Теоретические основы распределения вычетов ПСВ даны в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов"
В этой теме мы будем использовать их в полной мере.
Проблема Гольдбаха доказывается аналогично доказательству бесконечности близнецов, но есть нюансы.
Если у близнецов мы знали, что
![$p_t=6q+1$ $p_t=6q+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/b/83b24f34bb8c5050e58a7e969e4f2b1182.png)
и
![$p_t-p_{t-1}=2$ $p_t-p_{t-1}=2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/c/ebc0773515bd8046a804dfb7f17fb42482.png)
, то в представлении четной разности
![$d=p_t+p_s$ $d=p_t+p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/0/d10b4e6f1a76d51736624b2ec300b0ad82.png)
нам известно лишь то, что все вычеты ПСВ из двух классов чисел:
![$6q+1$ $6q+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/2/b621d83ceb68e4b4d840159d3b2775ec82.png)
и
![$6q-1$ $6q-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/0/fd04b669130cc989dfba465c3d87c25182.png)
.
Проблема Гольдбаха доказана для достатачно больших четных чисел порядка
![$10^{18}$ $10^{18}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/5/58587787f2cc9c0b4bf47bfc3b3592f182.png)
, поэтому в нашем доказательстве будут рассматриваться числа того же порядка и выше.
Теорема. Любое достаточно большое четное число может быть представлено суммой двух нечетных простых чисел, т.е.
![$d=p_t+p_s$ $d=p_t+p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/0/d10b4e6f1a76d51736624b2ec300b0ad82.png)
Доказательство. Рассмотрим диапазон простых чисел Dp в ПСВ по модулю (1,5-0,5)М
![$-p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_s,...-1(M)+1,...+p_s,...+p_t,...+p_{r+1}^2$ $-p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_s,...-1(M)+1,...+p_s,...+p_t,...+p_{r+1}^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/e/a7eda32e6106affcd197f2a29c391f4882.png)
.
Разности между вычетами, расположенными по обе стороны от М, равны сумме различных сочетаний двух простых чисел, т.е.
![$d=p_t+p_s$ $d=p_t+p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/0/d10b4e6f1a76d51736624b2ec300b0ad82.png)
.
![$(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.$ $(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/2/0722b27b92abf15278cbe03b724789e282.png)
Допустим, что при достаточно большом модуле М в диапазоне Dp нет разности
![$d=p_t+p_s$ $d=p_t+p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/0/d10b4e6f1a76d51736624b2ec300b0ad82.png)
, но разности d существуют в ПСВ в количестве
![$A_2\varphi_2(M)$ $A_2\varphi_2(M)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a7153bf6d69bd11bda0a13727a0d6bd682.png)
в виде
![$d=p_t+a$ $d=p_t+a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf3f2122eb56f57f2894be68ac49038c82.png)
, где а - вычет ПСВ. Среди таких разностей выберем две перекрывающие друг друга разности d с общей разностью
![$2p_t$ $2p_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd4943136c910cf2361db819e2c81b3e82.png)
. Это группа вычетов D[4].
![$d[4]=(0,(2p_t-d), d, 2p_t)=(0,(p_t-a),(p_t+a),2p_t)$ $d[4]=(0,(2p_t-d), d, 2p_t)=(0,(p_t-a),(p_t+a),2p_t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/7/357132f5c86a75f6387664e3ef9a083682.png)
Накладываем эту группу на диапазон Dp, чтобы числа
![$\pm p_t$ $\pm p_t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/3/62384f48365a4f7e6d4fc4545723ff9682.png)
заняли свои места в этом диапазоне. Для того, чтобы исключить возможность представления
![$d=p_t+1$ $d=p_t+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/3/223005d0cb83862929604dd5c019d68f82.png)
, включаем в состав группы близнец на месте
![$M\pm 1$ $M\pm 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/4/4e4b0c94a18ac97a8d28b3d4182e79c382.png)
. Группа становится группой 6-го размера.
![$F[6]=(0,(p_t-a),(p_t-1),(p_t+1),(p_t+a),2p_t)$ $F[6]=(0,(p_t-a),(p_t-1),(p_t+1),(p_t+a),2p_t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/5/2f5554d99ae9e8fd3a7141a1dccd35d182.png)
В диапазоне Dp эта группа будет выглядеть так:
![$-p_{r+1}^2,...-p_t,...(-a),...-1(M)+1,...(+a),...+p_t,...+p_{r+1}^2$ $-p_{r+1}^2,...-p_t,...(-a),...-1(M)+1,...(+a),...+p_t,...+p_{r+1}^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/e/2fe3692baae8d00b9d40bf83099c0a4c82.png)
Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если мы докажем, что такая группа существует в ПСВ, то вычет а будет простым числом
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
.
Проходимость группы F[6] необходимо проверить по модулям р=3 и р=5, т.к. p < n.