Формула для производной.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
У вас ошибок нет. Хотя мне непонятно почему она не работает, ведь делал всё честно.хотя я по своей формуле считаю и у меня даже вторая выходит другой.

[Dan B-Yallay]

Не работает, потому что все-таки надо использовать правило дифференцирования сложной функции.
Самое время обратиться к формулe Фаа ди Бруно.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Сейчас обратимся......но почему тогда всё нормально получилось с функцией $y=e^{x^{2}}$....ну да ладно. Итак что нам говорит формула Фаа ди Бруно

$$\frac{d^n f(\varphi(x))}{dx^n}=\sum\limits f^{(k_1+\ldots+k_n)}(\varphi(x))\frac{n!}{k_1!\ldots k_n!}\left(\frac{\varphi'(x)}{1!}\right)^{k_1}\ldots\left(\frac{\varphi^{(n)}(x)}{n!}\right)^{k_n}\, ,$$

где сумма берётся по всем целы неотрицательным числам $k_1,\ldots,k_n$, удовлетворяющим условию $k_1+2k_2+\ldots+nk_n=n$.

-- Пт май 27, 2011 02:32:27 --

Тогда $f(x)=e^{x}$, а$ \[ \phi (x) = - \frac{1} {{x^2 }} \]$. Тогда мне не ясно , а что это за числа $k_1,\ldots,k_n$, -они какие-то конкретные?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

что это за числа $k_1,\ldots,k_n$, -они какие-то конкретные?

Нет, они не конкретные. Hужно делать перебор по всем возможным комбинациям из таких чисел.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fa%C3%A0_d ... 7s_formula

[maxmatem]

Dan B-Yallay

$$\[ \frac{{d^n }} {{dx^n }}e^{ - \frac{1} {{x^2 }}} = \sum {e^x } \left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)\frac{{n!}} {{k_1 ! \cdot ... \cdot k_n !}}\frac{{\left( {\left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)^{(1)} } \right)^{k_1 } }} {{1!}} \cdot .... \cdot \frac{{\left( {\left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)^{(n)} } \right)^{k_n } }} {{n!}} \]$$

$k_1+2k_2+\ldots+nk_n=n$.

Ладно, чёрт с этой формулой. Конечно обидно, что она не вытекла из Эрмитовских полиномов(хотя пока для меня загадка почему она не работает, ведь ничего плохого я не делал.)

[Dan B-Yallay]

Попробуйте какой-нить Wolframalpha на предмет производных этой функции. Может получится увидеть закономерность. Или попробовать потребовать $k$тую производную.

(Оффтоп)

http://andrejv.github.com/wxmaxima/ - Отличная программка,

Удачи.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Кстати, в сообщении Re: Формула для производной.Пт май 27, 2011 01:58:44 , вы по моей формуле считали или просто так от самой ф-ии их брали?

[Dan B-Yallay]

Я брал производные "в лоб"

[maxmatem]

(Оффтоп)

эхххх....

[Dan B-Yallay]

maxmatem в сообщении #450647 писал(а):

Dan B-Yallay

$$\[ \frac{{d^n }} {{dx^n }}e^{ - \frac{1} {{x^2 }}} = \sum {e^x } \left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)\frac{{n!}} {{k_1 ! \cdot ... \cdot k_n !}}\frac{{\left( {\left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)^{(1)} } \right)^{k_1 } }} {{1!}} \cdot .... \cdot \frac{{\left( {\left( { - \frac{1} {{x^2 }}} \right)^{(n)} } \right)^{k_n } }} {{n!}} \]$$

$$\sum e^{\textcolor{blue}{-1/x^2}}\frac{{n!}} {{k_1 ! \cdot ... \cdot k_n !}}...$$