Дайте рецензию на работу Зенкина

[Someone]

epros в сообщении #408494 писал(а):

migmit в сообщении #408412 писал(а):

ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.

Это почему? По-моему, это просто ссылка на соответствующую аксиому теории множеств.

Приведите, пожалуйста, эту аксиому. Сформулируйте её так, как формулируются другие аксиомы теории множеств. Например, аксиома регулярности: $\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y(y\in x\&\forall z(z\in y\Rightarrow\neg(z\in x)))$.

epros в сообщении #408494 писал(а):

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Виктор Викторов попросил ссылку, а я хочу попросить хотя бы пояснений.

Насколько я помню, я Вам этот вопрос пояснял в своё время. Но у Вас в этом месте имеется пунктик, связанный с Вашим увлечением конструктивизмом, причём, Вы хотите быть более правоверным конструктивистом, чем все конструктивисты, вместе взятые, поэтому смысла в дальнейших пояснениях не вижу.

Виктор Викторов в сообщении #408466 писал(а):

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Ссылочку бы мне...

Ну какую Вам "ссылочку", если термины "потенциальная бесконечность" и "актуальная бесконечность" в современной математике не употребляются. Они употребляются исключительно в околоматематических философствованиях. Надо сказать, что порой сами математики начинают придавать какое-то значение этим философствованиям.
Например, в работах по конструктивной математике иногда можно встретить утверждение, что в классической математике считается, что элементы множества "существуют" все сразу (актуальная бесконечность), в то время как в конструктивной элементы "появляются" по мере построения (потенциальная бесконечность). Однако это всего лишь интерпретации, не более того, а когда дело доходит до собственно математических утверждений, эти различия мгновенно исчезают. Сравните, например, формулировку аксиомы бесконечности (с использованием общепринятых сокращений)

$$\exists x(\varnothing\in x\&\forall y(y\in x\Rightarrow y\cup\{y\}\in x))$$

и формулировку одной из аксиом Пеано в конструктивном рекурсивном анализе ($\mathscr N$ - множество всех слов вида $0$, $0|$, $0||$, $0|||$, ..., изображающих натуральные числа)

$$0\in\mathscr N\&\forall x(x\in\mathscr N\Rightarrow x|\in\mathscr N)\text{.}$$

Единственное существенное различие состоит в том, что в аксиоме бесконечности утверждается существование объекта $x$, а в приведённой конструктивистской аксиоме $\mathscr N$ - это константа, обозначающая натуральный ряд, то есть, конкретный конструктивно определённый объект.

epros в сообщении #408527 писал(а):

Однако я призываю попытаться понять и подход конструктивизма, для которого "теоретическая допустимость" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) не обязательно влечёт за собой "действительное существование" ($\exists x ~ \varphi(x)$).

Какое это имеет отношение к актуальной и потенциальной бесконечности? Сформулируйте математическое определение того и другого, тогда будет предмет для математического обсуждения. Если Вы утверждаете, что в классической математике эти определения сформулировать нельзя, сформулируйте их в конструктивной.

[epros]

migmit в сообщении #408550 писал(а):

Скажите, остались ли математики, в повседневной работе пользующиеся упомянутой GST без аксиомы бесконечности?

Я полагаю, что этот вопрос некорректен. Большинство математиков заняты прикладными вопросами, поэтому их мало заботит какая бы то ни было минимальность аксиоматики, заложенной в основаниях. Они готовы принять какую угодно аксиоматику, лишь бы она считалась достаточно общепринятой в той области, в которой они работают, т.е., по-сути, они просто следуют сложившейся традиции.

Подобные вопросы правильнее задавать тем, для кого основания математики - специальность. Например, есть такое направление - Reverse mathematics, в рамках которого "в повседневной работе" как раз и рассматриваются вопросы "нужности" или "ненужности" тех или иных фундаментальных аксиом.

migmit в сообщении #408550 писал(а):

Просто получим теорию, в которой удобнее работать, и всё.

"Удобство" - это вопрос привычки. Было бы правильно иногда задаваться "неудобными" вопросами. Например, вопрос о разрешимости равенства действительных чисел: математический мейнстрим его просто отметает, поскольку "числа либо равны, либо нет", а больше основной массе математиков, занятых своими прикладными задачами, об этом знать и неинтересно. Но тот, кто готов посвятить своё время детальному изучению этого "неудобного" вопроса, знает, что алгоритмически, по крайней мере, этот вопрос действительно неразрешим.

Так что добавление в систему аксиом, которые в общем плане отвечают на некоторые "неудобные" вопросы, хотя и даёт некую иллюзию "удобства", но, по-моему, не приносит большой реальной пользы.

migmit в сообщении #408550 писал(а):

В любом случае, я был бы рад увидеть контрпример к моему первому "ИМХО": современную статью (не на историческую тематику), содержащую что-либо разумное и использующую термин "актуальная бесконечность" не в ироническом смысле.

Ну, у современных ультраинуиционистов (или конструктивистов) можно поискать. Но я не готов дать ссылку.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #408552 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #408466 писал(а):

migmit в сообщении #408464 писал(а):

Просто для математиков вопросы "потенциальной" и "актуальной" бесконечностей - давно пройденный этап.

Ссылочку бы мне...

Ну какую Вам "ссылочку", если термины "потенциальная бесконечность" и "актуальная бесконечность" в современной математике не употребляются. Они употребляются исключительно в околоматематических философствованиях. Надо сказать, что порой сами математики начинают придавать какое-то значение этим философствованиям.

Видимо, подобное философствование я и видел. Речь там шла о том, что "актуальная бесконечность" и есть «настоящая» бесконечность в смысле аксиомы бесконечности и был пример типа: рассмотрим множество натуральных чисел. А «потенциальная бесконечность» описывалась как нечто такое: говорят, что последовательность бесконечно приближается к своему пределу (фраза мне не нра, но это почти цитата), а на самом деле речь идет о том, что вне каждого открытого интервала, содержащего предел, есть не более чем конечное множество точек данной последовательности. С тех пор я и пытаюсь вспомнить где я это видел или найти разъяснение данному различению.

[migmit]

epros в сообщении #408562 писал(а):

по-сути, они просто следуют сложившейся традиции.

А мы про что, интересно?

epros в сообщении #408562 писал(а):

Например, есть такое направление - Reverse mathematics, в рамках которого "в повседневной работе" как раз и рассматриваются вопросы "нужности" или "ненужности" тех или иных фундаментальных аксиом.

Опять же - в рамках "под-теории".

epros в сообщении #408562 писал(а):

Но тот, кто готов посвятить своё время детальному изучению этого "неудобного" вопроса, знает, что алгоритмически, по крайней мере, этот вопрос действительно неразрешим.

Я вас обрадую: подавляющее большинство математиков ЗНАЮТ, что этот вопрос алгоритмически неразрешим (если вы задаёте вещественные числа алгоритмами) и неудобств от этого не испытывают.

epros в сообщении #408562 писал(а):

Ну, у современных ультраинуиционистов (или конструктивистов) можно поискать. Но я не готов дать ссылку.

Дайте хоть фамилию.

[epros]

Someone в сообщении #408552 писал(а):

Приведите, пожалуйста, эту аксиому. Сформулируйте её так, как формулируются другие аксиомы теории множеств. Например, аксиома регулярности: $\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y(y\in x\&\forall z(z\in y\Rightarrow\neg(z\in x)))$.

$$\exists x ~ (\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x))$$

(Оффтоп)

Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

(Оффтоп)

Someone в сообщении #408552 писал(а):

Насколько я помню, я Вам этот вопрос пояснял в своё время. Но у Вас в этом месте имеется пунктик, связанный с Вашим увлечением конструктивизмом, причём, Вы хотите быть более правоверным конструктивистом, чем все конструктивисты, вместе взятые, поэтому смысла в дальнейших пояснениях не вижу.

Заверяю Вас, что ни в каких вопросах "правовернее" кого бы то ни было я быть не хочу.

Someone в сообщении #408552 писал(а):

Например, в работах по конструктивной математике иногда можно встретить утверждение, что в классической математике считается, что элементы множества "существуют" все сразу (актуальная бесконечность), в то время как в конструктивной элементы "появляются" по мере построения (потенциальная бесконечность). Однако это всего лишь интерпретации, не более того, а когда дело доходит до собственно математических утверждений, эти различия мгновенно исчезают.

Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.

Someone в сообщении #408552 писал(а):

Единственное существенное различие состоит в том, что в аксиоме бесконечности утверждается существование объекта $x$, а в приведённой конструктивистской аксиоме $\mathscr N$ - это константа, обозначающая натуральный ряд, то есть, конкретный конструктивно определённый объект.

Во-первых, утверждение о существовании данного объекта - это действительно существенное различие.
Во-вторых, этот "конкретный конструктивно определённый объект" существует в каком угодно смысле, только не в смысле самой арифметики натуральных чисел.

Someone в сообщении #408552 писал(а):

epros в сообщении #408527 писал(а):

Однако я призываю попытаться понять и подход конструктивизма, для которого "теоретическая допустимость" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) не обязательно влечёт за собой "действительное существование" ($\exists x ~ \varphi(x)$).

Какое это имеет отношение к актуальной и потенциальной бесконечности? Сформулируйте математическое определение того и другого, тогда будет предмет для математического обсуждения. Если Вы утверждаете, что в классической математике эти определения сформулировать нельзя, сформулируйте их в конструктивной.

Это имеет прямое отношение к актуальной и потенциальной бесконечности. Подставьте вместо $\varphi(x)$ формулу из аксиомы бесконечности: $\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x)$

[migmit]

epros в сообщении #408575 писал(а):

Подставьте вместо $\varphi(x)$ формулу из аксиомы бесконечности: $\varnothing \in x \wedge \forall y ~ (y \in x \rightarrow y \cup \{y\} \in x)$

Что-то я сомневаюсь, что вам удастся доказать $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$

[epros]

migmit в сообщении #408570 писал(а):

А мы про что, интересно?

Я вовсе не пытаюсь оспаривать факт существования традиций. Но меня интересуют не традиции, а ... гхм ... более или менее "объективные" факты. Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом только потому, что какое-то там "большинство математиков" (для которых этот вопрос вообще далёк от сферы их специализации) над ним иронизируют, то я с Вами не соглашусь.

Напомню пример с французской академией наук, которая объявила в своё время криминалом сообщения о камнях, падающих с неба... Главное, всё же, не то, чтобы утверждения того или иного автора следовали традиции, а то, чтобы они были достаточно убедительными.

migmit в сообщении #408570 писал(а):

подавляющее большинство математиков ЗНАЮТ, что этот вопрос алгоритмически неразрешим (если вы задаёте вещественные числа алгоритмами) и неудобств от этого не испытывают

Угу, потому что перед ними не стоят задачи алгоритмического разрешения соответствующих вопросов.

migmit в сообщении #408570 писал(а):

Дайте хоть фамилию

Я в затруднении. Вы поставили весьма жёсткие условия: работа должна быть достаточно "современной", чётко идентифицироваться как "математика" (а не философия математики, например)... К тому же многие конструктивисты принимают аксиому бесконечности. Но поискать можно.

-- Чт фев 03, 2011 16:20:18 --

migmit в сообщении #408581 писал(а):

Что-то я сомневаюсь, что вам удастся доказать $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$

Доказать в какой теории? Это, опять же, из разряда аксиоматики: Если мы считаем теорию множеств "теорией всего", то сам факт того, что длительное повсеместное употребление аксиомы бесконечности пока не привёло ни к каким видимым противоречиям, можно считать косвенным свидетельством того, что она неопровержима (это как вера в непротиворечивость арифметики и тому подобные фундаментальные вещи). Но одно дело "неопровержимость", а другое дело - утверждение о существовании бесконечного множества. По "канонам" конструктивизма последнее должно сопровождаться примером построенного объекта.

[migmit]

epros в сообщении #408584 писал(а):

Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом

Где я это сказал?
Разумеется, не следует. Просто это очень хороший признак идиотской статьи. Пока не встречал повода усомниться в нём.

epros в сообщении #408584 писал(а):

Угу, потому что перед ними не стоят задачи алгоритмического разрешения соответствующих вопросов.

Как вы догадались?

epros в сообщении #408584 писал(а):

чётко идентифицироваться как "математика"

Нет, этого я, кажется, не требовал. Я только хотел, чтобы это не была "история математики" (в исторических работах можно встретить даже такие слова, которых в современных словарях-то нет), и чтобы в ней было что-нибудь разумное (что, соглашусь, de facto исключает "философию математики").

epros в сообщении #408584 писал(а):

Доказать в какой теории?

А есть более-менее распространённая теория, в которой $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$ доказуемо, а $\exists x ~ \varphi(x)$ - нет? Я имею в виду ту самую $\varphi$, из аксиомы бесконечности.

[epros]

migmit в сообщении #408592 писал(а):

А есть более-менее распространённая теория, в которой $\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$ доказуемо, а $\exists x ~ \varphi(x)$ - нет? Я имею в виду ту самую $\varphi$, из аксиомы бесконечности.

Не думаю. Насколько я знаю, конструктивисты большей частью разделяются на тех, кто принимает теорию множеств в некой сокращённой форме (но с аксиомой бесконечности), не слишком заботясь о BHK-интерпретации, и на тех, кто предпочитает обходиться без аксиомы бесконечности как таковой.

Мне кажется, что у нас с Вами не осталось существенных разногласий, как Вы полагаете? Я указал Вам, каков может быть математический смысл в различиях между понятиями "потенциального" и "актуального" существования бесконечности. У Вас есть какие-нибудь возражения против того, что в этом смысле употребление данных понятий в математических статьях можно считать корректным?

[migmit]

epros в сообщении #408600 писал(а):

Мне кажется, что у нас с Вами не осталось существенных разногласий, как Вы полагаете?

То есть, вы согласны с моим первоначальным утверждением?

[epros]

migmit в сообщении #408605 писал(а):

То есть, вы согласны с моим первоначальным утверждением?

Я полагаю, что Ваше первоначальное утверждение:

migmit в сообщении #408412 писал(а):

ИМХО, если в статье на полном серьёзе употребляются слова "актуальная бесконечность", статью можно закапывать сразу.

Было дезавуировано вот этим:

migmit в сообщении #408592 писал(а):

epros в сообщении #408584 писал(а):

Если Вы считаете, что употребление словосочетания "актуальная бесконечность" следует считать криминалом

Где я это сказал?
Разумеется, не следует. Просто это очень хороший признак идиотской статьи. Пока не встречал повода усомниться в нём.

Разве не так?

[migmit]

Ни в коей мере.
Я лишь уточнил его. Дезавуировано оно (как всякое ИМХО) будет тогда, когда я увижу контрпример.

[epros]

migmit в сообщении #408615 писал(а):

Дезавуировано оно (как всякое ИМХО) будет тогда, когда я увижу контрпример.

Ладно, давайте не будем спорить о тонких оттенках смыслов слов. Если Вы хотя бы в принципе допускаете возможность существования контрпримера и даже готовы посмотреть на него (прежде, чем "сразу закапывать"), то мне тут нечего возразить.

И с тем, что словосочетание "актуальная бесконечность" можно встретить по большей части в философских сочинениях, т.е. там, где авторы не очень хорошо понимают, какой за этим может стоять математический смысл, я тоже в целом согласен. Но согласитесь, что это - не повод окончательно и бесповоротно утверждать, что математического смысла и не может быть?

[Someone]

epros в сообщении #408575 писал(а):

Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

Я не знаю ответа на вопрос, что такое актуальная и потенциальная бесконечность в математике. Я смотрю на формулировку аксиомы бесконечности в ZFC и на формулировку одной из аксиом Пеано в CRA (конструктивном рекурсивном анализе) и не вижу разницы. То, что Вы, глядя на эти формулы, произносите ещё какие-то слова, к делу не относится. В указанных аксиомах этих слов нет, Вы их добавляете по собственной инициативе, приплетая сюда ещё какие то "потенциальную" и "актуальную" "бесконечности".

Фактически то, что Вы говорите, сводится к одному: "бесконечность" в классической математике Вы называете актуальной, ту же "бесконечность" в конструктивной математике - потенциальной, но объяснить разницу на математическом языке не можете.

Разумеется, я понимаю, что ZFC и CRA имеют разную аксиоматику, причём, различаются не только математические аксиомы, но и логические. Вопрос не об этом. Мы ведь не можем сравнивать объекты, определяемые в разных теориях. Чтобы понять различие между потенциальной и актуальной бесконечностями, надо чётко сформулировать что это такое, причём, в рамках одной аксиоматики. Про классическую математику Вы уже сказали, что в ней это невозможно. Я жду, что Вы сформулируете требуемые определения в терминах конструктивной математики. В таком стиле:
"множество $A$ называется актуально бесконечным, если...";
"множество $B$ называется потенциально бесконечным, если...".
На формальном языке.
Аксиома бесконечности на такую роль не годится, это не определение, а утверждение о существовании некоторого объекта.

epros в сообщении #408575 писал(а):

Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.

Интерпретация теории всегда лежит вне самой теории. Да, некоторые теории имеют "стандартные" интерпретации. Но это не означает, что у этих теорий нет других интерпретаций, или что доказуемость какого-то утверждения зависит от интерпретации теории.

epros в сообщении #408527 писал(а):

"Потенциальная" может подразумевать "теоретически допустимая", но такая, действительное существование ("актуальность") которой мы не берёмся утверждать.

Вы здесь, по-моему, пытаетесь подменить смысл терминов. Причём, неудачно, потому что это не поможет Вам выбраться из тупика. Наоборот, создаст проблемы.

epros в сообщении #408575 писал(а):

Во-первых, утверждение о существовании данного объекта - это действительно существенное различие.
Во-вторых, этот "конкретный конструктивно определённый объект" существует в каком угодно смысле, только не в смысле самой арифметики натуральных чисел.

Оба объекта "существуют" в одном и том же смысле, в каком "существуют" все прочие математические объекты - как логические конструкции, и не более того.
Объект $\mathscr N$ (натуральный ряд), упоминаемый в конструктивистском варианте аксиомы Пеано, существует вовсе не в смысле "не может не существовать". Он явно конструктивно определён. Существуют алгоритмы, распознающие и перечисляющие его элементы, а также элементы его дополнения, то есть, с конструктивной точки зрения - это очень хороший объект. В конструктивной математике есть гораздо "худшие" объекты.
"Существует" ли натуральный ряд в смысле "самой арифметики натуральных чисел", не имеет значения. Но обсуждаемый с Вашей подачи CRA - не арифметика. В нём, помимо арифметики, ещё много чего есть. В частности, есть натуральный ряд как конструктивно определённый объект.

epros в сообщении #408600 писал(а):

Насколько я знаю, конструктивисты большей частью разделяются на тех, кто принимает теорию множеств в некой сокращённой форме (но с аксиомой бесконечности), не слишком заботясь о BHK-интерпретации, и на тех, кто предпочитает обходиться без аксиомы бесконечности как таковой.

Странно, что основоположники CRA, придерживаясь BHK-интерпретации, не стеснялись обсуждать всевозможные бесконечные множества, изучая их структуру с конструктивной точки зрения. Вы же это всё напрочь отрицаете. Поэтому я и говорю, что Вы стремитесь быть более правоверным католиком, чем Папа Римский.

[epros]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #408696 писал(а):

epros в сообщении #408575 писал(а):

Зачем задавать вопросы, на которые знаете ответы?

Я не знаю ответа на вопрос, что такое актуальная и потенциальная бесконечность в математике.

Не лукавьте. Тот вопрос был про формулировку аксиомы бесконечности. И Вы заведомо знали на него ответ. И даже знали, что я имею в виду именно эту формулировку, а не что-то иное. Предлагаю далее не развивать офтопик.

Someone в сообщении #408696 писал(а):

объяснить разницу на математическом языке не можете.

Внимательнее прочитайте мой предыдущий ответ Вам.

Someone в сообщении #408696 писал(а):

Чтобы понять различие между потенциальной и актуальной бесконечностями, надо чётко сформулировать что это такое, причём, в рамках одной аксиоматики. Про классическую математику Вы уже сказали, что в ней это невозможно. Я жду, что Вы сформулируете требуемые определения в терминах конструктивной математики. В таком стиле:
"множество $A$ называется актуально бесконечным, если...";
"множество $B$ называется потенциально бесконечным, если...".
На формальном языке.

Внимательнее прочитайте мой предыдущий ответ Вам. Там речь была о том, что существование объектов (в том числе, "бесконечного множества") можно утверждать "потенциально" ($\neg \neg \exists x ~ \varphi(x)$) и "актуально" ($\exists x ~ \varphi(x)$). Разумеется, с точки зрения классической логики различия исчезают. Но в конструктивной логике они остаются. И это сформулировано вполне "на математическом языке".

Someone в сообщении #408696 писал(а):

Аксиома бесконечности на такую роль не годится, это не определение, а утверждение о существовании некоторого объекта.

А я и не утверждал, что существует определение объекта "потенциальная бесконечность", отличного от объекта "актуальная бесконечность", но при этом существующего в классическом смысле. Речь была о том, что "потенциальная бесконечность" - это бесконечность, существующая в другом смысле (потенциально).

Someone в сообщении #408696 писал(а):

epros в сообщении #408575 писал(а):

Это действительно "интерпретации", но из которых следуют различия в подходах к основаниям математики. И эти различия (например, в применяемой логике) пока никуда не исчезли.

Интерпретация теории всегда лежит вне самой теории. Да, некоторые теории имеют "стандартные" интерпретации. Но это не означает, что у этих теорий нет других интерпретаций, или что доказуемость какого-то утверждения зависит от интерпретации теории.

Неважно, где лежат интерпретации. Речь была о том, что различия в интерпретации понятия существования (как раз и навсегда заданного в некоем идеальном мире - с точки зрения классических представлений, или как построенного в некоторой предметной модели - с точки зрения конструктивизма) приводят к различиям в логике. Т.е. их нельзя считать существующими только на словах и исчезающими при математической формализации.

Someone в сообщении #408696 писал(а):

epros в сообщении #408527 писал(а):

"Потенциальная" может подразумевать "теоретически допустимая", но такая, действительное существование ("актуальность") которой мы не берёмся утверждать.

Вы здесь, по-моему, пытаетесь подменить смысл терминов. Причём, неудачно, потому что это не поможет Вам выбраться из тупика. Наоборот, создаст проблемы.

А по-моему это как раз соответствует изначальному смыслу понятий "потенциальная" и "актуальная". Вспомним наиболее известный общественности пример "потенциальной энергии": Я не вижу здесь явного указания на зависимость от времени (хотя в физике время как раз присутствует везде и всюду), зато очевидным образом подразумевается "теоретическая возможность" реализации этой самой потенциальной энергии в форме чего-то реально наблюдаемого - движения. Кстати, буквальный перевод potential с английского: "возможный", "перспективный", "вероятный". С понятием "актуального", по-моему, аналогично: В первую очередь оно подразумевает "наличное", "подлинное", "действительное", "фактически существующее" (буквальный перевод actual с английского). Да, в определённом контексте и потенциальность, и актуальность могут подразумевать зависимость от времени, но лишь в связи с тем, что наши представления могут меняться со временем.

Someone в сообщении #408696 писал(а):

"Существует" ли натуральный ряд в смысле "самой арифметики натуральных чисел", не имеет значения. Но обсуждаемый с Вашей подачи CRA - не арифметика. В нём, помимо арифметики, ещё много чего есть. В частности, есть натуральный ряд как конструктивно определённый объект.

Что относить к сфере конструктивного анализа - вопрос неоднозначный. Есть такие направления, которые признают аксиому бесконечности, а есть такие, которые стараются обойтись без неё. С моей точки зрения у первых - серьёзные проблемы с BHK-интерпретацией, ибо, при всей "хорошей определённости" (в тех или иных смыслах) множества $\mathbb{N}$, построенного примера данного объекта (как того требует BHK-интерпретация существования) никто пока что не представил.

Someone в сообщении #408696 писал(а):

Странно, что основоположники CRA, придерживаясь BHK-интерпретации, не стеснялись обсуждать всевозможные бесконечные множества, изучая их структуру с конструктивной точки зрения. Вы же это всё напрочь отрицаете. Поэтому я и говорю, что Вы стремитесь быть более правоверным католиком, чем Папа Римский.

Вы не совсем верно оцениваете мою позицию. Я вовсе не отказываюсь "обсуждать всевозможные бесконечные множества" и "изучать их структуру с конструктивной точки зрения". Я всего лишь воздерживаюсь от того, чтобы утверждать их существование (в смысле BHK-интерпретации, т.е. "актуально"). Я, например, не вижу ничего страшного в том, чтобы обуждать $\mathbb{N}$, понимая под этим алгоритм генерации натуральных чисел (как строк вертикальных чёрточек или в любом другом представлении). Однако я призываю не забывать, что алоритм - это не только код, но и способ его выполнения. Если код можно записать на бумажке и положить на стол, то со способом его выполнения такого проделать нельзя. Чувствуете разницу? Число 3 можно записать на бумажке и положить на стол, а если мы попытаемся проделать то же самое с объектом $\mathbb{N}$, например, записав на бумажке код соответствующего алгоритма, то обнаружим, что чего-то всё же не хватает.