2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два случайных натуральных числа взаимо просты, вероятность
Сообщение18.05.2011, 10:36 


26/12/08
1813
Лейден
Посчитать вероятность того, что два натуральных (случайно взятых) числа взаимо просты. Ответ известен. Не известно, какая мера подразумевается под случайным взятием натуральных чисел. Какая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Равномерная от 1 до N, предел при...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 10:51 


26/12/08
1813
Лейден
То есть по сути, вероятность считают как предел решения задач на отрезках $[1,N]$? А если брать другие отрезки, то и ответ будет другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 13:18 


23/01/07
3415
Новосибирск
Gortaur в сообщении #447095 писал(а):
Посчитать вероятность того, что два натуральных (случайно взятых) числа взаимо просты. Ответ известен. Не известно, какая мера подразумевается под случайным взятием натуральных чисел. Какая?

Подозреваю, что не наложив условие на число простых делителей выбираемых чисел, ответ найти будет проблематично. Или я не прав? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 13:53 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Gortaur в сообщении #447102 писал(а):
То есть по сути, вероятность считают как предел решения задач на отрезках $[1,N]$? А если брать другие отрезки, то и ответ будет другой?
И если брать не равномерное распределение, то ответ тоже может быть другой.
Ведь можно подобрать такое распределение, чтобы охватить сразу все натуральные числа.
Но, по крайней мере, когда говорят о плотности простых (или простых близнецов), то имеют в виду предел на отрезке $[1,N]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 14:02 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
venco в сообщении #447192 писал(а):
Ведь можно подобрать такое распределение, чтобы охватить сразу все натуральные числа.

А можно поподробнее? При таком распределении равновозможность отсутствует или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да нивапрос! Геометрическое можно, или вот тоже Пуассона.
С равновозможностью у них, правда, не того. А как Вы хотели? Бесконечность же. Кусается, собака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 14:55 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
ИСН в сообщении #447197 писал(а):
Да нивапрос! Геометрическое можно, или вот тоже Пуассона.

$P\{\xi=n\} = p(1-p)^n$? Да, неплохо. Но вот интересно, а есть ли такое распределение, чтобы, к примеру, $P\{k \text{ делит } \xi\} = \frac1k$?

ИСН в сообщении #447197 писал(а):
С равновозможностью у них, правда, не того. А как Вы хотели? Бесконечность же. Кусается, собака.

Да помню, у меня здесь где-то даже и тема с таким же вопросом была, где я показывал, что такое распределение невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение18.05.2011, 15:40 


26/12/08
1813
Лейден
Была-была - здесь как раз вопрос в том, что раз нет такой меры, что понимать под вопросами о "наугад взятых случайных натуральных числах". Ведь если бы любая вероятность в такой задаче могла бы быть вычислена с помощью любой возрастающей последовательностью множеств и одним и тем же ответом - это значило бы, что такую меру можно ввести.

Поэтому и возникло подозрение, что решение данной задачи сильно зависит от того, что мы двигаем $[0,N]$, а не пользуемся другой последовательностью отрезков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение19.05.2011, 13:29 


23/01/07
3415
Новосибирск
Пользуясь случаем, хотел задать вот такой вопрос:
Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.
Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение19.05.2011, 14:24 


26/12/08
1813
Лейден

(Оффтоп)

О нет! Вы пытаетесь сыграть на сомнительной популярности моего топика!

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение19.05.2011, 18:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

Батороев писал(а):
Пользуясь случаем, хотел задать вот такой вопрос:
Число натуральных чисел, взаимнопростых примориалу $p_{i}\#$ (где $i=1,2,3...$) на интервале от $1$ до $p_{i}\#$, равно функции Эйлера $\varphi (p_{i}\#)$.

ну да
Батороев писал(а):
Существуют ли какие-либо результаты исследований математиков о том, в какой мере может различаться друг от друга в пределах от $1$ до $p_{i}\#$ распределение взаимнопростых чисел на отдельно взятых интервалах, равных $p_{i}$?

По-моему, где-то здесь и брал ссылку на нечто подобное. Сейчас посмотрел - не нашел. Попробуйте погуглить или исследовать сами. Может даже подключусь к Вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два натуральных числа взаимо просты
Сообщение20.05.2011, 04:42 


23/01/07
3415
Новосибирск

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #447530 писал(а):
О нет! Вы пытаетесь сыграть на сомнительной популярности моего топика!

О нет! Наоборот "поддернул" Ваш топик, пытаясь поднять его и без того высокий рейтинг! :-)


Забыл в вопросе указать - "без учета интервалов от $0$ до $p_{i}$ и от $(p_{i}\# -p_{i})$ до $p_{i}\#$", в которых естественно, всего по одному взаимнопростому.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group