Червоточины

[Someone]

А зачем? Экипаж корабля должен проделать какие-то физические эксперименты и по их результатам попытаться определить, где он (экипаж) находится. А уж какой он будет пользоваться системой координат - дело хозяйское.

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453047 писал(а):

То есть вы хотите сказать, принцип эквивалентности не подразумевает переход в соответствующую систему координат в данной точке?

Принцип эквивалентности значит - больше. Не просто тензор в данной точке приведен к виду, который нарисовал Someone, но и кое-что еще: первые производные метрического тензора в данной точке можно "занулить" преобразованием координат. Это и означает локальное исключение гравитационного поля.

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453060 писал(а):

Не просто тензор в данной точке приведен к виду, который нарисовал Someone, но и кое-что еще: первые производные метрического тензора в данной точке можно "занулить" преобразованием координат. Это и означает локальное исключение гравитационного поля.

А что, если тензор имеет такой вид(в малой окрестности, а не только в точке) пространство-время может быть искажено? может присутствовать гравитация?

-- Чт июн 02, 2011 17:48:30 --

Someone в сообщении #453050 писал(а):

А уж какой он будет пользоваться системой координат - дело хозяйское.

Ну она должна двигатся с ускорением относительно, например, планеты, это, согласитесь, несколько сужает их выбор - только в этой СК экипаж поверит, что гравитации нет и СК инерциальная

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453064 писал(а):

А что, если тензор имеет такой вид(в малой окрестности, а не только в точке) пространство-время может быть искажено?

Ну если у Вас $g_{ij}$ - константа в некоторой (малой) области - то и его производные будут константами в этой области, верно?

[Munin]

Morkonwen в сообщении #452931 писал(а):

У меня еще возник вопрос. в общей теории относительности поправкой в лоренцеву метрическому тензору выступает тензор римана.

Нет. Структура римановой геометрии такова:
- метрика задаётся метрическим тензором
- из первых производных метрического тензора формируется нетензорная величина - связность ("символы Кристоффеля")
- из первых производных связности формируется кривизна - тензор Римана (и его составляющие и свёртки: тензор Риччи, тензор Вейля, тензор Эйнштейна, скалярная кривизна).
Метрический тензор можно представить в виде суммы лоренцева и добавки: $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},$ но это удобно только в линеаризованной теории.
Эти величины аналогичны величинам полевых теорий, тоже по порядку производных:
- потенциалу
- напряжённости поля
- дивергенции от напряжённости, которая задаётся плотностью зарядов или токов.
С потенциалом сопоставляют и $g_{\mu\nu},$ и $h_{\mu\nu},$ по-разному.

myhand в сообщении #452941 писал(а):

Другими словами: скалярное произведение любых векторных полей остается постоянным при параллельном переносе вдоль любой кривой.

Это высказывание - бред, потому что пропущено слово "замкнутой".

Morkonwen в сообщении #452956 писал(а):

То, что тензор Римана является второй поправкой к метрическому тензору в данной точке (а именно эту мысль вы на все лады называете бредом) я взял из книжки по дифференциальной геометрии Позняк Дифференциальная геометрия.

Вы неправильно читаете. Не второй поправкой, а второй производной. Разумеется, вторая производная появляется в разложении в ряд Тейлора, но называть это "второй поправкой" некорректно.

[myhand]

Munin в сообщении #453126 писал(а):

myhand в сообщении #452941 писал(а):

Другими словами: скалярное произведение любых векторных полей остается постоянным при параллельном переносе вдоль любой кривой.

Это высказывание - бред, потому что пропущено слово "замкнутой".

Очень печально, что для Вас это "бред".

Ликбез.
1) параллельным переносом вектора $T^i(0)$ из точки $x_0=x(0)$ в точку $x_1=x(1)$ вдоль кривой $x(t)$ назовем векторное поле $T^i$, заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой ($\frac{dx^i}{dt}\nabla_i T^k =0$ для $t\in[0,1]$). $T^i(1)$ в точке $x_1$ - назовем результатом параллельного переноса вдоль заданной кривой из $x_0$ в $x_1$.
2) пусть векторные поля $T^i$ и $S^i$ - параллельны вдоль $x(t)$.
3) пусть метрика согласована со связностью $\nabla_i g_{jk} = 0$
4) показать, что из 1)-3) следует: $\frac{d}{dt}g_{ij}T^i(t)S^j(t) = 0$. Иными словами, скалярное произведение векторов при параллельном переносе вдоль кривой - остается постоянным.

Жду выполнения этого несложного д/з. Осилите?

[Munin]

myhand в сообщении #453135 писал(а):

Ликбез.
1) параллельным переносом вектора $T^i(0)$ из точки $x_0=x(0)$ в точку $x_1=x(1)$ вдоль кривой $x(t)$ назовем векторное поле $T^i$, заданное во всех точках кривой и параллельное вдоль этой кривой ($\frac{dx^i}{dt}\nabla_i T^k =0$ для $t\in[0,1]$). $T^i(1)$ в точке $x_1$ - назовем результатом параллельного переноса вдоль заданной кривой из $x_0$ в $x_1$.

Ликбез. Это называется параллельным переносом векторов, а не векторных полей. Увы, что такое "параллельный перенос векторного поля" в другую точку - вообще не дефинировано. Можно рассмотреть разве что "параллельный перенос значения векторного поля в данной точке, в другую точку".

[myhand]

Munin в сообщении #453158 писал(а):

Ликбез.

Не осилили?

[Munin]

О. Похоже, вы читать разучились. Это веха.

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453081 писал(а):

Ну если у Вас $g_{ij}$ - константа в некоторой (малой) области - то и его производные будут константами в этой области, верно?

если число константа в некоторой области, то его производная ноль в этой точке, то есть у велечины экстремум(в выбранной СК) Так что то что вы говорите о занулении производных эквивалентно тому что я о локальной лоренцевости. А в указанном разложении в ряд как вы заметили первых производных нигде и нет.

И все что я пытаюсь доказать, это то, что принцип эквивалентности математически означает возможность перехода в ту СК, в которой осуществляется такое разложение метрического тензора в ряд и такая СК физически существует, а не только геометрически.

Munin в сообщении #453126 писал(а):

Метрический тензор можно представить в виде суммы лоренцева и добавки: но это удобно только в линеаризованной теории.

Имеется ввиду локальная линеаризованная теория или вроде малой поправки к неискаженному пространству-времени везде?

[Munin]

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

если число константа в некоторой области, то его производная ноль в этой точке, то есть у велечины экстремум(в выбранной СК)

Не экстремум, а "полочка". Как величина ведёт себя по краям "полочки" - не указано.

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

И все что я пытаюсь доказать, это то, что принцип эквивалентности математически означает возможность перехода в ту СК, в которой осуществляется такое разложение метрического тензора в ряд и такая СК физически существует, а не только геометрически.

Разложение метрического тензора в ряд плевать хотело на СК. Это просто ряд Тейлора, для него нужна всего лишь дифференцируемость.

Никакая СК "физически" не существует. Это немножко трудно после путаниц с системами координат и системами отсчёта в СТО и тем более в классической механике, но привыкнуть можно, а после привычки появляется понимание, что именно так - правильно. СК - это всего лишь математический способ описания реальности, вымышленая наброшенная на пространство-время сетка. Реально существуют приборы в точке, вместе с их 4-скоростями. Система таких приборов может задавать в точке репер (СК в касательном векторном пространстве). Но не СК. Вне данной точки могут проводиться только косвенные измерения (радары, телескопы, и т. п.), и измерения разными методами перестают согласовываться между собой, так что никакие показания какого-то отдельного прибора не могут претендовать на звание "физической" координаты. Слово "физический" продолжает применяться по отношению к расстояниям и промежуткам времени, измеренным (или вычисленным) вдоль явно указанной мировой линии.

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

Имеется ввиду локальная линеаризованная теория или вроде малой поправки к неискаженному пространству-времени везде?

Что такое "локальная линеаризованная теория"?

[Morkonwen]

Munin в сообщении #453334 писал(а):

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

И все что я пытаюсь доказать, это то, что принцип эквивалентности математически означает возможность перехода в ту СК, в которой осуществляется такое разложение метрического тензора в ряд и такая СК физически существует, а не только геометрически.

Разложение метрического тензора в ряд плевать хотело на СК. Это просто ряд Тейлора, для него нужна всего лишь дифференцируемость.

Ой да да извините я имел ввиду не просто разложение в ряд, а указанное выше разложение в ряд, то есть то, где первые производные равны нулю, а постоянная часть тензора - Лоренцева. Такие системы в которых возможно такое разложение ведь не обязательно существуют в смысле возможности в нее перейти?Под этим я имею ввиду что может случится, что чтобы перейти в такую СК нужна, например скорость выше скорости света. Как я понял принцип эквивалентности это и утверждает - такие системы существуют и в них можно перейти.


По поводу локальности я как раз и пытаюсь выяснть. Люди находящиеся в космическом корабле в поле тяжести по идее и находятся в такой вот системе координат. В первом приближении они в лоренцевой СК. И проводя измерения в своем маленьком корабле не слишком долго они не смогут понять, что находятся в поле тяжести на самом деле. Но если скажем взять окрестность пространства времени чуть больше, то им уже нужно учесть следующий член в ряде для их метрического тензора - то есть тот, у которого коэффициент терзор Римана. Все ли я верно понимаю?

Munin в сообщении #453334 писал(а):

Что такое "локальная линеаризованная теория"
?

Рассмотрение просто локальной области пространства-времени в каком то приближении. То есть опять же то, что я пытаюсь понять


Наверное мне не стоит продолжать, в конце концов ни одной серьезной задачи по ОТО я пока не решил, но все-таки мне кажется то, что я говорю логичным лучше узнать что неправ раньше =).

[myhand]

Munin в сообщении #453269 писал(а):

О. Похоже, вы читать разучились. Это веха.

Хоть троллинг-то тупой прекратите.

Что я у Вас читать разучился? Вот эту муть надо комментировать:

Munin в сообщении #453158 писал(а):

Это называется параллельным переносом векторов, а не векторных полей. Увы, что такое "параллельный перенос векторного поля" в другую точку - вообще не дефинировано. Можно рассмотреть разве что "параллельный перенос значения векторного поля в данной точке, в другую точку".

?

Извольте, сделаю.

Munin в сообщении #453158 писал(а):

Это называется параллельным переносом векторов, а не векторных полей.

Да што Вы говорите. Действительно, я так и назвал - "параллельным переносом вектора ... назовем ... векторное поле"

Munin в сообщении #453158 писал(а):

Увы, что такое "параллельный перенос векторного поля" в другую точку - вообще не дефинировано.

Данный бред необходим Вам - так что Вы и дефинируйте.

Munin в сообщении #453158 писал(а):

Можно рассмотреть разве что "параллельный перенос значения векторного поля в данной точке, в другую точку".

Ну да, о КО. Либо два векторых поля, полученных вот такой вот процедурой переноса. О чем я и написал.

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

если число константа в некоторой области, то его производная ноль в этой точке, то есть у велечины экстремум(в выбранной СК)

Извините, число константа - в некоторой области, а не в точке. Так что и производная тоже нуль - в некоторой области.

Morkonwen в сообщении #453324 писал(а):

И все что я пытаюсь доказать, это то, что принцип эквивалентности математически означает возможность перехода в ту СК, в которой осуществляется такое разложение метрического тензора в ряд и такая СК физически существует, а не только геометрически.

Принцип эквивалентности "математически означает" весьма простую вещь, Вам написали выше. Ну, можно и так переформулировать. Действительно, тут у Вас (согласно принципу эквивалентности) должны первые производные $g_{ij}$ занулиться в точке. Такие координаты Поздняк называет нормальными и именно ими ограничивается при рассмотрении разложения тензора в ряд.

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

Но если скажем взять окрестность пространства времени чуть больше, то им уже нужно учесть следующий член в ряде для их метрического тензора - то есть тот, у которого коэффициент терзор Римана. Все ли я верно понимаю?

Понимаете Вы это, в общем-то верно. Только выводы какие-то дикие делаете. Ну, померяв подольше - действительно они смогут померять побольше: оценить значения тензора Римана, возможно и производных его и т.п. И что?

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

Наверное мне не стоит продолжать, в конце концов ни одной серьезной задачи по ОТО я пока не решил, но все-таки мне кажется то, что я говорю логичным лучше узнать что неправ раньше =).

Не переживайте, не Вы один уже тут пургу несете - вон и Munin подключился.

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453386 писал(а):

Ну, можно и так переформулировать.

Если говорить только о занулении первых производных, то непонятно тогда ничего о следующем члене в ряде, а в формулировке как у Позняка сразу ясен физический смысл тензора Римана, причем целиком, а не только его сверток.

myhand в сообщении #453386 писал(а):

Ну, померяв подольше - действительно они смогут померять побольше: оценить значения тензора Римана, возможно и производных его и т.п. И что?

Теперь скажите, что бы вы сказали о теории, в которой связана с массой не какая либо сложная величина, а именно этот коэффициент при второй поправке? Не сказали ли бы вы, что существенно то, что остальными членами в таком разложении можно пренебречь и уже из этого получить соотношение Эйнштейна?

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453432 писал(а):

Если говорить только о занулении первых производных, то непонятно тогда ничего о следующем члене в ряде

Непонятно кому? Что следующее слогаемое ряда Тейлора - будет включать вторые производные в точке?

Morkonwen в сообщении #453432 писал(а):

в формулировке как у Позняка сразу ясен физический смысл тензора Римана, причем целиком, а не только его сверток

Это, скорее, "геометрический смысл". Кроме того, он куда более прозрачный в формулировках иных формулировках, причем не ограничивающихся специальным образом выбранными координатами.

Например, можно посчитать вторую вариацию функционала длины (грубо говоря, ее смысл связан с относительным ускорением частиц, движущихся по бесконечно близким геодезическим). Или, задаться вопросом насколько изменится вектор при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой в форме малого квадрата со стороной $\epsilon$, натянутого на координатные оси $x^i$ и $x^j$ (видимо, полузабытые знания Munin среагировали на упоминание тензора Римана только в этом контексте).

Morkonwen в сообщении #453432 писал(а):

Теперь скажите, что бы вы сказали о теории, в которой связана с массой не какая либо сложная величина, а именно этот коэффициент при второй поправке?

Я сказал бы, что не знаю как связать весьма конкретный тензор четвертого ранга (Римана) с (единственным) скаляром.

Morkonwen в сообщении #453432 писал(а):

Не сказали ли бы вы, что существенно то, что остальными членами в таком разложении можно пренебречь и уже из этого получить соотношение Эйнштейна?

Нет.