2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение10.05.2011, 09:22 


31/12/10
1555
hurtsy
Извиняюсь за вынужденную задержку с ответом. За это время я несколько
уточнил значение постоянной Мертенса. Получается, что $\frac 1 A < 0,4$
при ПСВ по модулю М(23). Я думаю, что пределом является A = e, т.е.
$\frac 1 A= 0,37...$
Если у вас есть воможность вычислить эту постоянную в ПСВ по модулю М(29)
то буду весьмя признателен. Программа очень простая.
1. Надо создать массив вычетов ПСВ по модулю М(29). Это достатачно большое число.
2 Создать массив простых чисел до $p < \sqrt M(29)$.
3.С помощью двойного цикла выделить составные вычеты ПСВ. Я обычно
присваиваю им число М+1.
4.Подсчитать число этих чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.05.2011, 20:30 


31/12/10
1555
Ряд простых чисел ПСВ по модулю М от 1 до $p_{r+1}^2$ назовем интервал Ip,а двойной интервал от $-p_{r+1}^2$ до $+p_{r+1}^2$ в ПСВ по модулю
(1,5-0,5)М назовем диапазон Dp. Это:
$-p_n,..-p_t,..-p_s,..-p_{r+1},..-1(M)+1,..+p_{r+1},..+p_s,..+p_t,..+p_n$.
где n - число простых чисел в интервале Ip.
Очевидно,что разности между вычетами,расположенными по обе стороны от М
равны сумме различных сочетаний двух простых чисел.
$(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s$. Число таких сочетаний равно
0,5n(n+1). Число возможных разностей от $2p_n$ до
$2p_{r+1}$ равно $p_n-p_{r+1}+1$<<0,5n(n+1),т.е.на каждую разность приходится несколько представлений,но часть разностей,расположенных у границ интервала не могут быть представлены $p_t+p_s$,т.к. мы не можем использовать простые числа,которые находятся за пределами интервала Ip. Например,разность $2p_n$ не может быть равна
$p_t+p_s$,т.к. тогда $p_t$ будет больше
$p_n$ и у разности $2p_{r+1}$
$p_s$ будет меньше $p_{r+1}$. Поэтому отступаем от границ интервала Ip и сокращаем интервал разностей Id сверху до $2p_x^2 < 2p_n$ (включително) и
снизу до$2p_{x-1}^2 > p_{r+1}$ (исключтильно) для того,чтобы использовать максимальное число простых чисел интервала. Интервал Id должен занимать среднюю часть интервала Ip.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.05.2011, 21:31 


31/12/10
1555
Так как мы имеем дело с простыми числами, то точно установить среднюю часть интервала Ip невозможно,но оценочно можно.
$2p_{x-1}^2 - p_{r+1}\approx p_{r+1}^2-2p_x^2$
отсюда $p_{r+1} < \sqrt{2p_x^2+2p_{x-1}^2}$
Обозначим d - разность из интервала Id, тогда
$2p_{x-1}^2 < d <= 2p_x^2$ и
$p_x >=\sqrt{0,5d} > p_{x-1}$
При достаточно больших d
$p_{r+1} < 2p_x$
Все эти выкладки применимы для модулей М >210, т.к. при М <=210
интервал Ip выходит за пределы 0,5М.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.05.2011, 21:52 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
vorvalm в сообщении #448511 писал(а):
Все эти выкладки применимы для модулей М >210, т.к. при М <=210
Все эти выкладки применимы для модулей $M >210$, т.к. при $M\le 210$...

 !  vorvalm,

извольте соблюдать правила набора формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.05.2011, 22:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Может, лучше $\leqslant$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение22.05.2011, 10:13 


31/12/10
1555
Итак, начиная с ПСВ(2310) интервал Ip меньше 0,5М.
С ростом модуля этот интервал растет, но доля его в ПСВ уменьшается.
Для ПСВ(2310) $p_r=11,p_{r+1}=13$ отсюда
$p_x=7,p_{x-1}=5$ $d_{min}=52,d_{max}=98$
Формула $p_{r+1} < 2p_x$ обусловлена тем, что с ростом d доля интервала Id в интервале Ip уменьшается и при достаточно больших d
разница между $2p_x^2$ и $ 2p_{x-1}^2$ становится несоизмерима с $2p_{r+1}^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение23.05.2011, 06:55 


31/12/10
1555
Число любых четных разностей d в ПСВ можно определить по формуле:
$Nd=A_2\phi_2(M)$ - где $A_2$ - коэффициент,учитывающий простые
делители разности d, входящие в модуль М, $\phi_2(M)$- функция Эйлера
2-го порядка.В число Nd входят все разности d независимо от того, с какими группами они связаны. То, что функция $\phi_2(M)$ определяет число вычетов-близнецов ПСВ, доказывается легко по простым модулям.
Если $(d,p)=1$,то среди вычетов $a_n$ ПСВ по модулю р найдется один,когда
$d+a_n=kp$, тогда $Nd=\phi_2(p)$.
Если р\d, то $(d+a_n)$ - вычет ПСВ по модулю р, тогда $Nd=\phi(p)$.
Если у разности d несколько делителей $p_s$, входящих в модуль М, тогда
надо в функции $\phi_2(M)$ заменить сомножители $\phi_2(p_s)$ на $\phi(p_s)$
для всех $p_s$ - делителей разности d, т.е. получим коэффициент $A_2=\frac {\prod \phi(p_s)}{\prod \phi_2(p_s)}$где
$\prod \phi(p_s)=\prod (p_s -1)$ и $\prod \phi_2(p_s)=\prod (p_s -2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение24.05.2011, 08:12 


31/12/10
1555
Теперь мы можем сделать первый шаг к проблеме Гольдбаха.
Если четная разность d представляется суммой $p_t+p_s$, то число таких
представлений можно оценить снизу. Разности d из интервала Id в ПСВ
перекрывают друг друга,т.к. $dNd>>M$ и мы можем найти среднее число
перекрытий: $nf=\frac {dNd} M$.Разности d в ПСВ имеют свои зеркальные
отображения из -за симметричности вычетов, отсюда число представлений
равно:$Nf=(0,5nf)+m$, где m- число представлений, когда $p_s<p_{r+1}$.
В этом случае $p_s$ не является вычетом ПСВ и формула $Nd$ их не
учитывает. Поэтому $Nf>=(0,5nf)=(\frac{0,5A_2\phi_2(M)} M)$
Выражение в скобках - ближайшее целое число. Отношение
$ \frac {\phi_2(M)}M$ при больших М можно заменить на
произведение отношений $\beta_2$,чтобы не вычислять М.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.05.2011, 08:28 


31/12/10
1555
Я извиняюсь.В предыдущем сообщении в формуле Nf пропущен основной
множитель d. Жаль,что никто не заметил.Формула должна быть такой:
$Nf>=(0,5dA_2\beta_2)$ где $A_2=\prod\frac {p-1}{p-2}$ p\d,p>2,
$\beta_2=\frac{\phi_2(M)} M=\prod_2^r\frac{(p_r-2)}{p_r}$
$p_r<=\sqrt{2d}$. Эта формула связывает d с ПСВ по модулю
$M(p_r)$, т.к. диапазоны Id в соседних ПСВ могут перекрывать друг друга и
возникает неоднозначность принадлежности d к той или иной ПСВ.
Коэффициент $A_2$ вносит большую неравномерность в число представлений
т.к. может изменятся от 1,когда $d=2^n$, до $\frac{\phi(M_i)}{\phi_2(M_i)}$
при $d=M_i<M(p_r)$. что подтверждает реальную их неравномерность.
Пример. $d=60,A_2=2,67,p_r=11,\beta_2=0,058, Nf>5<6$ (фактически)
$d=510510,A_2=4,137,p_r=1009,\beta_2=0,008639,  Nf>9223<9483$.
$d=524288,A_2=1,p_r=1021,\beta_2=0,008588,  Nf>2251<2368$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение24.06.2011, 11:09 


31/12/10
1555
Теоретические основы распределения вычетов ПСВ даны в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов"
В этой теме мы будем использовать их в полной мере.
Проблема Гольдбаха доказывается аналогично доказательству бесконечности близнецов, но есть нюансы.
Если у близнецов мы знали, что $p_t=6q+1$ и $p_t-p_{t-1}=2$, то в представлении четной разности $d=p_t+p_s$ нам известно лишь то, что все вычеты ПСВ из двух классов чисел: $6q+1$ и $6q-1$.
Проблема Гольдбаха доказана для достатачно больших четных чисел порядка $10^{18}$, поэтому в нашем доказательстве будут рассматриваться числа того же порядка и выше.
Теорема. Любое достаточно большое четное число может быть представлено суммой двух нечетных простых чисел, т.е. $d=p_t+p_s$
Доказательство. Рассмотрим диапазон простых чисел Dp в ПСВ по модулю (1,5-0,5)М
$-p_{r+1}^2,...-p_t,...-p_s,...-1(M)+1,...+p_s,...+p_t,...+p_{r+1}^2$.
Разности между вычетами, расположенными по обе стороны от М, равны сумме различных сочетаний двух простых чисел, т.е. $d=p_t+p_s$. $(M+p_t)-(M-p_s)=p_t+p_s.$
Допустим, что при достаточно большом модуле М в диапазоне Dp нет разности $d=p_t+p_s$, но разности d существуют в ПСВ в количестве $A_2\varphi_2(M)$ в виде $d=p_t+a$, где а - вычет ПСВ. Среди таких разностей выберем две перекрывающие друг друга разности d с общей разностью $2p_t$. Это группа вычетов D[4].
$d[4]=(0,(2p_t-d), d, 2p_t)=(0,(p_t-a),(p_t+a),2p_t)$
Накладываем эту группу на диапазон Dp, чтобы числа $\pm p_t$ заняли свои места в этом диапазоне. Для того, чтобы исключить возможность представления $d=p_t+1$, включаем в состав группы близнец на месте $M\pm 1$. Группа становится группой 6-го размера.
$F[6]=(0,(p_t-a),(p_t-1),(p_t+1),(p_t+a),2p_t)$
В диапазоне Dp эта группа будет выглядеть так:
$-p_{r+1}^2,...-p_t,...(-a),...-1(M)+1,...(+a),...+p_t,...+p_{r+1}^2$
Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если мы докажем, что такая группа существует в ПСВ, то вычет а будет простым числом $p_s$.
Проходимость группы F[6] необходимо проверить по модулям р=3 и р=5, т.к. p < n.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение24.06.2011, 18:15 


31/12/10
1555
Рутинное определение модулей сравнения разностей группы F[6] опускаем, но приведем сводный список модулей сравнения. В числителе - модули сравнения, в знаменателе их число.

$\frac{p_t+1}{2},\frac{p_t-1}{2},\frac{a+1}{2},\frac{a-1}{2},\frac{p_t+a}{2},\frac{p_t-a}{2}, 2a, 2$.

Непарные модули: 2а - удвоенный вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М, не имеет простых делителей, входящих в модуль М, т.е. m(p)=0, по модулю 2 для любых групп К(р)=1.
Проходимость по модулю р=3, $K(p)=3 +m(3)-6$.
Вычеты ПСВ могут быть $p_t=6q\pm 1$ и $a=6k\pm 1$, отсюда К(3)=1, т.к. m(3)=4 по числу модулей $p_t\pm 1$ и $a\pm 1$. Например, если $a=6k-1$, то есть модуль $a+1=6k$.
Проходимость по модулю р=5, $K(p)=5+m(5)-6$.
У вычетов ПСВ последняя цифра может быть 1, 3, 7, 9 или $p_t=10x\pm 1, p_t=10x\pm 3, a=10y\pm 1, a=10y\pm 3$.
При любых значениях $p_t=10x\pm 1$ и $a=10y\pm 1$ проходимость $K(5)\geqslant 1$, т.к. $m(5)\geqslant 2$ по числу модулей сравнений $p_t\pm 1$ и $a\pm 1$. Например, если $p_t=10x+1$, то есть модуль $p_t-1=10x$.
При любых значениях $p_t=10x\pm 3$ и $a=10y\pm 3$ проходимость $K(5)\geqslant 1$, т.к. $m(5)\geqslant 2$ по числу модулей $(p_t\pm a)$. Например, если $p_t=10x+3$ и $a=10y-3$, то есть модули $p_t+a=10(x+y)$ или если $p_t=10x-3$ и $a=10y-3$, то есть модули $p_t-a=10(x-y)$.
Если $p_t=10x\pm 1$ и $a=10y\pm 3$, то достаточно двух модулей $p_t\pm 1$, т.к. m(5)=2 и К(5)=1.
Итак, Группа F[6] проходит в ПСВ по любому модулю. Число таких групп в ПСВ равно $A_6\varphi_6(M)$. Функция $\varphi_6(M)$ нечетная. Значит все зависит от коэффициента $A_6=\prod \frac{K(p)}{\varphi_6(p)}$. Знаменатель - функция $\varphi_6(p)$ - нечетная. Числитель К(р) - нечетный при четных m(p) и n. В нашем случае n=6, m(p) - четное, т.к. модули сравнений парные, кроме 2 и 2а.
Таким образом, число групп F[6] нечетно. Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. в диапазоне Dp и вычет а является простым числом $p_s$ и $d=p_t+p_s$. В выборе модуля мы не ограничены.
Доказательство защищено авторским правом в 2008 г.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2011, 11:45 


01/07/08
836
Киев
vorvalm в сообщении #461904 писал(а):
Доказательство защищено авторским правом в 2008 г.

Это очень убеждает. Лично для меня, такое утверждение не требует никаких доказательств, т.е. "финально".
У Вас тема имела развитие при оппонировании Sonic86.Это хороший пример "синхронного перевода".
Я понимаю, что Вы иногда отклоняетесь от математического "арго", для большей ясности изложения.
Все же непонятен употребляемый Вами термин непрерывный по отношению к ряду простых. Можете как нибудь сформулировать определение этой непрерывности, но не для конечного отрезка ряда, а для всего и сразу :?: . С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2011, 12:46 


31/12/10
1555
Виктор Константинович, здравствуйте.
Я расчитывал на ответ по Е-mail.
Получить авторское право не представляет никаких трудностей для любого доказательства.В 2008 году за это
надо было заплатить 1500 р. Сейчас не знаю сколько.
Я пытался получить рецензию в высоких матиматических инстанциях, но все тщетно. Советская система в науке продолжает жить.
Под непрерывным рядом простых чисел в заданном интервале надо понимать то, что простые числа следуют друг за другом в порядке их возрастания без всяких пропусков. Рассматривать непрерывный ряд простых чисел до бесконечности нет смысла, т.к. нет никакой точной закономерности в их распределении. Но ряд простых чисел в ПСВ подчиняется точным закономерностям распределения вычетов ПСВ. С увеличением модуля М этот ряд растет, перекрывая предыдущий. Это дает возможность точного расчета.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2011, 13:55 


01/07/08
836
Киев
vorvalm в сообщении #462082 писал(а):
Виктор Константинович, здравствуйте.

И Вам, Валентин Михайлович, здравствуйте. Не надо так подробно об АП, я где то об этом читал.
Никакая рецензия не дает гарантии "как страховой полис", но истину все равно надо искать.
Я считаю, что Вы не достаточно и не адекватно ответили на сообщения Sonic86.

(Оффтоп)

Произошло то о чем предупреждал
migmit в сообщении #425016 писал(а):
вы стремительно теряете внимание пользователей.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2011, 14:56 


31/12/10
1555
hurtsi
Извиняюсь за фамильярность.
Sonic86-это "дела давно минувших лет".
Мои последние сообщения доют исчерпывающий ответ на все вопрсы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group