Формула для производной.

[maxmatem]

При решении одной задачи, мне понадобилось найти явную формулу $k$-ой производной функции
$y(x)=e^{x^{2}}$.
Пока, что только получилось рекуррентную формулу получить., но хочется явную. И честно говоря не очень бы хотелось решать это рекуррентное соотношение.

[ИСН]

Многочлен Эрмита номер k с исправленными знаками, и умножить на саму функцию.

[maxmatem]

ИСН
Спасибо за совет.

$\[ H_k (x) = ( - 1)^k e^{x^2 } \frac{{d^{(k)} }} {{(dx)^k }}e^{ - x^2 } \]$
Это оно?
Кстати где про это можно почитать?

[maxmatem]

Кстати, это какой-то очевидный факт?

[Gortaur]

maxmatem
Вы попросили, пишу. Помнится, я эту штуку искал, когда хотел проинтегрировать эту функцию через разложение в ряд Тейлора. Тогда еще не знал, когда можно ряды интегрировать, но догадывался. Тогда я реккурентной формулы так и не нашел, но это не значит, что ответ не очевиден.
Тем более, что многочлены Эрмита сами по себе по-моему, не так уж просты.

[maxmatem]

Gortaur
Да,я согласен, что это не тривиальные вещи., но где можно почитать о том что к-ая производная от той ф-ии что я написал в первом сообщении и есть к-й полином Эрмита?

[Portnov]

del

[Padawan]

$n$-тая производная сложной функции $f(\varphi(x))$ (формула Фаа ди Бруно)

$$\frac{d^n f(\varphi(x))}{dx^n}=\sum\limits f^{(k_1+\ldots+k_n)}(\varphi(x))\frac{n!}{k_1!\ldots k_n!}\left(\frac{\varphi'(x)}{1!}\right)^{k_1}\ldots\left(\frac{\varphi^{(n)}(x)}{n!}\right)^{k_n}\, ,$$

где сумма берётся по всем целы неотрицательным числам $k_1,\ldots,k_n$, удовлетворяющим условию $k_1+2k_2+\ldots+nk_n=n$.

-- Вт май 24, 2011 10:22:28 --

В это примере сумма берётся фактически по $k_1+2k_2=n$. Остальные $k_i$ равны нулю.

[ИСН]

maxmatem, что Вы ещё хотите прочитать? Это их определение.
(Ну, знаки только исправить.)

[Gortaur]

maxmatem
Вы же только что написали определение $H_k(x)$, из которого видно, что сначала берется производная Вашей функции, а потом умножается на функцию, обратную к ней. Таким образом уберутся все экспоненты и останется лишь многочлен.

[maxmatem]

ИСН
Кстати , что у меня со знаками не так? И тогда получается , что к-ий полином Эрмита, содержит к-тую производную моей ф-ии(ну почти её) .И всё равно повторюсь, почему вы так уверенны что эта та формула которая мне нужна?(где-то есть доказательство этого факта?)

[ИСН]

Со знаками потом разберёмся. Сначала давайте поймём, что Вы хотите доказывать. Это определение, понимаете. Определяются они так. Старшина пришёл и определил.

[maxmatem]

Мне нужна явная формула, для к-й производной ф-ии которую я написал в самом начале. Ну грубо говоря для степенной ф-ии такую формулу очень легко написать., а для этой ф-ии немного странно выходит. Т.е я к-ую производную выражаю ч\з формулу её же и содержащую.....
Кстати если мы применим к этой ф-ии формулу Фаа ди Бруно, то как-то эти полиномы не появляются....

[ИСН]

Ну да: можно сказать, что это тавтология. Но я рассудил, что она может оказаться Вам не вполне бесполезна, потому что многочлены Эрмита довольно подробно изучены и у них много всяких свойств.

[maxmatem]

ИСН
А ведь формула Фаа ди Бруно, тоже даёт ответ на мой вопрос при чём она не содержит к-ой производной изначальной ф-ии...я прав?