Теорема. Любое четное число представляется разностью двух нечетных простых чисел
![$d=p_t-p_s$ $d=p_t-p_s$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/5/9b5a684e3279459c152504426cacdf3682.png)
и число таких представлений бесконечно.
Доказательство. Допустим, что в ПСВ при достаточно большом модуле М в диапазоне
![$Dp$ $Dp$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/b/fab6e731c36a808cb694cca0768aefba82.png)
нет четной разности
![$d= p_t-p_s$ $d= p_t-p_s$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/f/76f7b3c633de5de00dd4987461e0e15182.png)
меньше
![$d_{\max}$ $d_{\max}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/d/42d82ac50cec3321ba05d695f887452c82.png)
, но они есть ПСВ в количестве
![$A_2\varphi_2(M)$ $A_2\varphi_2(M)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a7153bf6d69bd11bda0a13727a0d6bd682.png)
.(
теоремы 2,3.4 в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов")
Находим в ПСВ две разности
![$p_t-a$ $p_t-a$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/f/fafb1b387dd09f54d987733aa774cd4282.png)
(а - вычет ПСВ) с общей разностью
![$2p_t$ $2p_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd4943136c910cf2361db819e2c81b3e82.png)
. Это группа
![$D[4]=(0 ,p_t-a ,p_t+a ,2p_t)$ $D[4]=(0 ,p_t-a ,p_t+a ,2p_t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/d/39db4f94c2885125a0a0fae2338b955582.png)
(
определение, там же).
![$p_t$ $p_t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb71038316827ef9d7cbe35f7b614d4c82.png)
- простое число из интервала
![$Ip$ $Ip$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/7/d07891cd9897795f04a523712e92e3f782.png)
.
Располaгаем эту группу в центре ПСВ так, чтобы вычеты
![$\pm p_t$ $\pm p_t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/3/62384f48365a4f7e6d4fc4545723ff9682.png)
заняли свои места в интервалах
![$\pm Ip$ $\pm Ip$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/a/23a351b9fd4bbe1a49f4461c4400511f82.png)
. Чтобы исключить возможность представления
![$d=p_t-1$ $d=p_t-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51fc8726931e262238325bca5d94da9082.png)
в состав группы включаем близнец
![$M\pm 1$ $M\pm 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/4/4e4b0c94a18ac97a8d28b3d4182e79c382.png)
.
Группа становится группой 6-го размера:
![$F[6]=(0 ,p_t-a ,p_t-1 ,p_+1 ,p_+a ,2p_t)$ $F[6]=(0 ,p_t-a ,p_t-1 ,p_+1 ,p_+a ,2p_t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b200d1dd6bc3aa1f43a8a35c50a3f7982.png)
В диапазоне
![$Dp$ $Dp$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/b/fab6e731c36a808cb694cca0768aefba82.png)
эту группу можно представить так:
![$-p_n,..-p_t,..-a,..-1(M)+1,..+a,..+p_t,..+p_n$ $-p_n,..-p_t,..-a,..-1(M)+1,..+a,..+p_t,..+p_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d483fc44398e9a7cf380679674701a782.png)
Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если такая группа существует в ПСВ, то вычет "а" - простое число
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
.
Группу
![$F[6]$ $F[6]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/6/4063f5815e2b783f9e0daf90f93fbe7d82.png)
необходимо проверить на проходимость по модулям
![$p=3 ,p=5$ $p=3 ,p=5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffcbeeb20c6a08e5620f359efbf873382.png)
, т.к.
![$p<n$ $p<n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/7/367a5a8fd83b65670a3d07fca13c1f0582.png)
.(
определения 4,5;теорема 5, там же)(
определение)
Модули сравнений разностей группы
![$F[6]$ $F[6]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/6/4063f5815e2b783f9e0daf90f93fbe7d82.png)
. (вычисления опущены)
В числителе - модули сранений, в знамeнателе - их число.
![$(p_t+a)/2 ,(p_t-a)/2 ,(p_t+1)/2 ,(p_t-1)/2 ,(a+1)/2 ,(a-1)/2 , 2a ,2 , 2p_t$ $(p_t+a)/2 ,(p_t-a)/2 ,(p_t+1)/2 ,(p_t-1)/2 ,(a+1)/2 ,(a-1)/2 , 2a ,2 , 2p_t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/a/a7a1ea7f3e023f52417fbc65c8d6b68782.png)
Непарные модули: 2а - удвоенный вычет ПСВ, 2,
![$2p_t$ $2p_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd4943136c910cf2361db819e2c81b3e82.png)
.
Вычеты ПСВ могут быть
![$p_t=6q\pm 1$ $p_t=6q\pm 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/d/18d4c6e9cfb1d51b4c5af44110c5656b82.png)
или
![$a=6v\pm 1$ $a=6v\pm 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/5/ae53775267a7d17dda0cf3f07a137a2c82.png)
.
Проходимость по модулю
![$p=3 ,K(3)=3+m(3)-6$ $p=3 ,K(3)=3+m(3)-6$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/8/d98594a68c2c1c7668c0082ee601c39482.png)
.
При любых значениях
![$p_t$ $p_t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb71038316827ef9d7cbe35f7b614d4c82.png)
и
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
проходимость
![$K(3)=1$ $K(3)=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/c/1bc4fcde7b66e2d2f33101a1b456bba782.png)
, т.к.
![$m(3)=4$ $m(3)=4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/e/dde3b575b4573aca1c59f9d4b575c34f82.png)
по числу модулей
![$p_t\pm1, a\pm1$ $p_t\pm1, a\pm1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/1/dc11c9a97b8a037cd1d28c23bde1cf3c82.png)
.
Проходимость по модулю
![$p=5 ,k(5)=5+m(5)-6$ $p=5 ,k(5)=5+m(5)-6$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/c/95cff624a06c01b08cf95bd8a5b5c7c182.png)
.
Последняя цифра вычетов ПСВ может быть: 1, 3, 7, 9, т.е.
![$p_t\pm 1 ,p_t\pm 3 ,a\pm 1 ,a\pm 3$ $p_t\pm 1 ,p_t\pm 3 ,a\pm 1 ,a\pm 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/2/4c298ae6fc63c29322f1f0de0011062f82.png)
.
При любых значениях
![$p_t$ $p_t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb71038316827ef9d7cbe35f7b614d4c82.png)
и
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$K(5)\geqslant1$ $K(5)\geqslant1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/5/6b569d8e6a7beefa543fadcc558dde5682.png)
по числу модулей
![$p_t\pm a ,p_t\pm1 ,a\pm1$ $p_t\pm a ,p_t\pm1 ,a\pm1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/6/d46cfc3f9245a5e18e1437f206ae785c82.png)
Модуль 2а - удвоенный вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М,
![$K(p)=1$ $K(p)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/4/024a27394f5d53f1cf5cecdf0649b3da82.png)
.
При модуле
![$p=2$ $p=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/2/90264925fb137831c8f410cd14c75cff82.png)
любая группа имеет
![$K(p)=1$ $K(p)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/4/024a27394f5d53f1cf5cecdf0649b3da82.png)
.
Модуль
![$2p_t$ $2p_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd4943136c910cf2361db819e2c81b3e82.png)
- не входит в состав модуля М.
![$K(p)=1$ $K(p)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/4/024a27394f5d53f1cf5cecdf0649b3da82.png)
.
Таким образом, группа
![$F[6]$ $F[6]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/6/4063f5815e2b783f9e0daf90f93fbe7d82.png)
проходит в ПСВ по любому модулю
Число таких групп равно
![$A_6\varphi_6(M)$ $A_6\varphi_6(M)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/2/ce2a150538c21218726100fe11c53bdc82.png)
. (
определение 4,5;теорема 5 там же).
Функция
![$\varphi_6(M)$ $\varphi_6(M)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/6/6966cea50a2974c2b6d0176cf011148e82.png)
- нечетная. Коэффициент
![$A_6=K(p)/\varphi_6(p)$ $A_6=K(p)/\varphi_6(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/3/47390e27e1b9b2a12ec098e732a6352182.png)
.
Знаменатель
![$\varphi_6(p)$ $\varphi_6(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/1/421d44fc483245855ebed3cec066469182.png)
- нечетный. Проходимость
![$K(p)$ $K(p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/8/ba806248588a6109044b2871ddaff15d82.png)
при четных
![$m(p)$ $m(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c3913a8aac129b8327e4355b16d717b882.png)
и
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- нечетная. Число групп
![$F[6]$ $F[6]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/6/4063f5815e2b783f9e0daf90f93fbe7d82.png)
- нечетное.
Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел и вычет "а" является простым числом.
В выборе модуля мы не ограничены и при любом достаточно большом модуле в интервале простых чисел ПСВ есть разности
![$d\leqslant d_{\max}$ $d\leqslant d_{\max}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/2/c22dcde87fe367300dd1dad75848b1a982.png)
.
Эта теорема доказывает и бесконечность этих разностей среди простых чисел, в частности
![$d=2,d=4$ $d=2,d=4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/b/e1bd9e43608f8766264583827e9853a082.png)
.