2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.
 
 Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение27.05.2011, 12:58 


23/01/07
3439
Новосибирск
Тема открыта в развитие вопроса, возникшего в теме "Два натуральных числа взаимно просты".
Вопрос звучал следующим образом:
Батороев в сообщении #447516 писал(а):
Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.
Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

Не получив определенного ответа, попытался в меру своих сил рассмотреть его самостоятельно.

Итак, имеется примориал $p_{i}\#$.
Число чисел, взаимнопростых этому примориалу (далее - взаимнопростых), расположенных на интервале от $1$ до $p_{i}\#$ равно функции Эйлера $\varphi  (p_{i}\#)$.

Если поделить $\varphi  (p_{i}\#)$ на $p_{i-1}\#$, то получим среднее значение количества взаимнопростых чисел, расположенных в пределах примориала $p_{i}\#$ на интервалах, равных $p_{i}$:

$ n_s= \dfrac{\varphi  (p_{i}\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac {(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$

Очевидно, что $n_s$ с ростом $i$ монотонно возрастает (и стремится к бесконечности).
Это, что касается средней плотности взаимнопростых чисел.

Что касается равномерности распределения взаимнопростых чисел внутри примориала $p_{i}\#$, то можно выделить два интервала, на которых количество взаимнопростых чисел минимально.
Это интервалы:
1.1. от $1$ до $p_{i}$;
1.2. от $(p_{i}\#-p_{i})$ до $p_{i}\#$
На этих интервалах количество взаимнопростых чисел равно $1$.

Также можно выделить два интервала, на которых количество взаимнопростых максимально.
Это интервалы:
2.1. от $\left(\dfrac{p_{i}\#}{2}-p_{i}\right)$ до $\dfrac{p_{i}\#}{2}$;
2.2. от $\dfrac{p_{i}\#}{2}$ до $\left(\dfrac{p_{i}\#}{2}-p_{i}\right)$.
Природа такого "максимализма" заключается в том, что на этих интервалах числа, кратные простым до $i$, все имеют четные значения (за исключением самого числа $\dfrac{p_{i}\#}{2}$ ).

На остальных интервалах примориала $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел, как мне представляется, более или менее равномерное.


В примориале $p_{i}\#$ можно выделить интервал -
3.1. от $p_{i+1}^2$ до $p_{i+1}\cdot p_{i+2}$,
который превосходит по величине интервал $2p_{i}$ и в границах которого все взаимнопростые числа являются простыми. Данный интервал при $p_i>p_5=11$ не входит в интервалы 1.1 и 1.2. Поэтому по-видимому, с некоторой степенью приближения можно ожидать на этих участках число простых чисел, соизмеримое с $n_s$.

p.s. Интересно, можно ли на основе данных рассуждений строить доказательство бесконечности простых чисел? Ведь, если даже для какого-либо $p_i$ на интервале 3.1. вдруг (!!! :shock: ) не окажется взаимнопростых чисел (т.е. простых чисел), то переходя к следующим простым $p_{i+j}$, обязательно прийдем к области, в которой взаимнопростые (а следовательно, простые) будут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение27.05.2011, 21:23 


29/07/08
536
Уважаемый Батороев!
Аналогичные вопросы я поднимал в своей теме "Табличные формы простых чисел".
Могу сразу сказать, пункты 1.1 и 1.2 не верны. Проверьте на компьютере до первого миллиона.
В пределе фиксированного праймориала простые числа распределены вполне закономерно. На основе этих закономерностей я нашел простое с 30000 десятичных знаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение28.05.2011, 16:02 


23/01/07
3439
Новосибирск
Уважаемый Побережный Александр!

У меня речь идет о распределении не простых чисел, а чисел, взаимнопростых с примориалом. Это не одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.06.2011, 11:08 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5669
Батороев в сообщении #450748 писал(а):
Если поделить $\varphi (p_{i}\#)$ на $p_{i-1}\#$, то получим среднее значение количества взаимнопростых чисел, расположенных в пределах примориала $p_{i}\#$ на интервалах, равных $p_{i}$:

$ n_s= \dfrac{\varphi (p_{i}\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac {(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$

Очевидно, что $n_s$ с ростом $i$ монотонно возрастает (и стремится к бесконечности).

Это неверно: $n_s$ с ростом $i$ стемится к нулю.
Дело в том, что есть известное (со времен Эйлера) произведение, связанное с гармоническим рядом:
$$\prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right)^{-1} = \infty$$
См. http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html

А ваше произведение является к нему обратным:
$$\prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right) = 0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение07.06.2011, 10:47 


23/01/07
3439
Новосибирск
Уважаемый maxal

Вы не обратили внимание на небольшую разницу. Мое произведение выглядит так: $$(p_{j+1}-1)\cdot \prod_{j=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_j}\right)= \infty.$$
В моих обозначениях: $i=j+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение30.06.2011, 09:42 


23/01/07
3439
Новосибирск
Подготовил картинку, на которой показано распределение взаимнопростых чисел в натуральном ряду.
Желтым цветом обозначены нулевые остатки по основаниям простых.
Светло-корчневым - взаимнопростые по основанию примориала из тех простых, среди которых распространяются данные линии.
Розовым цветом обозначены нулевые остатки простых чисел, т.е. чисел, взаимнопростых со всеми простыми, непревосходящими $\sqrt n$.
Изображение
Рис. 1

Картинка в принципе показывает банальные вещи, но нужна для последующего рассмотрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение30.06.2011, 12:01 


23/01/07
3439
Новосибирск
Теперь предлагаю рассмотреть другой ряд, а именно, последовательный ряд чисел $n^2-1$.
Если провести проверку делимости данных чисел на последовательные простые числа, то получим следующий рисунок:

Изображение
Рис. 2

Чтобы описать то, что видно на рисунке, введем определения:

Число $n$ назовем "взаимнопростым", если $n^2-1$ взаимнопростое по отношению к примориалу $p_j\#$, где $j$ - натуральное число.
Число $n$ назовем "простым", если $n^2-1$ взаимнопростое по отношению к примориалу $p_i\#$, где $p_i$ - наибольшее простое число, непревосходящее $\sqrt n$.
Число, не являющееся "простым", назовем "составным".

Цветовые обозначения на рис. 2 такие же, что и на рис. 1 (естественно, с учетом кавычек).

Из рис. 2 видно, что каждое "простое" число соответствуют паре простых-близнецов. Действительно, если числа $n+1$ и $n-1$ - простые, то их произведение $(n+1)(n-1)=n^2-1$ будет взаимнопростым по отношению ко всем простым, непревосходящим $\sqrt n$.

Введем еще одно понятие:
Количество чисел $n$, не больших натурального числа $s$ и "взаимнопростых" с ним, назовем "функцией Эйлера" $\phi (s)$.

Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$, т.к. числа, имеющие остаток $n \equiv \pm 1\pmod p$, и только эти числа могут иметь остаток $(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_j\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Тогда среднее количество чисел $n$, "взаимнопростых" с примориалом $p_i\#$ и расположенных на интервалах длиной $p_i$, равно:

$b_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$.

(чтобы избежать недоразумений, обращаю внимание на индексы).

После сокращения чисел в числителе и знаменателе, получим выражение, как произведение дробей: $ b_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$, каждая из которых за исключением первой больше единицы. Т.к. число простых чисел бесконечно, то бесконечно и число таких дробей. Следовательно, $b_s$ стремится к бесконечности.

На интервалах длиной $p_i$ на участке от $p_i$ до $p_{i+1}^2$ все числа, "взаимнопростые" с примориалом $p_i\#$, являются "простыми". Количество таких интервалов с каждым простым $p_i$ увеличивается и также стремится к бесконечности.

Таким образом, показано, что число пар простых-близнецов бесконечно.

p.s. Интересно то, что пары простых-близнецов сами являются своеобразным "тормозом" роста значения $b_s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.07.2011, 11:01 


31/12/10
1555
Батороев
Вынужден вас огорчить.
Ваше доказательство мягко говоря шито "цветными" нитками. Если перевести ваши новации (в ковычках) в обозначении простых чисел и особенно функции Эйлера на нормальный язык теории чисел, то последняя ваша формула должна быть такой:
$b_s=\frac {p_i}{2}\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$, где $\frac 1 2\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$ - средняя плотность близнецов, взаимно простых с праймориалом.
$b_s$ - число близнецов, приходящееся на интервал $p_i$, хотя этот интервл можно расширить до $p^2_{i+1}$
Даже если взять интервал от $p_{i+1}$ до $p^2_{i+1}$, то при $p_i\rightarrow\infty$ этот интерал $\rightarrow 0$ по отношению к праймориалу, и вполне допустимо, что все близнецы будут не простые, но взаимно простые с праймориалом, т.е. вне интервала простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.07.2011, 15:26 


23/01/07
3439
Новосибирск
vorvalm в сообщении #463921 писал(а):
Батороев
Вынужден вас огорчить.
Ваше доказательство мягко говоря шито "цветными" нитками. Если перевести ваши новации (в ковычках) в обозначении простых чисел и особенно функции Эйлера на нормальный язык теории чисел, то последняя ваша формула должна быть такой:
$b_s=\frac {p_i}{2}\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$, где $\frac 1 2\prod_3^{p_i}\frac{(p_i-2)}{p_i}$ - средняя плотность близнецов, взаимно простых с праймориалом.
$b_s$ - число близнецов, приходящееся на интервал $p_i$, хотя этот интервл можно расширить до $p^2_{i+1}$
Даже если взять интервал от $p_{i+1}$ до $p^2_{i+1}$, то при $p_i\rightarrow\infty$ этот интерал $\rightarrow 0$ по отношению к праймориалу, и вполне допустимо, что все близнецы будут не простые, но взаимно простые с праймориалом, т.е. вне интервала простых чисел.

Чем же Вы могли меня огорчить?!
Тем, что не можете признать простыми числа, меньшие $p_{i+1}^2$, взаимнопростые с примориалом $p_i\#$ (по-другому, это можно сформулировать так: числа, взаимнопростые ко всем простым, не превышающим корень из этого числа")?!

p.s. Хорошие вещи в отличие от плохих, сшитых одними белыми нитками, так и шьют - цветными. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.07.2011, 17:38 


31/12/10
1555
Батороев
Простые числа в этом интервале трудно не признавать, но вот с простыми близнецами в этом интервале - большой вопрос? Из вашего доказательства это не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.07.2011, 18:31 


23/01/07
3439
Новосибирск
Батороев в сообщении #463661 писал(а):
Из рис. 2 видно, что каждое "простое" число соответствуют паре простых-близнецов. Действительно, если числа $n+1$ и $n-1$ - простые, то их произведение $(n+1)(n-1)=n^2-1$ будет взаимнопростым по отношению ко всем простым, непревосходящим $\sqrt n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.07.2011, 19:46 


31/12/10
1555
Батороев
Разберитесь с вашим понятием "функции Эйлера". В одном случае она равна $\varphi(p_i)=p_i-1$, в другом $\varphi(p_i)=p_i-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 07:24 


23/01/07
3439
Новосибирск
Спасибо за указание неточности в написании.
Сам расписал, как считать. Сам написал, как не надо считать! Во всем виновата жара!!! :)

Батороев в сообщении #463661 писал(а):
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е. $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от $1$ до $p_j\#$ "взаимнопростых" с этим примориалом:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$

Правильно должно быть:

$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 08:50 


31/12/10
1555
Батороев
К чему такие сложности в определении вашей функции.
Это каждый раз надо огаваривать, что "функция Эйлера" в ковычках не функция Эйлера. Кстати, эту же функцию использовал В.Бруно в своей теореме о близнецах. Может обозначите ее $\beta(p_i)$ по первой букве Бруно, да и ваша фамилия подходит.
Только довольно странно, когда в функции присутствует элемент из другой функции (2-1). Это не этично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение02.07.2011, 09:21 


23/01/07
3439
Новосибирск
Да, почему ж не этично? Если это оговорено:
Батороев в сообщении #463661 писал(а):
Для простых $s=p$ "функция Эйлера" равна: $\phi (p)=p-2$, т.к. числа, имеющие остаток $n \equiv \pm 1\pmod p$, и только эти числа могут иметь остаток $(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$. Исключение составляет простое $2$. Для него $\phi (2)=1$.


Буква $\beta$, сто пудов, в математике уже занята. А чем Вам не нравится фи-маленькая? Вродь, функция Эйлера, но в то же время, не она! :))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 302 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group