Несколько вопросов по топологии

[paha]

Александр Т. в сообщении #385977 писал(а):

Пожалуй, тут необходимо определиться с терминами

под сферой (поверхностью, окружностью) в $\mathbb{R}^n$ всегда понимается вложенная сфера (поверхность, окружность)

То, что имеете ввиду Вы, обычно называют "стандартно вложенной сферой" (с точностью до изометрии $\mathbb{R}^n$). Она всегда лежит в линейном подпространстве на единичку больше своей размерности.
Даже такие стандартно вложенные сферу и окружность нельзя расцепить.

Вот давайте в $\mathbb{R}^4$ рассмотрим сферу $x^2+y^2+z^2=1$, $t=0$
и окружность $(x-1)^2+t^2=1$, $z=y=0$.
Их нельзя "расцепить".
Доказательство. Натянем на поверхность "плоскую" пленку $(x-1)^2+t^2\le 1$, $z=y=0$ и найдем точки пересечения этой пленки со сферой. Решая систему уравнений и неравенств, получим точку
$(1,0,0,0)$. При деформации пленки (с неподвижной граничной окружностью) число общих точек пленки и сферы всегда будет нечетным -- это следует из того, что точки пересечения рождаются и умирают парами. Таким образом исходная окружность не гомологична нулю в дополнении сферы и уж тем более не стягиваема.

-- Сб дек 11, 2010 00:24:33 --

paha в сообщении #385823 писал(а):

есть заузленные 2-сферы, их дополнение неодносвязно

собственно, выше я доказал, что и стандартное "круглое" вложение сферы в $\mathbb{R}^4$ связно, но не односвязно

[Padawan]

Можно за любую замкнутую двумерную поверхность зацепить окружность. Просто надо взять её очень маленькой. Получается такая серёжка на поверхности.

[paha]

Padawan в сообщении #386034 писал(а):

Просто надо взять её очень маленькой.

ну, это не обязательно:) можно и сколь угодно большого радиуса

[Bulinator]

Из последнего спора с Munin-ом в этом топике у меня возник (может быть глупый но) вопрос.
Имеется некоторое многообразие $M$. На какой-то карте его координаты- $q$.
$T*M$ тоже многообразие с координатами $(q,p)$, с кол-вом $p$ равным $q$.
Собственно, вопрос:
$T*(T*M)$- это что-то обозримое, или как? Просто я думаю, что оно будет параметризовываться координатами $q,p$, потом еще раз $p$, которые возникают от $dq$ и плюс какими-то координатами $z$, которые возникают от $dp$. Иными словами, координатами на T(T*M) будут $n$ координат конфигурационного многообразия $q$, скорости $\frac{dq}{dt}$, импульсы $p$ и производные импульсов $\frac{dp}{dt}$.

[Munin]

paha в сообщении #385998 писал(а):

То, что имеете ввиду Вы, обычно называют "стандартно вложенной сферой" (с точностью до изометрии $\mathbb{R}^n$). Она всегда лежит в линейном подпространстве на единичку больше своей размерности.
Даже такие стандартно вложенные сферу и окружность нельзя расцепить.

Вот давайте в $\mathbb{R}^4$ рассмотрим сферу $x^2+y^2+z^2=1$, $t=0$
и окружность $(x-1)^2+t^2=1$, $z=y=0$.
Их нельзя "расцепить".
Доказательство. Натянем на поверхность "плоскую" пленку $(x-1)^2+t^2\le 1$, $z=y=0$ и найдем точки пересечения этой пленки со сферой. Решая систему уравнений и неравенств, получим точку
$(1,0,0,0)$. При деформации пленки (с неподвижной граничной окружностью) число общих точек пленки и сферы всегда будет нечетным -- это следует из того, что точки пересечения рождаются и умирают парами. Таким образом исходная окружность не гомологична нулю в дополнении сферы и уж тем более не стягиваема.

Я вижу здесь пробел. Легко создать континуум точек пересечения, чтобы плёнка и сфера пересекались по некоторой линии, если в малой окрестности точки пересечения они лежат в общем подпространстве. Но наверное, это не меняет истинности доказываемого факта, а только удлиняет и усложняет доказательство, потому что такая линия пересечения тоже будет стягиваема, как и пара точек.

-- 11.12.2010 12:01:36 --

Bulinator
Если вы про касательное расслоение (я привык видеть его обозначенным $TM$, а смысла звёздочки здесь не понимаю), то, вроде бы, $T(TM)$ и вообще $T^nM$ имеют довольно простую структуру и неинтересно устроены. Из-за того, что каждый касательный слой - это всего лишь векторное пространство.

[paha]

Munin в сообщении #386059 писал(а):

Легко создать континуум точек пересечения

но этот континуум будет неустойчивым -- произвольным шевелением пленки точек пересечения опять становится конечное число:) И при деформации пленки таких плохих пересечений всегда можно избежать

Munin в сообщении #386059 писал(а):

Если вы про касательное расслоение

вероятно имелось ввиду, что импульсы -- это координаты слоя в кокасательном расслоении $T^*M$

-- Сб дек 11, 2010 12:15:35 --

Bulinator в сообщении #386043 писал(а):

$T*(T*M)$- это что-то обозримое, или как?

Вы, вероятно, имели ввиду $T^*(T^*M)$. Оно, разумеется, есть в любой книге что по механике, что по дифгеометрии. Сечения этого расслоения -- формы на $T^*M$, которые в локальных координатах имеют вид $adq+bdp$ (т.к. на $T^*M$ координатами являются $(p,q)$). Почти там же живет каноническая симплектическая форма.

[Munin]

paha в сообщении #386061 писал(а):

вероятно имелось ввиду, что импульсы -- это координаты слоя в кокасательном расслоении $T^*M$

Чёрт. Я должен был понять.

paha в сообщении #386061 писал(а):

но этот континуум будет неустойчивым -- произвольным шевелением пленки точек пересечения опять становится конечное число:)

Ну да. Но разве доказательству позволено обходить такие случаи? Может, как раз через такие неустойчивые конфигурации и можно снять кольцо со сферы?

[paha]

Munin в сообщении #386074 писал(а):

Ну да. Но разве доказательству позволено обходить такие случаи? Может, как раз через такие неустойчивые конфигурации и можно снять кольцо со сферы?

доказательство не игнорирует такие конфигурации:) я дал набросок

(Оффтоп)

дело в том, что "неустойчивые конфигурации" настолько редки, что "множество конфигураций с конечным числом точек пересечения" линейно связно, поэтому можно такие случаи не учитывать (tags: теорема Сарда, гомотопическая инвариантность, теорема Тома о трансверсальности)

[Munin]

paha в сообщении #386093 писал(а):

дело в том, что "неустойчивые конфигурации" настолько редки, что "множество конфигураций с конечным числом точек пересечения" линейно связно

О. Круто. Ну тогда да.

(Заделали дырку ссылкой на ряд гораздо более крутых результатов :-) )

[paha]

Munin в сообщении #386099 писал(а):

Заделали дырку ссылкой на ряд гораздо более крутых результатов

ну, результаты на уровне 2-3 курса университета:)

Милнору понадобилось 10 страниц учебника чтобы корректно все обосновать. И учебник легко читаемый.

[Bulinator]

(Оффтоп)

paha в сообщении #386104 писал(а):

ну, результаты на уровне 2-3 курса университета:)

Это смотря какого. Топология и дифгеометрия в наш курс не входят, ибо все преподы либо вымерли, либо уехали на запад((((((
Вот мне и приходится теперь по книжкам учить и на форуме вопросы задавать.

[Александр Т.]

paha в сообщении #385998 писал(а):

Александр Т. в сообщении #385977 писал(а):

Пожалуй, тут необходимо определиться с терминами

...
То, что имеете ввиду Вы, обычно называют "стандартно вложенной сферой" (с точностью до изометрии $\mathbb{R}^n$). Она всегда лежит в линейном подпространстве на единичку больше своей размерности.
Даже такие стандартно вложенные сферу и окружность нельзя расцепить.

То, что в $\mathbb{R}^4$ существуют такие стандартно вложенные сферы и окружности, которых нельзя расцепить, я понял (точнее, "увидел"), когда прочитал Ваше сообщение.

Цитата:

Вот давайте в $\mathbb{R}^4$ рассмотрим сферу $x^2+y^2+z^2=1$, $t=0$
и окружность $(x-1)^2+t^2=1$, $z=y=0$.
Их нельзя "расцепить".

Мне это кажется очевидным.

Цитата:

Доказательство. ...

Поскольку я с терминологией не знаком, я это доказательство даже и не особенно пытался понять. Вдобавок Вы сами согласились, что это — только набросок доказательства.

Ну, впрочем я, вроде бы, сам себе показал, что "типов взаимного расположения" двумерной сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$ всего пять. А именно, окружность может лежать на сфере, сфера и окружность могут пересекаться (иметь две общие точки), могут касаться друг друга (иметь одну общую точку), могут быть сцеплены и могут быть расцелены. И, вроде, все.

Приведу здесь это показательство на тот случай, что найдется желающий с ним взыскательно ознакомиться. Я буду использовать ту систему понятий, которая используется в школьной стереометрии (в колмогоровском варианте). Далее я буду называть трехмерные пространства, стандартно вложенные в $\mathbb{R}^4$ просто пространствами, а двумерные сферы — 2-сферами (поскольку в $\mathbb{R}^4$ могут быть трехмерные сферы), двумерные пространства — плоскостями, одномерные сферы — окружностями.

Окружность и 2-сфера могут находиться либо в одном том пространстве, либо в разных. Пусть они находятся в одном пространстве. Тогда их взаимное расположение может быть такое же как и в $\mathbb{R}^3$, т.е. они могут пересекаться, касаться, быть расцеплены, а также окружность может лежать на 2-сфере. (Существенное для $\mathbb{R}^3$ различие, когда окружность находится внутри или вне сферы, исчезает в $\mathbb{R}^4$, т.к. там окружность из 2-сферы можно "вытащить", перемещая ее как твердое тело.) Далее, отметив, что пересечением 2-сферы с пространством, не совпадающим с пространством, в котором лежит 2-сфера, и проходящим через ее центр, всегда является окружность с тем же центром и таким же радиусом, рассмотрим случай, когда 2-сфера и окружность принадлежат разным пространствам. Построим пространство, проходящее через центр 2-сферы и содержащее плоскость, в которой лежит окружность. Рассмотрим в этом пространстве взаимное расположение исходной окружности и той окружности, которая является пересечением построенного пространства с 2-сферой. Эти окружности могут касаться и быть либо сцепленными, либо расцепленными (совпадать или пересекаться они не могут, т.к. лежат в разных плоскостях). Очевидно (для меня, по крайней мере), что этим взаимным положениям окружностей в построенном пространстве соответствуют следующие взаимные положения 2-сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$: 2-сфера и окружность касаются друг друга, являются либо сцепленными, либо расцепленными. Все. Рассмотрены все возможные взаимные положения 2-сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$.

[Padawan]

А две 2-сферы в $\mathbb R^4$ можно зацепить?

-- Сб дек 11, 2010 21:59:34 --

вторую гомотопическую группу $\pi_2(\mathbb R^4\setminus S^2)$ надо считать.

[paha]

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

Окружность и 2-сфера могут находиться либо в одном том пространстве, либо в разных

в "разных" (непересекающихся) они не могут нходитсья -- размерности 4 не хватает

-- Сб дек 11, 2010 20:07:46 --

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

Пусть они находятся в одном пространстве. Тогда их взаимное расположение может быть такое же как и в $\mathbb{R}^3$

должно быть такое же

-- Сб дек 11, 2010 20:11:29 --

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

Построим пространство, проходящее через центр 2-сферы и содержащее плоскость, в которой лежит окружность. Рассмотрим в этом пространстве взаимное расположение исходной окружности и той окружности, которая является пересечением построенного пространства с 2-сферой. Эти окружности могут касаться и быть либо сцепленными, либо расцепленными (совпадать или пересекаться они не могут, т.к. лежат в разных плоскостях). Очевидно (для меня, по крайней мере), что этим взаимным положениям окружностей в построенном пространстве соответствуют следующие взаимные положения 2-сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$: 2-сфера и окружность касаются друг друга, являются либо сцепленными, либо расцепленными. Все. Рассмотрены все возможные взаимные положения 2-сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$.

это Вы к чему? ко взамному расположению круглых сфер разных размерностей? их же континуально много... или с точностью до чего Вы их рассматриваете?

-- Сб дек 11, 2010 20:13:43 --

Padawan в сообщении #386226 писал(а):

вторую гомотопическую группу $\pi_2(\mathbb R^4\setminus S^2)$ надо считать.

тут уже, кажется, важно как $S^2$ вложено

-- Сб дек 11, 2010 20:24:43 --

[Padawan]

paha в сообщении #386232 писал(а):

Padawan в сообщении #386226 писал(а):

вторую гомотопическую группу $\pi_2(\mathbb R^4\setminus S^2)$ надо считать.

тут уже, кажется, важно как $S^2$ вложено

Хм... стандартно, а то так и в $\mathbb R^3$ за сферу можно окружность зацепить.