Формула для производной.

[Dan B-Yallay]

Да, это я так обозначил для того, чтобы легче было обьяснить Вам. И я не думаю что оно общепринятое.

[Gortaur]

maxmatem
Читая Ваши последние сообщения, возникло подозрение, что Вы думаете не о верной формуле. Можете привести здесь ответ?

[maxmatem]

Gortaur

$$\[ \frac{{d^k e^{x^2 } }} {{dx^k }} = e^{x^2 } k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{(2x)^{k - 2m} }} {{m!(k - 2m)!}}} \]$$

вот окончательный ответ. Вы это имели в виду?

[Gortaur]

Ага, значит все верно. Впрочем, ее даже проверить можно, посчитав на одну производную больше. А лучше, на две - т.к. там для четных и нечетных будет некоторое различие.

[maxmatem]

Gortaur
Я правильно понял, что вы утверждаете , что формула не верна?(хотя я посчитал несколько производных по ней и всё нормально, да и при выводе не было никаких не законных действий.)

[Gortaur]

Нет, все верно = формула верна. А проверить можно было бы захотеть потому что мало ли, кто этих эрмитов/участников форума знает (я и про себя в том числе). Так, для себя проверку можно делать.

[maxmatem]

Gortaur

А Вы такую формулу встречали?

[Gortaur]

Надо, наверное, прояснить ситуацию. Формула верна 99.9% - и я был в этом уверен. После того, как Вы сделали проверку, она на 100% верна. Про проверку можно просто на будущее знать, что на всякий случай такие вещи можно проверять, потому что от ошибок не застрахован никто. Я формулу эту не встречал, потому как больше не интересовался после первого курса производными этой функции.

[maxmatem]

Gortaur

(Оффтоп)

Спасибо.

[Gortaur]

Не за что. Не думаю, кстати, что "спасибо" это оффтопик

[maxmatem]

Я решил ещё немного повозиться с полученной формулой.
Захотелось теперь найти формулу для $k$-ой производной функции

$$\[ f(t) = e^{ - \frac{1} {{t^2 }}} \] $$

Воспользуемся соотношением

$$\[ \begin{gathered} H_k (x) = ( - 1)^k e^{x^2 } \frac{{d^k }} {{dx^k }}e^{ - x^2 } \hfill \\ \frac{{d^n }} {{dx^k }}e^{ - x^2 } = ( - 1)^k H_k (x)e^{ - x^2 } \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Теперь применим такую замену $\[ x = \frac{1} {t} \]$. Тогда имеем $\[ dx = - \frac{{dt}} {{t^2 }}\,\,\, \Rightarrow dx^k = \frac{{( - 1)^k dt^k }} {{t^{2k} }} \]$
Учитывая последний вывод имеем:

$$\[ \frac{{d^k }} {{dt^k }}e^{ - \frac{1} {{t^2 }}} = ( - 1)^{2k} t^{ - 2k} H_k (x)e^{ - \frac{1} {{t^2 }}} \]$$

Но с другой стороны

$$\[ H_k (x) = k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{( - 1)^m (2x)^{k - 2m} }} {{m!(n - 2m)!}}} \]$$

И учитываю замену $\[ x = \frac{1} {t} \]$ имеем.

$$\[ H_k (t) = k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{( - 1)^m 2^{k - 2m} }} {{t^{k - 2m} m!(n - 2m)!}}} \]$$

Имеем:

$$\[ \frac{{d^k }} {{dt^k }}e^{ - \frac{1} {{t^2 }}} = \frac{{H_k (x)}} {{t^{2k} e^{\frac{1} {{t^2 }}} }} = \frac{{k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{( - 1)^m 2^{k - 2m} }} {{t^{k - 2m} m!(n - 2m)!}}} }} {{t^{2k} e^{\frac{1} {{t^2 }}} }} \]$$

И окончательно:

$$\[ \frac{{d^k }} {{dt^k }}e^{ - \frac{1} {{t^2 }}} = \frac{{k!\sum\limits_{m = 0}^{\left\lfloor {k/2} \right\rfloor } {\frac{{( - 1)^m 2^{k - 2m} }} {{t^{k - 2m} m!(n - 2m)!}}} }} {{t^{2k} e^{\frac{1} {{t^2 }}} }} \]$$

Вопрос созрел именно, в том, что взяв первую производную по этой формуле она оказалась верной, но со второй начались проблемы.

Где я допустил ошибку.

[maxmatem]

Там в левой части 3-его равенства ,вместо $n$, должно быть $k$

[Dan B-Yallay]

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dt}e^{-1/t^2}&= e^{-1/t^2}\cdot \dfrac {2}{t^3} \\ \dfrac{d^2}{dt^2}e^{-1/t^2}&= \Big(e^{-1/t^2}\Big\cdot \dfrac {2}{t^3}\Big) \cdot \dfrac {2}{t^3} - e^{-1/t^2} \cdot \dfrac 6{t^4}=e^{-1/t^2}\Big(\dfrac 4{t^6} - \dfrac 6 {t^4} \Big)\\ \dfrac{d^3}{dt^3}e^{-1/t^2}&= \Big(e^{-1/t^2}\Big\cdot \dfrac {2}{t^3}\Big) \Big(\dfrac 4{t^6} - \dfrac 6 {t^4} \Big) + e^{-1/t^2} \Big( \dfrac {-24}{t^7}+ \dfrac{24}{t^5} \Big)=e^{-1/t^2} \Big(\dfrac{24}{t^5}-\dfrac{36}{t^7} + \dfrac 8{t^9} \Big) \end{align*}$$

Нда.

[maxmatem]

Dan B-Yallay
То есть вы хотите сказать, что у меня верная формула? и это я просто неправильно посчитал? Или нет....

[Dan B-Yallay]

Перепроверьте меня. Если не найдете ошибок, то с Эрмитовыми полиномами придется расстаться и изобретать новые.
Зато их назовут в Вашу честь.