Формула для производной.

[Gortaur]

Смотрите,

$$ H_k(x) = (-1)^k \mathrm{e}^{x^2}\frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2}. $$

Отсюда

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^k \mathrm{e}^{-x^2}H_k(x). $$

Далее нужно сделать замену, чтобы $x^2\to-x^2$.

[maxmatem]

Gortaur
Спасибо, за совет, но меня теперь интересует формула Фаа ди Бруно, мне кажется с её помощью у меня получится явная формула., но пока не совсем выходит.....

[Dan B-Yallay]

Wiki:

$$\begin{align*} H_n(x) &= n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} && \qquad n=2k (\text{чет}) \\ H_n(x) & = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} && \qquad n=2k+1 (\text{нечет}) \end{align*}$$

These two equations may be combined into one using the floor function:

$$ H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}. $$

http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

[maxmatem]

Dan B-Yallay
А какую мне надо замену то сделать чтобы выполнялось условие$x^2\to-x^2$ ?

[Dan B-Yallay]

Я не вижу зачем нужна замена.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
мне нужна была формула для к-й производной ф-ии $y(x)=e^{x^{2}}$, а то как Gortaur предложил там

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^k \mathrm{e}^{-x^2}H_k(x). $$

-- Вт май 24, 2011 22:41:40 --

Gortaur
что-то я про замену не понял?

[Gortaur]

Видимо, наврал. Можно и без замены, просто разберитесь со знаками у выражения $[f(-g(x))]^{(k)}$.

[maxmatem]

Gortaur
Уххххх. Я чего не понимаю, вот формула

$$ \frac{d^k}{dx^k}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^k \mathrm{e}^{-x^2}H_k(x). $$

и в ней нет ошибок. Но надо, чтобы в левой части у экспоненты не был минус. Этого можно добиться?

[mihiv]

Очевидно,нужно сделать замену $x=iu$

[ИСН]

Я хотел загадочно сказать, что да, нужна такая замена, чтобы $x^2\to-x^2$... но вечно кто-нибудь вот так...

[Dan B-Yallay]

Я думал, что Вам нужно для $e^{-x^2}$.
Если же Вы ищете производные для $e^{x^2}$, то просто избавьтесь от ВСЕХ минусов (и внутри многочленов Эрмита тоже).
Зы. Если я чего это не вижу, это не значит что этого нет.

[mihiv]

ИСН,извините,не хватило выдержки

[maxmatem]

Тогда получается так.

$$ \frac{d^k}{du^k}\mathrm{e}^{u^2} = i(-1)^k \mathrm{e}^{u^2}n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2iu)^{n - 2m} $$

Теперь немного отвлечённый вопрос. Если $\[ x \to \infty \]$, то при замене $\[ x = iu \]$, тогда $\[ iu \to \infty \]$ и $\[ u \to \infty \]$


верно?

-- Вт май 24, 2011 23:39:20 --

Dan B-Yallay
А вы тоже такой заменой предлагаете от минусов избавиться?

[Dan B-Yallay]

Нет. Я предлагаю Вам взять производные от $e^{x^2}, \ e^{-x^2}$ и посмотреть, откуда берутся минусы.
И сделать соответствующий вывод.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
Ну так минусы будут, когда производную второй ф-и берёшь. И какой вывод? Кстати про то что я написал в прошлом сообщении, там верно?