2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
Dan B-Yallay писал(а):
откуда берутся минусы.
И сделать соответствующий вывод.

В прошлом Вашем сообщении я даже побоялся копаться без поллитры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:19 


26/12/08
1813
Лейден
Посмотрите, чем будут различаться производные $e^{x^2}$ и $e^{-x^2}$. Посчитайте 2-3 штуки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:22 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Хорошо р-м первую ф-ию $f(x)=e^{x^{2}}$
то $f'(x)=2xe^{x^{2}}$
$f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}$
.....................

Теперь р-м $e^{-x^{2}}$
$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}$
$f''(x)=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}$

И какой вывод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
Вопрос: появятся ли в первом случае когда-либo отрицательные коэффициенты? Почему?

(Оффтоп)

Ну Вы блин даёте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:31 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Dan B-Yallay
Конечно не появляются, ведь в степени экспоненты нет минуса.
Цитата:
Ну Вы блин даёте...

устал наверное, вот и очевидное от глаз прыгает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
Ну так и берите полиномы Эрмита , переправляйте все минусы на плюсы, умножайте на $e^{x^2}$ и получите искомые производные.

-- Вт май 24, 2011 14:54:37 --

Ну не буквально все конечно, а те что $(-1)^k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение24.05.2011, 23:58 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
$$
H_k(x) = (-1)^k \mathrm{e}^{x^2}\frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2}.
$$
А почему я все минусы имею права поменять(у экспонент.)? что обе части я умножу на $e^{x^{2}}$ оно понятно, но почему поменяю....

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
maxmatem: $\dfrac {d^k}{dx^k}e^{x^2}=?$
Цитата:
$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^k \mathrm{e}^{-x^2}H_k(x). $$
$$\begin{align*} H_n(x) &= n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} && \qquad n=2k (\text{чет}) \\ H_n(x) & = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} && \qquad n=2k+1 (\text{нечет}) \end{align*}$$

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{\textcolor{blue}{+}x^2} = (\textcolor{blue}{+}1)^k \mathrm{e}^{\textcolor{blue}{+}x^2}H^{\textcolor{blue}{+}}_k(x). \quad  \text{минусам взяться неоткуда!!}$$
$$\begin{align*} H^{\textcolor{blue}{+}}_n(x) &= n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(\textcolor{blue}{+}1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} && \qquad n=2k (\text{чет}) \\ H^{\textcolor{blue}{+}}_n(x) & = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(\textcolor{blue}{+}1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} && \qquad n=2k+1 (\text{нечет}) \end{align*}$$

(Оффтоп)

Кажется, Вам надо отдохнуть.


-- Вт май 24, 2011 15:21:37 --

Вот то что Вы сами же выводили:
$e^{-x^{2}}:$

$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}=(-1)^1 H_1e^{-x^{2}}$
$f''(x)=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}=(4x-2)e^{-x^2}=(-1)^2H_2e^{-x^{2}}$

$e^{x^2}:$
$f'(x)=2xe^{x^{2}}=H^+_1e^{x^{2}}$
$f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}=(4x+2)e^{x^2}=H^+_2e^{x^{2}}$
.....................

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:26 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
$\[
\frac{{d^k e^{x^2 } }}
{{dx^k }} = e^{x^2 } k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{(2x)^{k - 2m} }}
{{m!(k - 2m)!}}} 
\]$

Ура.
Dan B-Yallay

Мне очень стыдно, про эти минусы, ведь надо было просто здравый смысл включить. Спасибо.
Зато теперь какая милая формула.

-- Ср май 25, 2011 01:28:53 --

кстати умножать на $e^{x^{2}}$ то надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
Не забудьте, что $\left\lfloor k/2 \right\rfloor $ - это округление вниз
Цитата:
Умножать надо?

А что у Вас перед $\ k!\ $ стоит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:32 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
да. Ну так как на счёт домножения....

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
См. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:37 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
да уже умножать не надо.(за это в двойне стыдно :oops: )
Огромное вам спасибо.
Теперь формула выведена, хотел вас спросить, а почему я нигде её в интернете не нашёл?она что такая бесполезная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
Наверное полезная, просто обычно затруднений с её выводом не возникает. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула для производной.
Сообщение25.05.2011, 00:46 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Dan B-Yallay
Я правильно понял что под $H^{+}$, вы понимаете полиномы Эрмита, где все знаки плюс?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group