Червоточины

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453451 писал(а):

Например, можно посчитать вторую вариацию функционала длины (грубо говоря, ее смысл связан с относительным ускорением частиц, движущихся по бесконечно близким геодезическим). Или, задаться вопросом насколько изменится вектор при параллельном переносе вдоль замкнутой кривой в форме малого квадрата со стороной , натянутого на координатные оси и (видимо, полузабытые знания Munin среагировали на упоминание тензора Римана только в этом контексте).

Отлично!! А вы согласны с тем, что все это следует из метрического тензора который мы описываем с точностью только до второго порядка?!! И отсюда в этих формулах тензор Римана?

myhand в сообщении #453451 писал(а):

Я сказал бы, что не знаю как связать весьма конкретный тензор четвертого ранга (Римана) с (единственным) скаляром.

Я думаю вы поняли, что имеется ввиду не масса которая масса-скаляр, а тензор энергии импульса.

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453485 писал(а):

все это следует из метрического тензора который мы описываем с точностью только до второго порядка

Что для определения тензора Римана достаточно знать разложение $g_{ij}$ относительно каждой точки в ряд Тейлора по отклонениям координат до второго порядка? Ну да, матанализ же.

Morkonwen в сообщении #453485 писал(а):

Я думаю вы поняли, что имеется ввиду не масса которая масса-скаляр, а тензор энергии импульса.

Все равно никак. Индексов слишком много. Разве что для какой-то свертки, вот как уравнения Эйнштейна.

Но это лирика, что называется. Ваша проблема - в том, что Вы не понимаете что (дифференциальные) уравнения Эйнштейна (плюс начальные и граничные условия) - определяют метрику однозначно (с точностью до произвола в выборе системы координат). Так что все слагаемые Ваших "разложений" - теория фиксирует весьма конкретным образом. То же самое должно быть в любой разумной теории, даже если она использует производные метрики выше второй степени в уравнениях поля (т.е. исходит из коэффициентов в Вашем "разложении" при кубическом слагаемом и т.д.).

[Munin]

myhand в сообщении #453386 писал(а):

Да што Вы говорите. Действительно, я так и назвал - "параллельным переносом вектора ... назовем ... векторное поле"

Подите проспитесь. Сначала вы сказали:
"скалярное произведение любых векторных полей остается постоянным при параллельном переносе"
Это означает: скалярное произведение полей. А потом уже параллельный перенос. Разумеется, при переносе вектора (не поля!) можно его результат назвать полем, но это после переноса. А до переноса - это вектор, и скалярное произведение векторов.

[censored], второй раз вживую наблюдаю в риалтайме, как человек впадает в маразм. И снова пытаюсь остановить медицинский процесс уговорами. И каждый раз очень грустно.

-- 03.06.2011 17:08:42 --

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

Ой да да извините я имел ввиду не просто разложение в ряд, а указанное выше разложение в ряд, то есть то, где первые производные равны нулю, а постоянная часть тензора - Лоренцева. Такие системы в которых возможно такое разложение ведь не обязательно существуют в смысле возможности в нее перейти?

Повторяю: в СК перейти невозможно. Можно придать себе некоторое движение (скорость, ускорение - 4-мерные величины), и наблюдать или не наблюдать какие-то явления в своей точке - по сути, в касательном векторном пространстве. Когда ваше движение - геодезическое, вы не будете наблюдать в своей точке силы тяжести. Вот и всё. Все эти разложения - ни для чего, кроме практических расчётов, не нужны.

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

По поводу локальности я как раз и пытаюсь выяснть. Люди находящиеся в космическом корабле в поле тяжести по идее и находятся в такой вот системе координат.

Люди находятся в корабле, а не в системе координат.

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

И проводя измерения в своем маленьком корабле не слишком долго они не смогут понять, что находятся в поле тяжести на самом деле. Но если скажем взять окрестность пространства времени чуть больше, то им уже нужно учесть следующий член в ряде для их метрического тензора - то есть тот, у которого коэффициент терзор Римана.

Есть устранимое гравитационное поле - это то, что в ньютоновской теории изображается вектором ускорения свободного падения $\mathbf{g},$ а в ОТО - связностью $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}.$ От него можно избавиться на своей мировой линии, если двигаться по геодезической.
И есть неустранимое гравитационное поле - которое в ОТО изображается кривизной $R^\lambda{}_{\mu\nu\sigma}.$ От него избавиться уже нельзя. Но оно не носит силового характера. Чтобы его измерить, нужно отступить от своей мировой линии в сторону на какое-то расстояние, тогда можно обнаружить это поле по приливным силам.
Видите, как я не пользуюсь понятием "система координат"?

Morkonwen в сообщении #453343 писал(а):

Рассмотрение просто локальной области пространства-времени в каком то приближении.

Это неправильно называть теорией. Это вы берёте какую-то теорию, и в ней - что-то рассматриваете.

Morkonwen в сообщении #453432 писал(а):

Если говорить только о занулении первых производных, то непонятно тогда ничего о следующем члене в ряде, а в формулировке как у Позняка сразу ясен физический смысл тензора Римана, причем целиком, а не только его сверток.

К сожалению, вряд ли он вам понятен. Понятен он будет только тогда, когда вы его научитесь без координат рассматривать. Пенроуз неплохо подсказывает, что следует смотреть на поведение соседних геодезических.

[myhand]

Munin в сообщении #453555 писал(а):

Сначала вы сказали:
"скалярное произведение любых векторных полей остается постоянным при параллельном переносе"
Это означает: скалярное произведение полей. А потом уже параллельный перенос. Разумеется, при переносе вектора (не поля!) можно его результат назвать полем, но это после переноса. А до переноса - это вектор, и скалярное произведение векторов.

Сначала я сказал всю фразу целиком. Интерпретировать ее разумно можно только одним образом.

Вы лучше признавайтесь зачем Вам замкнутый контур понадобился. Одно дело - не поняли, это понятно и я бы объяснил другими словами. Другое дело - когда Вы начинаете "исправлять", фактически не зная предмета.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #453555 писал(а):

[censored], второй раз вживую наблюдаю в риалтайме, как человек впадает в маразм. И снова пытаюсь остановить медицинский процесс уговорами. И каждый раз очень грустно.

А я с Вами постоянно это наблюдаю. Как вместо "поговорить" становится нужным что-то "посчитать" или сформулировать что-то более строго - Вы начинаете попусту болтать.

Сперва думал, что это эпизодически - теперь знаю, что систематика.

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453532 писал(а):

Но это лирика, что называется. Ваша проблема - в том, что Вы не понимаете что (дифференциальные) уравнения Эйнштейна (плюс начальные и граничные условия) - определяют метрику однозначно (с точностью до произвола в выборе системы координат).

Я могу записать приближенные уравнения для катушки индуктивности они свяжут производную тока и напряжение через индуктивность и даже могу их решить. так что я определю поведение катушки на произвольных частотах?

Munin в сообщении #453555 писал(а):

К сожалению, вряд ли он вам понятен. Понятен он будет только тогда, когда вы его научитесь без координат рассматривать. Пенроуз неплохо подсказывает, что следует смотреть на поведение соседних геодезических.

Да я просто пытаюсь понять его смысл. через приливные силы и отступление от геодезических тоже определение.

В принципе все спорное что я утверждаю это то, что уравнения Эйнштейна приближенные.

Если без координат , тогда мой вопрос прозвучит так: А если "малость отступления от геодезической" при тяжелых, но малых объектах окажеться размерами настолько мала, что начнут проявлятся квантовые эффекты? Ведь тогда надо" приливные силы" - (в этом случае скорее приливную потенциальную энергию из-за квантовости) вычислять не через тензор Римана, а как то более точно?

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453589 писал(а):

Я могу записать приближенные уравнения для катушки индуктивности они свяжут производную тока и напряжение через индуктивность и даже могу их решить. так что я определю поведение катушки на произвольных частотах?

Ну вот. Осталось выучить хоть что-то о дифференциальной геометрии - и Вы поймете, что с катушками индуктивности она не имеет ничего общего.

Morkonwen в сообщении #453589 писал(а):

В принципе все спорное что я утверждаю это то, что уравнения Эйнштейна приближенные.

Весь опыт развития науки говорит в пользу этого. Просто это утверждение неконкретное, а потому малоинтересное.

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453601 писал(а):

Весь опыт развития науки говорит в пользу этого. Просто это утверждение неконкретное, а потому малоинтересное.

Я уже двадцать раз написал конкретно что имею ввиду, но так как ваш основной мотив доказать, что собеседник глупее, то вы особо ничего и не читаете. Думаю тут следует закончить диалог.

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453685 писал(а):

Я уже двадцать раз написал конкретно что имею ввиду

Вам двадцать раз уже объяснили, что вся эта "конкретика" - просто от незнания дифференциальной геометрии.

Можно спросить - а уравнения поля могут содержать производные метрики более высоких порядков? Такие варианты, в принципе, возможны - начиная с $f(R)$ теорий гравитации. Просто это совершенно другая постановка вопроса. А вовсе не отбрасывание каких-то членов в каких-то разложениях метрического тензора.

Morkonwen в сообщении #453685 писал(а):

так как ваш основной мотив доказать, что собеседник глупее

Если Вам кажется, что я это хочу доказать - Вы, действительно, глупее чем я думал...

[Morkonwen]

myhand в сообщении #453702 писал(а):

Можно спросить - а уравнения поля могут содержать производные метрики более высоких порядков? Такие варианты, в принципе, возможны - начиная с $f(R)$ теорий гравитации.

Это ответ на мой вопрос. Спасибо

[myhand]

Morkonwen в сообщении #453714 писал(а):

Это ответ на мой вопрос. Спасибо

Да пожалуйста. Но настоятельно советую таки вопрос в следующий раз формулировать. Чтобы отвечающие не угадывали его, помимо собственно ответа на вопрос.

[Munin]

myhand в сообщении #453587 писал(а):

Сначала я сказал всю фразу целиком. Интерпретировать ее разумно можно только одним образом.

Угу. Пойдите, почитайте и интерпретируйте. Именно фразу, именно целиком, без ваших домыслов, чего вы имели в виду и не сказали. Если вас не стошнит - маразм уже имеет место.

myhand в сообщении #453587 писал(а):

Вы лучше признавайтесь зачем Вам замкнутый контур понадобился.

Чтобы сравнивать значения полей, для которых есть хоть какая-то осмысленная гарантия, что их произведение останется то же самое. Именно полей, а не перенесённых векторов, которые образуют на линии поле.

Morkonwen в сообщении #453589 писал(а):

В принципе все спорное что я утверждаю это то, что уравнения Эйнштейна приближенные.

Есть такая версия. Некоторые детали говорят за неё со 100 %-ной уверенностью. Но узнать более точные уравнения нам неоткуда, а гадание в физике непродуктивно.

Morkonwen в сообщении #453589 писал(а):

Если без координат , тогда мой вопрос прозвучит так: А если "малость отступления от геодезической" при тяжелых, но малых объектах окажеться размерами настолько мала, что начнут проявлятся квантовые эффекты?

Разберитесь, что такое квантование поля, описанного принципом наименьшего действия, тогда у вас начнёт вырисовываться понимание, как выглядит квантование гравитации. Надеюсь, к этому моменту вы будете в римановой геометрии плавать уже как рыба в воде.

Morkonwen в сообщении #453714 писал(а):

Это ответ на мой вопрос. Спасибо

Существует большой пучок, целый спектр ответов на ваш вопрос. Это направление в науке называется "расширениями теории относительности". Здесь кроме высосанных из пальца $f(R)$ теорий есть квантование гравитации по теории возмущений, супергравитация и теория струн - серьёзные, глубоко обоснованные заходы на проблему.

Хороший обзор (только слегка несовременный) есть в книжке
Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили "Гравитация".
К сожалению, в оцифрованном виде я её не видел.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #453759 писал(а):

Надеюсь, к этому моменту вы будете в римановой геометрии плавать уже как рыба в воде..

Я тоже =)

Спасибо за ответ и за книжку.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #453555 писал(а):

<...> в ОТО - связностью $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}.$ <...> Видите, как я не пользуюсь понятием "система координат"?

(надеюсь, ничего лишнего из контекста не выбросил)

Попытался понять, как можно определить связность без координат. Вот, скажем, есть у нас касательное пространство в точке $x$, $A^\mu$ — вектор из него. Есть близкая точка многообразия $x' = x + dx^\eta$. Тогда мы говорим, что в касательном пространстве в точке $x'$ вектору $A^\mu$ соответствует вектор $A'^\mu = A^\mu + \Gamma^\mu_{\eta\nu}dx^\eta A^\nu$, где вектору $A^\mu \in T_x$ соответствует $A^\mu \in T_{x'}$ «каким-то другим способом». Когда у нас на многообразии есть координаты и есть согласованные с ними координаты в касательных пространствах, то этот «какой-то другой способ» понятен — покоординатное совпадение. А если нет, то что это?

[Munin]

Вот это соответствие между $A^\mu \in T_x$ и $(A^\mu + \Gamma^\mu_{\eta\nu}dx^\eta A^\nu) \in T_{x'}$ и есть, собственно, сама связность, а $\Gamma^\mu_{\eta\nu}$ - всего лишь коэффициенты этой связности в заданной системе координат. Соответствие можно задать бескоординатно.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #454124 писал(а):

Соответствие можно задать бескоординатно.

Вот как это можно сделать, я и пытаюсь понять. Если мы с самого начала определяем многообразие не через карты-атласы-склейки, а как область определеления скалярных полей с некоторыми свойствами, то векторное поле определяется как операция дифференцирования на этих скалярных полях. Касательное пространство в точке тогда это можество классов эквивалентности векторных полей по отношению равенства их значений в этой точке на всех скалярных полях. Теперь берем касательные пространства в разных точках. В одной точке классы одни, в другой другие. Общие представители как-то этим классам принадлежат. На основании чего можно строить какие-то соответствия между ними?

-- Вс июн 05, 2011 14:17:08 --

Что меня переклинило Связность — это же ведь дополнительная структура на многообразии, из него самого никак не вытекающая. Так что определяем как хотим, лишь бы было непрерывно и транзитивно (ну может еще как-то).