2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.
 
 Re: Альтернатива проблеме Гольдбаха
Сообщение01.11.2011, 10:26 


31/12/10
1555
Проблема Гольдбаха заключается в представлении четного числа суммой двух нечетных простых чисел. Но можно поставить вопрос о представлении четного числа разностью двух нечетных простых чисел. Казалось бы, что это само самой разумеется, но, как и проблему Гольдбаха, это надо доказать.
Доказательство не отличается принципиально от доказательства проблемы Гольдбаха. Надо рассматривать эти разности в ПСВ по модулю М, когда первая половина вычетов меньше модуля, а вторая больше модуля, при этом сохраняется симметрия расположения вычетов относительно модуля М.
В центре такой ПСВ образуется диапазон $Dp$ простых чисел (за вычетом модуля М), состоящий из двух интервалов $-Ip$ и $+Ip$:
$-p^2_{r+1}..-p_n...-p_t....-p_{r+1}..-1(M)+1..+p_{r+1}...+p_t...+p_n..+p^2_{r+1}$
В этом диапазоне есть максимальная разность $d_{\max}=p_n - p_{r+1}$, минимальная разность $d_{\min}=2$ (близнецы) и промежуточные разности d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернатива проблеме Гольдбаха
Сообщение01.11.2011, 20:13 


31/12/10
1555
Теорема. Любое четное число представляется разностью двух нечетных простых чисел $d=p_t-p_s$ и число таких представлений бесконечно.
Доказательство. Допустим, что в ПСВ при достаточно большом модуле М в диапазоне $Dp$ нет четной разности $d= p_t-p_s$ меньше $d_{\max}$, но они есть ПСВ в количестве $A_2\varphi_2(M)$.(теоремы 2,3.4 в теме "Бесконечность простых чисел-близнецов")
Находим в ПСВ две разности $p_t-a$ (а - вычет ПСВ) с общей разностью $2p_t$. Это группа $D[4]=(0 ,p_t-a ,p_t+a ,2p_t)$ (определение, там же).
$p_t$ - простое число из интервала $Ip$.
Располaгаем эту группу в центре ПСВ так, чтобы вычеты $\pm p_t$ заняли свои места в интервалах $\pm Ip$. Чтобы исключить возможность представления $d=p_t-1$ в состав группы включаем близнец $M\pm 1$.
Группа становится группой 6-го размера:

$F[6]=(0 ,p_t-a ,p_t-1 ,p_+1 ,p_+a ,2p_t)$

В диапазоне $Dp$ эту группу можно представить так:

$-p_n,..-p_t,..-a,..-1(M)+1,..+a,..+p_t,..+p_n$

Вычету "а" нет места среди простых чисел диапазона, но если такая группа существует в ПСВ, то вычет "а" - простое число $p_s$.
Группу $F[6]$ необходимо проверить на проходимость по модулям $p=3 ,p=5$, т.к. $p<n$.(определения 4,5;теорема 5, там же)(определение)
Модули сравнений разностей группы $F[6]$. (вычисления опущены)
В числителе - модули сранений, в знамeнателе - их число.

$(p_t+a)/2 ,(p_t-a)/2 ,(p_t+1)/2 ,(p_t-1)/2 ,(a+1)/2 ,(a-1)/2 , 2a ,2 , 2p_t$

Непарные модули: 2а - удвоенный вычет ПСВ, 2, $2p_t$.
Вычеты ПСВ могут быть $p_t=6q\pm 1$ или $a=6v\pm 1$.
Проходимость по модулю $p=3 ,K(3)=3+m(3)-6$.
При любых значениях $p_t$ и $a$ проходимость $K(3)=1$, т.к. $m(3)=4$ по числу модулей $p_t\pm1, a\pm1$.
Проходимость по модулю $p=5 ,k(5)=5+m(5)-6$.
Последняя цифра вычетов ПСВ может быть: 1, 3, 7, 9, т.е. $p_t\pm 1 ,p_t\pm 3 ,a\pm 1 ,a\pm 3$.
При любых значениях $p_t$ и $a$ ,$K(5)\geqslant1$ по числу модулей $p_t\pm a ,p_t\pm1 ,a\pm1$
Модуль 2а - удвоенный вычет ПСВ, взаимно простой с модулем М, $K(p)=1$.
При модуле $p=2$ любая группа имеет $K(p)=1$.
Модуль $2p_t$ - не входит в состав модуля М. $K(p)=1$.
Таким образом, группа $F[6]$ проходит в ПСВ по любому модулю
Число таких групп равно $A_6\varphi_6(M)$. (определение 4,5;теорема 5 там же).
Функция $\varphi_6(M)$ - нечетная. Коэффициент $A_6=K(p)/\varphi_6(p)$.
Знаменатель $\varphi_6(p)$ - нечетный. Проходимость $K(p)$ при четных $m(p)$ и $n$ - нечетная. Число групп $F[6]$ - нечетное.
Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел и вычет "а" является простым числом.
В выборе модуля мы не ограничены и при любом достаточно большом модуле в интервале простых чисел ПСВ есть разности $d\leqslant d_{\max}$.
Эта теорема доказывает и бесконечность этих разностей среди простых чисел, в частности $d=2,d=4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение01.11.2011, 22:13 


31/12/10
1555
В предыдущем тексте допущены опечатки.
После слов: "Последняя цифра вычетов может быть:1 ,3 ,7 ,9, т.е." - должно быть
$p_t=10k\pm 1 ,p_t=10k\pm 3 ,a=10k\pm 1 ,a=10k\pm 3$
Далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение01.02.2012, 20:17 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Теренс Тао выложил на Архиве статью, озаглавленную: "Каждое нечётное число представимо в виде суммы не более чем пяти простых." Надеюсь вас заинтересует.

Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes

Также его сообщение об этом в личном блоге: Блог

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение02.02.2012, 12:01 


31/12/10
1555
Nilenbert
Большое спасибо. Надо разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение06.02.2012, 10:54 


31/12/10
1555
По-моему, правильный перевод названия статьи Теренса Тао такой:
" Каждое нечетное число больше 1 есть сумма не более 5-ти простых чисел."

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.02.2012, 10:24 


31/12/10
1555
Статья Теренса Тао - интерпретация доказательства тернарной гипотезы Гольдбаха, которую доказал И.М.Виноградов в 1937 г.
У Теренса Тао ограничение до 5-ти простых чисел, которыми могут быть представлены нечетные числа, значительно слабее доказательства И.М.Виноградова, у которого нечетные числа представляются 3-мя простыми числами.
Однако, если доказана бинарная гипотеза Гольдбаха, то любые интерпретации этой проблемы теряют всякий смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.02.2012, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
vorvalm в сообщении #541203 писал(а):
У Теренса Тао ограничение до 5-ти простых чисел, которыми могут быть представлены нечетные числа, значительно слабее доказательства И.М.Виноградова, у которого нечетные числа представляются 3-мя простыми числами.

С другой стороны, у Виноградова представимость доказана для лишь для достаточно больших чисел, а у Тао для всех.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение21.02.2012, 16:41 


31/12/10
1555
Совершенно верно. Доказательство И.М.Виноградова для достаточно больших нечетных чисел порядка $10^{20}.$
Но экспериментально подтверждено для чисел того же порядка

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение22.02.2012, 00:16 
Аватара пользователя


25/03/08
241
vorvalm в сообщении #541304 писал(а):
Совершенно верно. Доказательство И.М.Виноградова для достаточно больших нечетных чисел порядка $10^{20}.$
Но экспериментально подтверждено для чисел того же порядка


Нет. Там довольно большой пробел. Слабая проблема Гольдбаха проверена при $n<10^{22}\sim e^{28}$ и доказана при $n>e^{3100}$, в той же статье Тао на первой странице сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение22.02.2012, 12:12 


31/12/10
1555
Теренс Тао очевидно использовал устаревшие данные по доказательству проблемы Гольдбаха. В его же статье упоминаются Deshaullers, Effinger, te Riele and Zinoviev, которые подтвердили в 1997 г. эту гипотезу до чисел порядка $10^{20}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение22.02.2012, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
vorvalm в сообщении #541506 писал(а):
Теренс Тао очевидно использовал устаревшие данные по доказательству проблемы Гольдбаха. В его же статье упоминаются Deshaullers, Effinger, te Riele and Zinoviev, которые подтвердили в 1997 г. эту гипотезу до чисел порядка $10^{20}$.

Не совсем так. Если почитать саму статью этих авторов, то все результаты там установлены в предположении справедливости обобщенной гипотезы Римана. Ну, конечно, кроме конкретного счета.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.07.2012, 17:49 


31/12/10
1555
В теме "Альтернатива проблеме Гольдбаха" в теореме о разностях (подробности здесь же, стр.5)
было показано, что любые четные разности между простыми числами
существуют и число их бесконечно.
Разности $d=2,d=4$ могут быть только между соседними простыми числами.
Остальные разности могут быть представлены как между соседними простыми
числами, так и иначе.
Например,разность $d=6$ представляется тремя вариантами.(подробности здесь)
1) "чистая разность" между соседними простыми числами $B[6],$
2) группой вычетов $C[6]=(2,4),$
3) группой вычетов $C[6]=(4,2).$
Разности других размеров представляются еще большим числом вариантов.
Возникает вопрос. Бесконечно ли число "чистых разностей" между простыми числами ?
Решить эту проблему в общем виде довольно трудно.
Но для отдельных разностей это не так сложно.
Рассмотрим разность $d=6.$
Число таких "чистых разностей" в ПСВ(M) равно: (подробности здесь)
$N(B[6])=2\varphi_2(M)-2\varphi_3(M).$
Общее число групп $C[6]=(2,4),C[6]=(4,2)$ равно:
$N(C[6])=2\varphi_3(M).$
Берем отношение $N(B[6])/N(C[6])=\varphi_2(M)/\varphi_3(M)-1.$
При $M\rightarrow\infty  \lim \varphi_2(M)/\varphi_3(M)-1 \rightarrow\infty$
Это означает, что число "чистых разностей" в ПСВ становится подавляющим.
Следовательно, число "чистых разностей" $d=6$ бесконечно.
Аналогично можно рассматривать и другие разности, но число представлений
этих разностей увеличивается, что заметно усложняет задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение12.07.2012, 23:24 


23/02/12
3061
vorvalm в сообщении #593809 писал(а):
Это означает, что число "чистых разностей" в ПСВ становится подавляющим.
Следовательно, число "чистых разностей" $d=6$ бесконечно.
Аналогично можно рассматривать и другие разности, но число представлений
этих разностей увеличивается, что заметно усложняет задачу.

Это в ПСВ, а среди простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение13.07.2012, 07:49 


31/12/10
1555
Интервал $(1,p^2_{r+1})$ является составной частью ПСВ(М)
и вычеты этого интервала подчиняются всем закономерностям ПСВ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group