2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #410171 писал(а):
и т.д.
Это как раз понятно. А бесконечные последовательности в каком порядке идут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:16 


19/11/08
347
Xaositect в сообщении #410176 писал(а):
Андрей АK в сообщении #410171 писал(а):
и т.д.
Это как раз понятно. А бесконечные последовательности в каком порядке идут?

Бесконечных последовательностей там как раз и нет.
Но диагональ то все равно можно получить - это будет 0.(1) = 1
Единица не входит в отрезок между нулем и единицей (не включая).
Т.е. диагональ кантора пытается всучить нам заведомо не входящее в исследуемое множество число (туфту).
Это число и не должно там присутствовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Так.
Если там нет последовательности, соответствующей числу $0.10101010101010....$, то Вы не пересчитали все числа, и никакого противоречия с утверждением о том, что континуум больше счетного, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:30 


19/11/08
347
Xaositect в сообщении #410183 писал(а):
Так.
Если там нет последовательности, соответствующей числу $0.10101010101010....$, то Вы не пересчитали все числа, и никакого противоречия с утверждением о том, что континуум больше счетного, нет.

Да, но это число вы получили не при помощи диагонали Кантора, а взяли с потолка.
А где доказательство, что его нет в нашей последовательности?
Может там есть другое число< настолько же близкое к $0.10101010101010....$ ,как 0.(1) к 1, что их можно считать одним и тем же числом.
И кроме того, это число (1/3) есть во множестве всех комбинаций нулей и единиц построенном на позициях целых чисел.
А чем отличается множество всех чисел вида:
$0.10101010101010....$
От множества всех чисел вида:
$...010101010101010.10101010101010....$
?
Только тем, что у одного - количество знаков - целое число, а у другого - количество знаков - натуральное число.
Разве может такое быть, что у одного количество членов - счетное, а у другого - несчетное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Может и есть. Докажите.
Вы не понимаете, что диагональ работает только в том случае, когда там есть все числа. Диагональ доказывает, что либо перечисляющая таблица будет неполной, либо внутренне противоречивой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:45 


19/11/08
347
Ладно, я согласен, что натуральными числами не пересчитаешь все бесконечные комбинации нулей и единиц.
Для этого надо привлечь еще и бесконечно большие числа (а они в натуральные не входят).
Но речь то идет о диагональном методе!
Вот я предложил ,пусть неправильный, метод нумерации действительных чисел и утверждаю, что все числа пронумерованы.
У вас есть диагональный метод.
Вы его применяете к моему способу сортировки ... и получаете число, которое в мой список и не должно было войти.
Получается конфуз.
Вы не смогли ,при помощи диагонального метода, разоблачить заведомо неправильный пересчет чисел.
Где гарантия, что диагональ Кантора и в других случаях не действует точно так же топорно?
Если алгоритм не срабатывает на контрольном примере - то этот алгоритм считается ошибочным.
Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Xaositect в сообщении #410168 писал(а):
Как у Вас формально лексикографическое упорядочение вводится-то? Я что-то не соображу, как его можно естественным образом на бесконечные последовательности перенести.
Эх, подловили таки :-(

Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 17:53 


19/11/08
347
epros в сообщении #410198 писал(а):
Xaositect в сообщении #410168 писал(а):
Как у Вас формально лексикографическое упорядочение вводится-то? Я что-то не соображу, как его можно естественным образом на бесконечные последовательности перенести.
Эх, подловили таки :-(

Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер". :-)

Можно просто инвертировать запись числа, прибавлять к нему единицу - формально можно единицу прибавлять и к бесконечно большому числу - и инвертировать в обратном порядке.
Вот вам и способ получения следующего (или предыдущего если отнимать единицу) числа.
Или прибавлять единицу к первому разряду, но знак переноса будет идти не влево, а вправо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
epros в сообщении #410198 писал(а):
Ну ладно, не отношение порядка, а хотя бы инкремент для бинарной последовательности можем определить? Типа того, что первый нуль становится единицей, а все предшествующие ему единицы - нулями? Если не находим такого номера разряда, который равен нулю, то будем считать, что ... ну ... первый нуль в последовательности имеет "нестандартный номер".
что-то мне тут не нравится, не пойму что... тут точно две последовательности не могут одинаковый инкремент давать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 20:15 


27/08/06
579
Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):
Но речь то идет о диагональном методе!

А что тут в "диагональном методе"? Диагональный метод - это просто один из методов, вы можете спокойно построить число, и не диагональным методом которое также в списке лежать не будет. Для этого просто выбирайте разряды не по порядку, а произвольным образом. Скажем: в первом числе выберете произвольный разряд за номером n, и в своем "строящемся числе" - на n- месте, поставьте все что угодно отличное от того, что стоит на том же месте у первого числа. Точно также и во втором, и в третьем, только нужно следить за тем, чтобы дважды не выбрать один разряд. И все. ТАких чисел между прочим: не счетно.
Потому что биективный отображений N в себя - не счетно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение07.02.2011, 22:29 


19/11/08
347
Dialectic в сообщении #410248 писал(а):
Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):
Но речь то идет о диагональном методе!

А что тут в "диагональном методе"? Диагональный метод - это просто один из методов, вы можете спокойно построить число, и не диагональным методом которое также в списке лежать не будет. Для этого просто выбирайте разряды не по порядку, а произвольным образом. Скажем: в первом числе выберете произвольный разряд за номером n, и в своем "строящемся числе" - на n- месте, поставьте все что угодно отличное от того, что стоит на том же месте у первого числа. Точно также и во втором, и в третьем, только нужно следить за тем, чтобы дважды не выбрать один разряд. И все. ТАких чисел между прочим: не счетно.
Потому что биективный отображений N в себя - не счетно.

Давайте ,для эксперимента, включим первым числом в списке единицу:
$1.00000...$
$0.00000...$
$0.10000...$
$0.01000...$
$0.11000...$
И применим один из диагональных методов , а именно - стандартный.
Он нам даст все то же число:$0.11111...$
Но ведь это единица!
И она есть в списке!
Стоит под номером один.
А диагональный метод говорит что нет!
Кому верить?
Методу или собственным глазам?
Где гарантия, что какой либо другой вариант диагонального метода не обманет точно так же как этот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение08.02.2011, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17749
Москва
Андрей АK в сообщении #410311 писал(а):
Давайте ,для эксперимента, включим первым числом в списке единицу:
$1.00000...$
$0.00000...$
$0.10000...$
$0.01000...$
$0.11000...$
И применим один из диагональных методов , а именно - стандартный.
Он нам даст все то же число:$0.11111...$
Но ведь это единица!
И она есть в списке!

Вы просто некорректно применяете диагональный метод.
Общеизвестно, что некоторые рациональные числа в $n$-ичной системе счисления имеют две записи, одна из которых оканчивается бесконечной последовательностью нулей, другая - бесконечной последовательностью цифр $n-1$. Если Вы включили в свой список одну из этих записей, то беззаботно применённый диагональный метод вполне может дать другую запись или дать число, находящееся вне того интервала, в котором Вы это число хотите получить. Поэтому при построении диагонали нужно позаботиться, чтобы этого не произошло.
В частности, в любой системе счисления мы можем получить число, не принадлежащее нашему списку и лежащее в интервале $(0,1)$, если будем действовать так: цифры, стоящие в записи после запятой, рассматриваем не по одной, а парами; если в первом элементе списка первая пара цифр есть $10$, то в том числе, которое мы строим, пишем $01$, если же указанная пара не есть $10$, то пишем $10$; далее таким же способом определяем вторую пару цифр нашего числа по второй паре цифр второго числа, третью пару цифр - по третьей паре цифр третьего числа, и так далее.

Другой способ избежать первой проблемы состоит в том, чтобы для чисел, имеющих две записи, включать в список обе записи.
Второй проблемы можно избежать, просто задав некоторое количество цифр так, чтобы построенное число заведомо попало в нужный интервал, и уже для последующих цифр использовать диагональный метод.

Андрей АK в сообщении #410201 писал(а):
Можно просто инвертировать запись числа, прибавлять к нему единицу - формально можно единицу прибавлять и к бесконечно большому числу - и инвертировать в обратном порядке.

Извините, такие вещи для чисел с бесконечной записью надо аккуратно определять, у Вас же только "бла-бла-бла...". То же касается и Вашего "замыкания бесконечности".

Андрей АK в сообщении #410195 писал(а):
Ладно, я согласен, что натуральными числами не пересчитаешь все бесконечные комбинации нулей и единиц.
Для этого надо привлечь еще и бесконечно большие числа (а они в натуральные не входят).

Не говоря уже о том, что Вы эти "бесконечные числа" вразумительно не определили. Кроме того, по определению счётного множества нумеровать нужно именно натуральными числами, а не чем-либо ещё, и хорошо, что Вы это понимаете (правда, непонятно, чего Вы хотите добиться нетривиального, изобретая всякие "бесконечные числа" и "замыкания бесконечности").

Андрей АK в сообщении #410185 писал(а):
Да, но это число вы получили не при помощи диагонали Кантора, а взяли с потолка.

Вообще-то, Кантор не применял этот метод для доказательства несчётности множества действительных чисел.

Георг Кантор. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985.

В этом сборнике статья 1.2 называется "Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел". Параграф 2 содержит доказательство следующего утверждения
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин
$$\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_{\nu},\ldots\text{,}\eqno{(4)}$$то во всяком заданном интервале $(\alpha\ldots\beta)$ можно определить число $\eta$ (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4).

Никакого диагонального метода он в этом доказательстве не использует. Потом в статье 1.5.1 Кантор несколько усовершенствует это доказательство, но также никакого диагонального метода не использует.

Диагональный метод появляется в статье 1.9, которая называется "Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях". Здесь он применяется для доказательства несчётности множества двоичных последовательностей (отсюда, кстати, легко следует несчётность множества действительных чисел, и Кантор это упоминает) и для доказательства того, что для всякого множества $L$ мощность множества определённых на нём функций, принимающих только значения $0$ и $1$, больше мощности самого множества $L$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение08.02.2011, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Xaositect в сообщении #410209 писал(а):
что-то мне тут не нравится, не пойму что... тут точно две последовательности не могут одинаковый инкремент давать?
Вроде не могут, для этого они должны быть равны. Очевидная проблема только с числом $0.(1)$, для инкремента которого приходится привлекать "разряды с нестандартным номером". А это порождает проблему, что дальше делать с такими разрядами. Например, можно для наглядности ставить их перед десятичной точной, т.е. положить, что $0.(1) + 0.1(0) = 1.(0)$.

Можем быть таким образом даже удастся явно построить нестандартную модель натуральных чисел, имеющую мощность континуума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение08.02.2011, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Если не учитывать этого переноса и считать $\dots 1111 + 1 = 0$, то получается кольцо целых $2$-адических чисел.
А если учитывать, то надо как-то с этим $1.(0)$ дальше тоже уметь работать... Соотвестственно, минимальная такая структура получается вроде бы $\omega\times 2^{\mathbb{N}}$, где $2^{\mathbb{N}}$ - множество двоичных последовательностей с таким вот инкрементом. Будет ли эта штука моделью арифметики - надо думать.

-- Вт фев 08, 2011 13:06:36 --

По сути, мы имеем множество пар $(n,x)$, где $n$-натуральное число, а $x$ - 2-адическое целое, и правило $S(n,x) = \begin{cases}(n,x+1), x\neq -1\\(n+1,0),x=-1\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дайте рецензию на работу Зенкина
Сообщение10.02.2011, 03:29 


05/01/11
13
В.О. в сообщении #409629 писал(а):
Все это правильно, но, как уже замечено, совершенно банально и никому не интересно.

Это здорово, когда человеку все уже ясно и понятно, а потому кажется банальным и неинтересным. Тяжелее тем, кому НЕЯСНО и НЕПОНЯТНО, ТО, ЧТО другим УЖЕ давно ЯСНО и ПОНЯТНО . Если бы люди не интересовались банальным, то не было бы результатов Коперника, Ньютона, Лобачевского, Канта, Больцмана, Эйтштейна, Бора да еще многих десятков других. Но это к слову.

Теперь по существу. С этим я обращаюсь ко всем участникам данного топика.
Господа форумчане! Отвлекитесь на время от всех ваших формализмов и мат.логик.
Два столбца десятичных чисел, которые были приведены выше показывают только коллизию между алгеброй и геометрией. Диагональ "убегает" с каждым (почти)шагом на "клеточку" дальше от последней значащей цифры. Если изпользовать известный принцип построения диагонального элемента, то мы получим элемент, который уже ВЫПИСАН - его номер: 000...000, он стоит самым первым в правой колонке сверху.(Как вы, конечно, уже поняли, каждый десятичный элемент в колонке имеет свой уникальный номер - переставьте все его значащие цифры в противоположном порядке). Налицо ПАРАДОКС. Пример с Ахиллом и черепахой не зря приводился. Одной только мат.логики или "формализмов" в том виде, который используется или у "классиков" или у интуиционистов НЕДОСТАТОЧНО. Это парадокс другого уровня - между двумя разделами математики.
Существует разница между системой зарубок Робинзона для учета натуральных чисел и системой десятичных чисел. Они эквивалентны в одном, но принципиально различаются в другом. ("Зарубки" Пеано, или фон Неймана и пр. являются робинзоноподобными). Десятичное счисление имеет уникальный механизм, отличный от всех робинзоноподобных. Двоичное тоже уникально (т.е. отлично и от десятичного)
Учет этого механизма относительно "пифагоровых штанов" и приводит к парадоксу.Робинзоноподобные системы с каждым шагом получают однозначное расширение: все подмножества будут содержаться во вновь полученном (отвлекитесь от "лжецов" и "расселов"- речь идет только об отличиях). В десятичном, двоичном и ... счислениях соотношение между расширением множества (а на каждом шаге мы получаем новое множество) и его полнотой иное. Замыкающим элементом полного множества всех чисел, состоящего из 1,2,3,... цифр (и менее) будет 0,9;0,99;0,999 .....
Так множество всех чисел, содержащих не более трех цифр, будет составлять ряд от 0,0 и до 0,999 (заметьте: ровно 1000 членов). Выражаясь языком физиков, полнота множества десятичных дробных (и целых тоже) чисел "квантуема"(1,10,100,1000... членов - этот ряд, но не количество в нем, один и тот же для двоичного, троичного и т.д. счислений).
И последнее. Понятно, что здесь речь идет не о критике континуум - гипотезы, а о диагональном методе в классическом варианте.

-- Чт фев 10, 2011 03:44:14 --

Someone в сообщении #410375 писал(а):
Георг Кантор. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985.

В этом сборнике статья 1.2 называется "Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел". Параграф 2 содержит доказательство следующего утверждения
Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга величин
то во всяком заданном интервале можно определить число (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4).

Это не выдерживает критики. Как только Вы (или Кантор) поставите многоточие после последнего члена, сразу обратитесь к конкретному приведенному Вашим покорным слугой примеру "бесконечной последовательности отличных друг от друга величин" и покажите в каком интервале и какое число (пусть не множество, а хотя бы одно) пропущено.
Поэтому не правомерно (не корректно) делать утверждение о всяком интервале в совокупности с формулировкой "по какому-нибудь закону" да еще обобщать на всякие величины и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 114 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group