Теперь предлагаю рассмотреть другой ряд, а именно, последовательный ряд чисел
![$n^2-1$ $n^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd78e6deafdfa4a0c2c1ddc0303128e82.png)
.
Если провести проверку делимости данных чисел на последовательные простые числа, то получим следующий рисунок:
![Изображение](http://i043.radikal.ru/1106/a9/58e1a63dd0f8.jpg)
Рис. 2
Чтобы описать то, что видно на рисунке, введем определения:
Число
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
назовем "взаимнопростым", если
![$n^2-1$ $n^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd78e6deafdfa4a0c2c1ddc0303128e82.png)
взаимнопростое по отношению к примориалу
![$p_j\#$ $p_j\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361cd024b34f940c47bef1fb8c95f80582.png)
, где
![$j$ $j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/b/36b5afebdba34564d884d347484ac0c782.png)
- натуральное число.
Число
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
назовем "простым", если
![$n^2-1$ $n^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd78e6deafdfa4a0c2c1ddc0303128e82.png)
взаимнопростое по отношению к примориалу
![$p_i\#$ $p_i\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/7/3b7afc4f3ff265f6d84606a87ea0387782.png)
, где
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
- наибольшее простое число, непревосходящее
![$\sqrt n$ $\sqrt n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93b24efebc05b1e22c7cc28a61f7dcb282.png)
.
Число, не являющееся "простым", назовем "составным".
Цветовые обозначения на рис. 2 такие же, что и на рис. 1 (естественно, с учетом кавычек).
Из рис. 2 видно, что каждое "простое" число соответствуют паре простых-близнецов. Действительно, если числа
![$n+1$ $n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f18d8f60c110e865571bba5ba67dcc682.png)
и
![$n-1$ $n-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/c/efcf8d472ecdd2ea56d727b5746100e382.png)
- простые, то их произведение
![$(n+1)(n-1)=n^2-1$ $(n+1)(n-1)=n^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/278f64f59cec0d216e8f15f906955c3b82.png)
будет взаимнопростым по отношению ко всем простым, непревосходящим
![$\sqrt n$ $\sqrt n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93b24efebc05b1e22c7cc28a61f7dcb282.png)
.
Введем еще одно понятие:
Количество чисел
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, не больших натурального числа
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
и "взаимнопростых" с ним, назовем "функцией Эйлера"
![$\phi (s)$ $\phi (s)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4b27ff7613adcdb46ac7052b036e65282.png)
.
Для простых
![$s=p$ $s=p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/a/dba4c6f34b92020ca68049818840520d82.png)
"функция Эйлера" равна:
![$\phi (p)=p-2$ $\phi (p)=p-2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/3/fd3d2d43411006a4b478092ca82cd7ba82.png)
, т.к. числа, имеющие остаток
![$n \equiv \pm 1\pmod p$ $n \equiv \pm 1\pmod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/8/378052de35fb22e589faa51da1ac927082.png)
, и только эти числа могут иметь остаток
![$(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$ $(n^2-1)\equiv 0 \pmod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/d/cad2ba8d18c667cdf8fc1d3e8079af7582.png)
. Исключение составляет простое
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. Для него
![$\phi (2)=1$ $\phi (2)=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/1/b51926542de532fccac182c68fcb964e82.png)
.
"Функция Эйлера" мультипликативна, т.е.
![$\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$ $\phi (s\cdot t)=\phi (s)\cdot \phi (t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/1/1e13e2476b31d79802ad34865615409482.png)
.
Следовательно, используя "функции Эйлера", можно рассчитать количество чисел, на интервале от
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
до
![$p_j\#$ $p_j\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361cd024b34f940c47bef1fb8c95f80582.png)
"взаимнопростых" с этим примориалом:
![$\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$ $\phi (p_i\#)=(2-1)(3-1)(5-1)...(p_i-1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/3/0d38b104df35b30d43f02cdf806bd29f82.png)
Тогда среднее количество чисел
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, "взаимнопростых" с примориалом
![$p_i\#$ $p_i\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/7/3b7afc4f3ff265f6d84606a87ea0387782.png)
и расположенных на интервалах длиной
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
, равно:
![$b_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$ $b_s= \dfrac {\phi (p_i\#)}{p_{i-1}\#}=\dfrac{(2-1)(3-2)(5-2)...(p_i-2)}{2\cdot 3\cdot 5...\cdot p_{i-1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/e/e6ecdf4a80305616429a672b92bc22c082.png)
.
(чтобы избежать недоразумений, обращаю внимание на индексы).
После сокращения чисел в числителе и знаменателе, получим выражение, как произведение дробей:
![$ b_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$ $ b_s=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{15}{13}\cdot \dfrac {21}{19}...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/0/8f0f9534b708fd220f4620fd73a3e78b82.png)
, каждая из которых за исключением первой больше единицы. Т.к. число простых чисел бесконечно, то бесконечно и число таких дробей. Следовательно,
![$b_s$ $b_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14ec36abab994638a29863f0f4526ec782.png)
стремится к бесконечности.
На интервалах длиной
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
на участке от
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
до
![$p_{i+1}^2$ $p_{i+1}^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/24465dd39ce1d9c9c77878adb9f109bd82.png)
все числа, "взаимнопростые" с примориалом
![$p_i\#$ $p_i\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/7/3b7afc4f3ff265f6d84606a87ea0387782.png)
, являются "простыми". Количество таких интервалов с каждым простым
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
увеличивается и также стремится к бесконечности.
Таким образом, показано, что число пар простых-близнецов бесконечно.
p.s. Интересно то, что пары простых-близнецов сами являются своеобразным "тормозом" роста значения
![$b_s$ $b_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/e/14ec36abab994638a29863f0f4526ec782.png)
.