Дайте рецензию на работу Зенкина

[Dialectic]

Друзья, дайте пожалуйста рецензию на работу А.А.Зенкина
"Трансфинитный рай, Георга Кантора: Библейские сюжеты Апокалипсиса".
http://www.raai.org/about/persons/zenki ... ranrai.doc
Краткое содержание: автор( вроде доктор физ.мат наук) пытается убедить всех, что теорема Кантора - не верна.
Он там приводит ряд рассуждений, и вроде как показывает "что все ошиблись", причем в довольно хамовито-дерзкой на мой взгляд манере. Лично я нашел там несколько ошибок (на мой взгляд). Но хотелось бы чтобы непредвзятую оценку дали другие. Спасибо.

[Ales]

Похоже на сражение с ветряными мельницами.

[Dialectic]

Ales в сообщении #408356 писал(а):

Похоже на сражение с ветряными мельницами.

У меня ощущение то же такое возникло... Но хотелось бы чтобы Вы написали что-то более содержательное. Выпишите первую его ошибку, если не трудно. Cпасибо.

[Ales]

Dialectic в сообщении #408359 писал(а):

Но хотелось бы чтобы Вы написали что-то более содержательное. Выпишите первую его ошибку, если не трудно.

Здесь не о том речь, нет смысла говорить о каких-то ошибках.

Правда Кантор тоже был сумасшедшим.

[shwedka]

Рецензии уже существуют.
http://www.philos.msu.ru/vestnik/philos/art/2003/sramko_theorem.htm

[Dialectic]

shwedka в сообщении #408370 писал(а):

Рецензии уже существуют.
http://www.philos.msu.ru/vestnik/philos/art/2003/sramko_theorem.htm

shwedka спасибо! Отличная статья, все выводы автора совпали можно сказать - слово в слово с моими.

[migmit]

ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.

[Виктор Викторов]

Я пишу роман под названием «Моя жизнь без А.А.Зенкина». Теперь два серьёзных вопроса:

migmit в сообщении #408412 писал(а):

ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.

А в чём провинилась актуальная бесконечность? Встречал я этот термин, по моему, у Френкеля. Идея такая (если не вру): Рассматриваем бесконечное множество - актуальная бесконечность . Рассматриваем последовательность, имеющую конечный предел: для каждой окрестности этого предела есть конечное число элементов вне этой окрестности (трем себе нос: где тут нечто бесконечное) - это потенциальная бесконечность. К сожалению, не помню где читал. Кто-нибудь знает где об этом написано?

Второй вопрос. Я.В. Шрамко, написавший рецензию на заметку Зенкина, упоминает статью А. Френкеля «О диагональном методе Кантора» 1935 г. в 25-м томе журнала «Fundamenta Mathematicae» (с. 45—50). Я сознаю, что эта статья, конечно, вошла в его легко доступные книги. Но, может быть, кто-нибудь знает как добраться и до самой статьи?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #408458 писал(а):

Второй вопрос. Я.В. Шрамко, написавший рецензию на заметку Зенкина, упоминает статью А. Френкеля «О диагональном методе Кантора» 1935 г. в 25-м томе журнала «Fundamenta Mathematicae» (с. 45—50). Я сознаю, что эта статья, конечно, вошла в его легко доступные книги. Но, может быть, кто-нибудь знает как добраться и до самой статьи?

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm25/fm2517.pdf
Перевод http://www.philos.msu.ru/vestnik/philos ... diagon.htm

[migmit]

Виктор Викторов в сообщении #408458 писал(а):

Встречал я этот термин, по моему, у Френкеля.

Я имел в виду - в современной статье, конечно.

Виктор Викторов в сообщении #408458 писал(а):

это потенциальная бесконечность.

Да что вы?
Последовательность - есть отображение из множества $\mathbb{N}$. И только. Где тут "потенциальность"?

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

[Виктор Викторов]

Xaositect!
Спасибо. Прочитал и скачал. Очень симпатично.

(Оффтоп)

Я думал, что оригинал по английски. Ещё раз спасибо, что указали на перевод. С немецким мне туго.

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #408458 писал(а):

это потенциальная бесконечность.

Да что вы?
Последовательность - есть отображение из множества $\mathbb{N}$. И только. Где тут "потенциальность"?

Речь идет о том, что вне окрестности остается всегда конечное множество точек, и термин «потенциальная бесконечность» как бы спрашивает: а где бесконечность?

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Ссылочку бы мне...

[epros]

migmit в сообщении #408412 писал(а):

ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.

Это почему? По-моему, это просто ссылка на соответствующую аксиому теории множеств.

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Виктор Викторов попросил ссылку, а я хочу попросить хотя бы пояснений.

[migmit]

epros в сообщении #408494 писал(а):

Это почему? По-моему, это просто ссылка на соответствующую аксиому теории множеств.

Очень хотел бы видеть контрпример - современную статью, содержащую что-нибудь дельное, и включающую слова "актуальная бесконечность", употреблённые не в ироническом смысле.

Впрочем, я забыл ещё одно исключение: статьи об истории науки.

epros в сообщении #408494 писал(а):

а я хочу попросить хотя бы пояснений.

Попробую. Всё нижеследующее - сугубое ИМХО, ИМХО и ещё раз ИМХО.

Ытак. Первое. Разграничение понятий "потенциальная" и "актуальная" бесконечность подразумевает, что первое есть некий процесс, протекающий во времени, в то время как второе есть нечто статичное. В современной математике "время" как таковое не существует. Я не хочу сказать, что в ней нет задач, удобно формулирующихся в терминах времени; просто "время" в этих задачах практически ничем не отличается от, допустим, пространственной координаты. Это просто $\mathbb R$. Математическое мышление доросло до такого уровня, что переход между восприятием чего-либо как процесса, и этой же вещи как статичной, существующей "мгновенно", не требует вообще никаких интеллектуальных усилий. Мы говорим о движущейся точке и одновременно думаем про функцию из $\mathbb R$ куда-то. Мы говорим о последовательности и думаем о функции из $\mathbb N$. Мы стали понимать, что "потенциальная бесконечность" и "актуальная бесконечность" означают, на самом деле, одно и то же.

Второе. Упомянутое разграничение возникло тогда, когда "актуальная бесконечность" казалась явлением парадоксальным, когда ещё не был развит аксиоматический подход. Почему-то математики считали, что первый вариант - "потенциальный" - не приводит к парадоксам, в то время как второй - "актуальный" - приводит. Аксиоматический подход позволяет абстрагироваться от того, как именно мы представляем себе происходящее - как процесс, или как состояние; наше представление - лишь удобный способ вести рассуждение, формализация же его от этого не зависит.

Как-то так.

[epros]

migmit в сообщении #408512 писал(а):

Разграничение понятий "потенциальная" и "актуальная" бесконечность подразумевает, что первое есть некий процесс, протекающий во времени, в то время как второе есть нечто статичное.

По-моему, время тут вовсе не обязательно. "Потенциальная" может подразумевать "теоретически допустимая", но такая, действительное существование ("актуальность") которой мы не берёмся утверждать. Пример: General Set Theory, в которой нет аксиомы бесконечности, но которая изоморфна арифметике Пеано, т.е. способна судить об объектах, коих по нашим представлениям "бесконечное количество". Это всё - в рамках аксиоматического подхода.

Я понимаю, что в рамках классической логики очень трудно уловить разницу между "теоретически допустимым" и "действительно существующим" - классический логик мыслит любое утверждение о существовании либо как истинное, либо как ложное. Однако я призываю попытаться понять и подход конструктивизма, для которого "теоретическая допустимость" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) не обязательно влечёт за собой "действительное существование" ($\exists x ~ \varphi(x)$). Первое означает, что в рамках данной теории мы не можем опровергнуть утверждение о существовании объекта $x$, такого, что ... , т.е. мы вправе заложить его существование дополнительной аксиомой. А второе, собственно, означает, что аксиома о существовании такого объекта уже заложена.

migmit в сообщении #408512 писал(а):

Упомянутое разграничение возникло тогда, когда "актуальная бесконечность" казалась явлением парадоксальным, когда ещё не был развит аксиоматический подход. Почему-то математики считали, что первый вариант - "потенциальный" - не приводит к парадоксам, в то время как второй - "актуальный" - приводит.

Я полагаю, что дело не в парадоксальности (хотя раньше, возможно, многие именно это имели в виду), а в том, с насколько полной аксиоматикой мы имеем дело: акиома бесконечности может быть в неё заложена или не заложена. И я, по большому счёту, не вижу особого смысла её закладывать, поскольку полноты теории мы таким образом всё равно не добьёмся (как утверждает теорема Гёделя).

[migmit]

Скажите, остались ли математики, в повседневной работе пользующиеся упомянутой GST без аксиомы бесконечности?

Прежде, чем вы с возмущением воскликните "конечно, да!", я позволю себе уточнить этот момент.

Я знаю, что в некоторых случаях нужно - действительно, нужно - доказывать некое утверждение, используя ограниченный набор аксиом, например, чтобы иметь возможность интерпретировать его в иной ситуации - скажем, в каком-нибудь топосе, или что-то в этом роде. Я, однако, утверждаю, что в этом случае математик, проводящий доказательство, осознаёт, что работает в "под-теории" (я не знаю приставки, противоположной по смыслу "мета-"), оставляя за собой право использовать более полный набор аксиом для метатеории. В частности, может быть интересно найти конструктивное доказательство чего-либо (я сам был очарован доказательством того, что из существования биекции между 2A и 2B следует существование биекции между A и B, причём без использования аксиомы выбора), но при этом мы удовлетворимся и доказательством существования такого доказательства, причём оно уже может использовать весь спектр накопившихся в математике методов.

Я бы не сказал, что что-то подобное действительно означает "использование ограниченного набора аксиом". Не думаю, что сейчас найдётся математик, который скажет, что геометрией следует заниматься, используя лишь циркуль и линейку; мы можем вести рассуждения о том, что можно сделать при помощи этих инструментов, но не замедлим воспользоваться компьютером для подготовки статьи об этом.

epros в сообщении #408527 писал(а):

не вижу особого смысла её закладывать, поскольку полноты теории мы таким образом всё равно не добьёмся

Просто получим теорию, в которой удобнее работать, и всё.

В любом случае, я был бы рад увидеть контрпример к моему первому "ИМХО": современную статью (не на историческую тематику), содержащую что-либо разумное и использующую термин "актуальная бесконечность" не в ироническом смысле.