкам должно быть примерно $1,6\cdot 6=9,6$ взаимнопростых чисел, а следовательно, простых.

На основании проделанной работы берем на себя "смелость" утверждать, что кроме "известных" нам простых чисел $2,3,5,7$ до числа $N$ имеется, как минимум, еще одно простое число.

Вообще-то, то, что в интервале $(p_i;p_i^2)$ для $i \geqslant i_0$ имеется хотя бы одно простое число следует из постулата Бертрана, а для $i<i_0$ может быть проверено ручками. Сейчас-то основная гипотеза - о наличии простого числа в промежутке $[n;n+\sqrt{n}]$...

[Батороев]

Sonic86 в сообщении #470546 писал(а):

Вообще-то, то, что в интервале $(p_i;p_i^2)$ для $i \geqslant i_0$ имеется хотя бы одно простое число следует из постулата Бертрана, а для $i<i_0$ может быть проверено ручками. Сейчас-то основная гипотеза - о наличии простого числа в промежутке $[n;n+\sqrt{n}]$...

Насколько я понял основная гипотеза подразумевает исключение: $n=113$, получаемое из-за того, что это число находится на втором подинтервале от половины примориала $7\#$ (на первом - все простые, непревосходящие $\sqrt{n}$, являются делителями четных составных чисел, соответственно, на втором в основном - делителями нечетных составных чисел, из-за чего и наблюдается некоторый "провал" в простых числах).
Если доказать, что действительная минимальная плотность взаимнопростых чисел на подинтервалах в примориале (исключая первый и последний подинтервалы) не может отличаться от рассматриваемой нами средней плотности $n_s$ на некоторую величину, не равную самой $n_s$ (!), то в принципе, тем самым можно было бы доказать и эту основную гипотезу.
Или другой вариант: доказать, что плотность взаимнопростых чисел на подинтервалах минимальна на первом и последнем подинтервалах примориала, где плотность равна $1$ (числа $1$ и $(p\#-1)$ ).

А вообще-то, я начал тему с рассмотрения распределения взаимнопростых и простых чисел в примориалах практически с одной целью: "подготовить почву" для последующих представлений рассмотрения: а) бесконечности пар простых-близнецов и б) справедливости гипотезы Гольдбаха.

-- 22 июл 2011 20:00 --

Sonic86 в сообщении #470513 писал(а):

Батороев в сообщении #470431 писал(а):

Теперь уже я не очень понимаю Ваши выкладки, но не из-за того, что они верные или неверные. Просто моих знаний не хватает.

А что я такого написал? $a \perp b$ означает "$a$ взаимно просто с $b$". Просто так короче всего обозначить (обозначение взял из Кнута из Конкретной математики). Остальные все буковки вроде обычные...

Когда знаешь, все кажется обычным, когда не знаешь, все кажется загадочным!
Попробую не спеша, разобраться.

[Батороев]

Не прошло и десяти лет...

1. Простые числа.
Обозначения:
$\varphi$ - функция Эйлера;
$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

Число простых в приморале:

$$\pi_{p_{r}\#} > \dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#}+s\egno (1)$$

2. Простые числа-близнецы.
Обозначения:
$\varphi_{II}$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых-близнецов, не превышающих $n$ и взаимно простых с $n$. Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{II} = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{II}_1=1$.

$B_{p_r\#}$ - число пар простых-близнецов в примориале $p_r\#>6$ без учета пар простых-близнецов до $p_s$:

$$B_{p_r\#} > \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} > 1\egno (2)$$

[Батороев]

Рассмотрим средние части неравенств, полученных в предыдущем сообщении:

$$K_{p_{r}\#} =\dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#}\egno (3)$$

$$L_{p_{r}\#} = \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} \egno (4)$$

,
где $K_{p_{r}\#}$ - примерное количество простых чисел в примориале $p_{r}\#$, превышающих $p_{r}$, рассчитанных из допущения, что составные числа в примориалах расположены равномерно;
$L_{p_{r}\#}$ - примерное количество пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$, превышающих $p_{r}$, рассчитанных из допущения, что пары чисел-близнецов, среди которых хотя бы одно число - не простое ("пары составных-близнецов"), в примориалах расположены равномерно.
Указанное выше допущение ведет к погрешности чисел $K_{p_{r}\#}$ и $L_{p_{r}\#}$ относительно чисел $(\pi_{p_{r}\#}-s)$ и $B_{p_{r}\#}$ (обозначения из предыдущего сообщения).
Перепишем выражения (3) и (4):

$$K_{p_{r}\#} =\varphi_{p_{r\#}} \cdot \dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{p_{r\#}} \cdot p_s\#}\egno (5)$$

$$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$

В выражении (5) первый множитель $\varphi_{p_{r\#}}$ определяет количество чисел, взаимно простых с $p_{r\#}$. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится $\varphi_{p_{r}\#}$ с учетом составных чисел, кратных $p_{r+1}…p_s$. Число таких составных в связи с неравномерностью их распределения (см. введенное допущение) – не точное («недостоверное число $k_r$ »).
В выражении (6) первый множитель $\varphi_{II p_r\#}$ определяет количество пар натуральных чисел-близнецов, оба из которых взаимно простые c $p_{r\#}$. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится количество $\varphi_{p_{r}\#}$ с учетом пар составных-близнецов , кратных $p_{r+1}…p_s$. Число таких пар составных-близнецов в связи с их неравномерностью распределения – не точное («недостоверное число $l_r$»).
Приведу примеры:
Для примориала $7\#$ число, квадрат которого не превышает примориал : $p_s=13$.

$$L_{7\#}=48\cdot \dfrac {5760\cdot 210}{48\cdot 30030}=40,2797\egno (7)$$

$$ k_{7\#}=15\cdot \dfrac {1485 \cdot 210}{15 \cdot 30030}= 10,3846 \egno (8)$$

На «недостоверные» числа приходится:
$k_r=\varphi_{7\#}- L_{7\#}=48-40,2797=7,7203 \egno (9)$
$l_r=\varphi_{II 7\#} - K_{p_{r}\#}=15-10,3846=4,6154 \egno (10)$
Из выражений (9) и (10) видно, что для примориала $7\#$ отношения «недостоверных» к «достоверным» соответственно равны: $ \dfrac {7,7203}{48}=0,1608$ и $\dfrac {4,6154}{15}=0,3077$. И эти отношения с ростом примориалов $p_r\#$ будут только уменьшаться (доказательство не сложное и, если потребуется, могу предоставить позже). Т.к. доля «недостоверных» чисел меньше половины «достоверных», то можно записать верные неравенства:

$$ \pi_{p_{r}\#}-s>\dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{p_r\#}>1 \egno (11)$$

$$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$

(т.к. мы удалили из выражений (5), (6) половину «достоверных», что превышает количество «недостоверных»).
Неравенство (11) доказывает бесконечность простых чисел, превышающих $7\#$ (сколько бы ни было до $p_s$ простых чисел, в примориале $p_r\#$ всегда найдется еще одно простое число, превышающее $p_s$).
Неравенство (12) доказывает бесконечность пар простых-близнецов в примориалах, превышающих $7\#$ (сколько бы ни было пар простых-близнецов до $p_s$, в примориале $p_r\#$ всегда найдется еще одна пара простых-близнецов, превышающая $p_s$).

Аналогично доказательству бесконечности пар простых-близнецов доказывается и справедливость гипотезы Гольдбаха. Только необходимо ввести новые обозначения:
$2N$ - натуральное четное число.
$p_{u}$ - простое число, примориал которого не превышает $N$, где $u$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел,
$p_{v}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{u}\#$.
$\varphi_{g}$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых, в сумме равных числу $2N$, взаимно простых с $p_v\#$. Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{g} = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{G}_1=1$.
$ G_{p_u\#}$ - количество пар простых чисел, в сумме равных $2N$, на интервале от $N-p_{u}\#$ до $N+p_{u}\#$
Для гипотезы Гольдбаха можно также записать верное неравенство:

$$ G_{p_u\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{G p_u\#}>1 \egno (13)$$

.
Неравенство (13) доказывает, что у любого четного числа $2N$, превышающего $2\cdot 7\#$ на интервале от $N-p_{u}\#$ до $N+p_{u}\#$ всегда найдется пара простых чисел, которые в сумме дадут число $2N$ (гипотеза Гольдбаха).