О проблеме Гольдбаха

[vorvalm]

hurtsy
Извиняюсь за вынужденную задержку с ответом. За это время я несколько
уточнил значение постоянной Мертенса. Получается, что $\frac 1 A < 0,4$
при ПСВ по модулю М(23). Я думаю, что пределом является A = e, т.е.
$\frac 1 A= 0,37...$
Если у вас есть воможность вычислить эту постоянную в ПСВ по модулю М(29)
то буду весьмя признателен. Программа очень простая.
1. Надо создать массив вычетов ПСВ по модулю М(29). Это достатачно большое число.
2 Создать массив простых чисел до $p < \sqrt M(29)$.
3.С помощью двойного цикла выделить составные вычеты ПСВ. Я обычно
присваиваю им число М+1.
4.Подсчитать число этих чисел.

[vorvalm]

Ряд простых чисел ПСВ по модулю М от 1 до $p_{r+1}^2$ назовем интервал Ip,а двойной интервал от $-p_{r+1}^2$ до $+p_{r+1}^2$ в ПСВ по модулю
(1,5-0,5)М назовем диапазон Dp. Это:
$-p_n,..-p_t,..-p_s,..-p_{r+1},..-1(M)+1,..+p_{r+1},..+p_s,..+p_t,..+p_n$.
где n - число простых чисел в интервале Ip.
Очевидно,что разности между вычетами,расположенными по обе стороны от М
равны сумме различных сочетаний двух простых чисел.
$(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s$. Число таких сочетаний равно
0,5n(n+1). Число возможных разностей от $2p_n$ до
$2p_{r+1}$ равно $p_n-p_{r+1}+1$<<0,5n(n+1),т.е.на каждую разность приходится несколько представлений,но часть разностей,расположенных у границ интервала не могут быть представлены $p_t+p_s$,т.к. мы не можем использовать простые числа,которые находятся за пределами интервала Ip. Например,разность $2p_n$ не может быть равна
$p_t+p_s$,т.к. тогда $p_t$ будет больше
$p_n$ и у разности $2p_{r+1}$
$p_s$ будет меньше $p_{r+1}$. Поэтому отступаем от границ интервала Ip и сокращаем интервал разностей Id сверху до $2p_x^2 < 2p_n$ (включително) и
снизу до$2p_{x-1}^2 > p_{r+1}$ (исключтильно) для того,чтобы использовать максимальное число простых чисел интервала. Интервал Id должен занимать среднюю часть интервала Ip.

[vorvalm]

Так как мы имеем дело с простыми числами, то точно установить среднюю часть интервала Ip невозможно,но оценочно можно.
$2p_{x-1}^2 - p_{r+1}\approx p_{r+1}^2-2p_x^2$
отсюда $p_{r+1} < \sqrt{2p_x^2+2p_{x-1}^2}$
Обозначим d - разность из интервала Id, тогда
$2p_{x-1}^2 < d <= 2p_x^2$ и
$p_x >=\sqrt{0,5d} > p_{x-1}$
При достаточно больших d
$p_{r+1} < 2p_x$
Все эти выкладки применимы для модулей М >210, т.к. при М <=210
интервал Ip выходит за пределы 0,5М.

[AKM]

vorvalm в сообщении #448511 писал(а):

Все эти выкладки применимы для модулей М >210, т.к. при М <=210

Все эти выкладки применимы для модулей $M >210$, т.к. при $M\le 210$...

vorvalm,

извольте соблюдать правила набора формул.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Может, лучше $\leqslant$?

[vorvalm]

Итак, начиная с ПСВ(2310) интервал Ip меньше 0,5М.
С ростом модуля этот интервал растет, но доля его в ПСВ уменьшается.
Для ПСВ(2310) $p_r=11,p_{r+1}=13$ отсюда
$p_x=7,p_{x-1}=5$ $d_{min}=52,d_{max}=98$
Формула $p_{r+1} < 2p_x$ обусловлена тем, что с ростом d доля интервала Id в интервале Ip уменьшается и при достаточно больших d
разница между $2p_x^2$ и $ 2p_{x-1}^2$ становится несоизмерима с $2p_{r+1}^2$.

[vorvalm]

Число любых четных разностей d в ПСВ можно определить по формуле:
$Nd=A_2\phi_2(M)$ - где $A_2$ - коэффициент,учитывающий простые
делители разности d, входящие в модуль М, $\phi_2(M)$- функция Эйлера
2-го порядка.В число Nd входят все разности d независимо от того, с какими группами они связаны. То, что функция $\phi_2(M)$ определяет число вычетов-близнецов ПСВ, доказывается легко по простым модулям.
Если $(d,p)=1$,то среди вычетов $a_n$ ПСВ по модулю р найдется один,когда
$d+a_n=kp$, тогда $Nd=\phi_2(p)$.
Если р\d, то $(d+a_n)$ - вычет ПСВ по модулю р, тогда $Nd=\phi(p)$.
Если у разности d несколько делителей $p_s$, входящих в модуль М, тогда
надо в функции $\phi_2(M)$ заменить сомножители $\phi_2(p_s)$ на $\phi(p_s)$
для всех $p_s$ - делителей разности d, т.е. получим коэффициент $A_2=\frac {\prod \phi(p_s)}{\prod \phi_2(p_s)}$где
$\prod \phi(p_s)=\prod (p_s -1)$ и $\prod \phi_2(p_s)=\prod (p_s -2)$.

[vorvalm]

Теперь мы можем сделать первый шаг к проблеме Гольдбаха.
Если четная разность d представляется суммой $p_t+p_s$, то число таких
представлений можно оценить снизу. Разности d из интервала Id в ПСВ
перекрывают друг друга,т.к. $dNd>>M$ и мы можем найти среднее число
перекрытий: $nf=\frac {dNd} M$.Разности d в ПСВ имеют свои зеркальные
отображения из -за симметричности вычетов, отсюда число представлений
равно:$Nf=(0,5nf)+m$, где m- число представлений, когда $p_s<p_{r+1}$.
В этом случае $p_s$ не является вычетом ПСВ и формула $Nd$ их не
учитывает. Поэтому $Nf>=(0,5nf)=(\frac{0,5A_2\phi_2(M)} M)$
Выражение в скобках - ближайшее целое число. Отношение
$ \frac {\phi_2(M)}M$ при больших М можно заменить на
произведение отношений $\beta_2$,чтобы не вычислять М.

[vorvalm]

Я извиняюсь.В предыдущем сообщении в формуле Nf пропущен основной
множитель d. Жаль,что никто не заметил.Формула должна быть такой:
$Nf>=(0,5dA_2\beta_2)$ где $A_2=\prod\frac {p-1}{p-2}$ p\d,p>2,
$\beta_2=\frac{\phi_2(M)} M=\prod_2^r\frac{(p_r-2)}{p_r}$
$p_r<=\sqrt{2d}$. Эта формула связывает d с ПСВ по модулю
$M(p_r)$, т.к. диапазоны Id в соседних ПСВ могут перекрывать друг друга и
возникает неоднозначность принадлежности d к той или иной ПСВ.
Коэффициент $A_2$ вносит большую неравномерность в число представлений
т.к. может изменятся от 1,когда $d=2^n$, до $\frac{\phi(M_i)}{\phi_2(M_i)}$
при $d=M_i<M(p_r)$. что подтверждает реальную их неравномерность.
Пример. $d=60,A_2=2,67,p_r=11,\beta_2=0,058, Nf>5<6$ (фактически)
$d=510510,A_2=4,137,p_r=1009,\beta_2=0,008639, Nf>9223<9483$.
$d=524288,A_2=1,p_r=1021,\beta_2=0,008588, Nf>2251<2368$

[vorvalm]

Теоретические основы распределения вычетов ПСВ даны в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов"
В этой теме мы будем использовать их в полной мере.
Проблема Гольдбаха доказывается аналогично доказательству бесконечности близнецов, но есть нюансы.
Если у близнецов мы знали, что $p_t=6q+1$ и $p_t-p_{t-1}=2$, то в представлении четной разности $d=p_t+p_s$ нам известно лишь то, что все вычеты ПСВ из двух классов чисел: $6q+1$ и $6q-1$.
Проблема Гольдбаха доказана для достатачно больших четных чисел порядка $10^{18}$, поэтому в нашем доказательстве будут рассматриваться числа того же порядка и выше.
Теорема. Любое достаточно большое четное число может быть представлено суммой двух нечетных простых чисел, т.е. $d=p_t+p_s$
Доказательство. Рассмотрим диапазон простых чисел Dp в ПСВ по модулю (1,5-0,5)М
$-p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_s,...-1(M)+1,...+p_s,...+p_t,...+p_{r+1}^2$.
Разности между вычетами, расположенными по обе стороны от М, равны сумме различных сочетаний двух простых чисел, т.е. $d=p_t+p_s$. $(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.$
Допустим, что при достаточно большом модуле М в диапазоне Dp нет разности $d=p_t+p_s$, но разности d существуют в ПСВ в количестве $A_2\varphi_2(M)$ в виде $d=p_t+a$, где а - вычет ПСВ. Среди таких разностей выберем две перекрывающие друг друга разности d с общей разностью $2p_t$. Это группа вычетов D[4].
$d[4]=(0,(2p_t-d), d, 2p_t)=(0,(p_t-a),(p_t+a),2p_t)$
Накладываем эту группу на диапазон Dp, чтобы числа $\pm p_t$ заняли свои места в этом диапазоне. Для того, чтобы исключить возможность представления $d=p_t+1$, включаем в состав группы близнец на месте $M\pm 1$. Группа становится группой 6-го размера.
$F[6]=(0,(p_t-a),(p_t-1),(p_t+1),(p_t+a),2p_t)$
В диапазоне Dp эта группа будет выглядеть так:
$-p_{r+1}^2,...-p_t,...(-a),...-1(M)+1,...(+a),...+p_t,...+p_{r+1}^2$
Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если мы докажем, что такая группа существует в ПСВ, то вычет а будет простым числом $p_s$.
Проходимость группы F[6] необходимо проверить по модулям р=3 и р=5, т.к. p < n.

[vorvalm]

Рутинное определение модулей сравнения разностей группы F[6] опускаем, но приведем сводный список модулей сравнения. В числителе - модули сравнения, в знаменателе их число.

$\frac{p_t+1}{2},\frac{p_t-1}{2},\frac{a+1}{2},\frac{a-1}{2},\frac{p_t+a}{2},\frac{p_t-a}{2}, 2a, 2$.

Непарные модули: 2а - удвоенный вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М, не имеет простых делителей, входящих в модуль М, т.е. m(p)=0, по модулю 2 для любых групп К(р)=1.
Проходимость по модулю р=3, $K(p)=3 +m(3)-6$.
Вычеты ПСВ могут быть $p_t=6q\pm 1$ и $a=6k\pm 1$, отсюда К(3)=1, т.к. m(3)=4 по числу модулей $p_t\pm 1$ и $a\pm 1$. Например, если $a=6k-1$, то есть модуль $a+1=6k$.
Проходимость по модулю р=5, $K(p)=5+m(5)-6$.
У вычетов ПСВ последняя цифра может быть 1, 3, 7, 9 или $p_t=10x\pm 1, p_t=10x\pm 3, a=10y\pm 1, a=10y\pm 3$.
При любых значениях $p_t=10x\pm 1$ и $a=10y\pm 1$ проходимость $K(5)\geqslant 1$, т.к. $m(5)\geqslant 2$ по числу модулей сравнений $p_t\pm 1$ и $a\pm 1$. Например, если $p_t=10x+1$, то есть модуль $p_t-1=10x$.
При любых значениях $p_t=10x\pm 3$ и $a=10y\pm 3$ проходимость $K(5)\geqslant 1$, т.к. $m(5)\geqslant 2$ по числу модулей $(p_t\pm a)$. Например, если $p_t=10x+3$ и $a=10y-3$, то есть модули $p_t+a=10(x+y)$ или если $p_t=10x-3$ и $a=10y-3$, то есть модули $p_t-a=10(x-y)$.
Если $p_t=10x\pm 1$ и $a=10y\pm 3$, то достаточно двух модулей $p_t\pm 1$, т.к. m(5)=2 и К(5)=1.
Итак, Группа F[6] проходит в ПСВ по любому модулю. Число таких групп в ПСВ равно $A_6\varphi_6(M)$. Функция $\varphi_6(M)$ нечетная. Значит все зависит от коэффициента $A_6=\prod \frac{K(p)}{\varphi_6(p)}$. Знаменатель - функция $\varphi_6(p)$ - нечетная. Числитель К(р) - нечетный при четных m(p) и n. В нашем случае n=6, m(p) - четное, т.к. модули сравнений парные, кроме 2 и 2а.
Таким образом, число групп F[6] нечетно. Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. в диапазоне Dp и вычет а является простым числом $p_s$ и $d=p_t+p_s$. В выборе модуля мы не ограничены.
Доказательство защищено авторским правом в 2008 г.

[hurtsy]

vorvalm в сообщении #461904 писал(а):

Доказательство защищено авторским правом в 2008 г.

Это очень убеждает. Лично для меня, такое утверждение не требует никаких доказательств, т.е. "финально".
У Вас тема имела развитие при оппонировании Sonic86.Это хороший пример "синхронного перевода".
Я понимаю, что Вы иногда отклоняетесь от математического "арго", для большей ясности изложения.
Все же непонятен употребляемый Вами термин непрерывный по отношению к ряду простых. Можете как нибудь сформулировать определение этой непрерывности, но не для конечного отрезка ряда, а для всего и сразу . С уважением,

[vorvalm]

Виктор Константинович, здравствуйте.
Я расчитывал на ответ по Е-mail.
Получить авторское право не представляет никаких трудностей для любого доказательства.В 2008 году за это
надо было заплатить 1500 р. Сейчас не знаю сколько.
Я пытался получить рецензию в высоких матиматических инстанциях, но все тщетно. Советская система в науке продолжает жить.
Под непрерывным рядом простых чисел в заданном интервале надо понимать то, что простые числа следуют друг за другом в порядке их возрастания без всяких пропусков. Рассматривать непрерывный ряд простых чисел до бесконечности нет смысла, т.к. нет никакой точной закономерности в их распределении. Но ряд простых чисел в ПСВ подчиняется точным закономерностям распределения вычетов ПСВ. С увеличением модуля М этот ряд растет, перекрывая предыдущий. Это дает возможность точного расчета.

[hurtsy]

vorvalm в сообщении #462082 писал(а):

Виктор Константинович, здравствуйте.

И Вам, Валентин Михайлович, здравствуйте. Не надо так подробно об АП, я где то об этом читал.
Никакая рецензия не дает гарантии "как страховой полис", но истину все равно надо искать.
Я считаю, что Вы не достаточно и не адекватно ответили на сообщения Sonic86.

(Оффтоп)

Произошло то о чем предупреждал

migmit в сообщении #425016 писал(а):

вы стремительно теряете внимание пользователей.

[vorvalm]

hurtsi
Извиняюсь за фамильярность.
Sonic86-это "дела давно минувших лет".
Мои последние сообщения доют исчерпывающий ответ на все вопрсы.