Несколько вопросов по топологии

[Munin]

(Оффтоп)

$\mathbb{R}^4$ проще, так что начать надо с него, с аналога школьной стереометрии: как, например, могут быть взаимно расположены прямая и 2-плоскость, две 2-плоскости, прямая и 3-плоскость, 2-плоскость и 3-плоскость? Можно ли расцепить два кольца, которые в 3-мерном пространстве сцеплены? За что можно зацепить кольцо, чтобы его нельзя было отцепить в 4-мерном пространстве? Как выглядит шар, его граница, и её внутренняя геометрия? Со всеми подобными вопросами надо наиграться вдоволь. (Я не упоминаю вопросов типа как выглядят платоновы тела и замощения пространства, потому что они к топологии не имеют уже никакого отношения.) После этого переход к $\mathbb{R}^{1,3}$ весьма прост, тем более что в СТО часто достаточно представлять себе $\mathbb{R}^{1,2}$ или $\mathbb{R}^{1,1},$ а о 4-мерности вспоминать, только когда речь идёт о тензорах-формах или о поверхностях интегрирования - и для этого достаточно $\mathbb{R}^4.$

paha в сообщении #385157 писал(а):

она и на плоскости не всегда работает

Интуиция и не должна работать всегда, иначе бы нам для решения задач рассуждения не требовались. Но интуиция должна знать некоторый типовой набор часто встречающихся задач и их решений, и типовой набор объектов и их свойств. На это её нужно целенаправленно натренировывать.

[Bulinator]

Замечание(Пища для философских размышлений):
траектория частицы- одномерное топологическое пространство. Согласно теореме Уитни, минимальное евклидово пространство, в которое вкладываются все траектории- любимое, родное $\mathbb{R}^3$.

[paha]

Bulinator в сообщении #385342 писал(а):

Замечание(Пища для философских размышлений):
траектория частицы- одномерное топологическое пространство. Согласно теореме Уитни, минимальное евклидово пространство, в которое вкладываются все траектории- любимое, родное $\mathbb{R}^3$.

Вы бы лучше о вложении связного нульмерного многообразия в $\mathbb{R}$ сказали:))

и не перевирайте формулировки без ссылок

[Bulinator]

paha в сообщении #385589 писал(а):

и не перевирайте формулировки без ссылок

Не понял....

[paha]

Bulinator в сообщении #385342 писал(а):

Согласно теореме Уитни, минимальное евклидово пространство, в которое вкладываются все траектории- любимое, родное $\mathbb{R}^3$.

Где и в какой теореме Уитни говорится о "минимальности"???

[Padawan]

Munin в сообщении #385324 писал(а):

$\mathbb{R}^4$ проще, так что начать надо с него, с аналога школьной стереометрии: как, например, могут быть взаимно расположены прямая и 2-плоскость, две 2-плоскости, прямая и 3-плоскость, 2-плоскость и 3-плоскость? Можно ли расцепить два кольца, которые в 3-мерном пространстве сцеплены? За что можно зацепить кольцо, чтобы его нельзя было отцепить в 4-мерном пространстве? Как выглядит шар, его граница, и её внутренняя геометрия? Со всеми подобными вопросами надо наиграться вдоволь.

А можно ли в $\mathbb R^4$ зацепить кольцо за бутылку Клейна? Я думаю, что нельзя.

[paha]

Padawan в сообщении #385715 писал(а):

А можно ли в $\mathbb R^4$ зацепить кольцо за бутылку Клейна? Я думаю, что нельзя.

А знаете, что в $\mathbb{R}^4$ двумерную сферу (сидящую там гомеоморфно) и окружность (тоже сидящую гомеоморфно) не всегда можно "расцепить:)))"

[Bulinator]

paha в сообщении #385678 писал(а):

Где и в какой теореме Уитни говорится о "минимальности"???

Вообще-то, я основывался на Вашем высказывании:

paha в сообщении #381482 писал(а):

все-таки для нормальной жизни в евклидовом пространстве топологическому многообразию (как и гладкому) размерности $n$ нужно $2n+1$ измерение (теорема Уитни)

А вот чейчас читаю в википедии

Wiki писал(а):

The strong Whitney embedding theorem states that any smooth m-dimensional manifold (required also to be Hausdorff and second-countable) can be smoothly embedded in Euclidean 2m-space, if m>0. This is the best linear bound on the smallest-dimensional Euclidean space that all m-dimensional manifolds embed in, as the real projective spaces of dimension m cannot be embedded into Euclidean (2m − 1)-space if m is a power of two (as can be seen from a characteristic class argument, also due to Whitney).

Получается не $2m+1$ а всего лишь $2m$.

[Александр Т.]

paha в сообщении #385728 писал(а):

А знаете, что в $\mathbb{R}^4$ двумерную сферу (сидящую там гомеоморфно) и окружность (тоже сидящую гомеоморфно) не всегда можно "расцепить:)))"

А что значит "можно расцепить"? Это ведь можно понять так, что эти два объекта могут находится в таком "состоянии зацепления", из которого их можно вывести (например, перемещая их как твердые тела в $\mathbb{R}^4$).

По-моему, если они "зацеплены", то "расцепить" их (не выходя за пределы $\mathbb{R}^4$) невозможно. Я — не прав?

[paha]

Bulinator в сообщении #385740 писал(а):

Вообще-то, я основывался на Вашем высказывании:
paha в сообщении #381482 писал(а):
все-таки для нормальной жизни в евклидовом пространстве топологическому многообразию (как и гладкому) размерности $n$ нужно $2n+1$ измерение (теорема Уитни)

я ссылался на теорему, но не цитировал ее
под "нормальной жизнью" я имел ввиду устойчивость к шевелениям:)

Классическая Теорема Уитни о вложениях : Множество вложений $M^n\to\mathbb{R}^{2n+1}$ всюду плотно в пространстве гладких отображений (в соответствующей топологии на пространствах отображений)



Есть другая теорема, которая говорит о существовании вложения $M^n\to\mathbb{R}^{2n}$, но ее значение скорее философское, чем математическое: такие вложения не являются отображениями общего положения.

Вопрос о невложимости проективных пространств рассматривался Уитни в раках совершенно другой задачи.

-- Пт дек 10, 2010 16:31:41 --

Александр Т. в сообщении #385749 писал(а):

А что значит "можно расцепить"?

Гладкие непересекающиеся подмногообразия $M,N\subset\mathbb{R}^4$ не зацеплены (= можно расцепить... это такая вольность речи),
если существует такая вложенная трехмерная сфера $S\subset\mathbb{R}^3$, что $M$ и $N$ содержатся в разных компонентах связности дополнения $\mathbb{R}^4\setminus S$
(это определение не очень классическое и, наверное не очень корректное, но наглядное )

-- Пт дек 10, 2010 16:37:36 --

Александр Т. в сообщении #385749 писал(а):

По-моему, если они "зацеплены", то "расцепить" их (не выходя за пределы $\mathbb{R}^4$) невозможно. Я — не прав?

ну... к двум окружностям в $\mathbb{R}^3$, лежащим в параллельных плоскостях все равно применяется термин зацепление... если угодно: они зацеплены тривиально поэтому "их можно расцепить"... это всё жаргон, вольность речи

[Bulinator]

paha в сообщении #385762 писал(а):

под "нормальной жизнью" я имел ввиду устойчивость к шевелениям:)

Тогда, получается, я сказал неправильно?? Говоря "Минимальное" я, разумеется, имел ввиду с минимальной размерностью. Всмысле, понятно, что $\mathbb{R}^n$ вклажывается в $\mathbb{R}^{n+1}$. Т.е. из всех пространств $\mathbb{R}^n$, самое меньшее $\mathbb{R}^3$ "содержит" всевозможные траектории.

[paha]

Bulinator в сообщении #385779 писал(а):

Тогда, получается, я сказал неправильно??

Вот, что понимается под шевелением: возьмем непрерывное отображение $\gamma: [0,1]\to\mathbb{R}^n$. При $n=3$ существует сколь угодно близкое к $\gamma$ гладкое отображение $\gamma'$, которое является вложением. При $n=2$ это неверно.

[Bulinator]

paha в сообщении #385785 писал(а):

Вот, что понимается под шевелением: возьмем непрерывное отображение $\gamma: [0,1]\to\mathbb{R}^n$. При $n=3$ существует сколь угодно близкое к $\gamma$ гладкое отображение $\gamma'$, которое является вложением. При $n=2$ это неверно.

Т.е. можно сказать больше:
$\mathbb{R}^3$ это минимальное евклидово пространство в котором можно написать принцип наименьшего действия, во всяком случае какой-то общий. Ну чтобы можно было варьировать траектории.


Вернее сказать так:
$\mathbb{R}^3$ - это минимальное евклидово пространство в котором можно поставить задачу о нахождении Лагранжиана, уравнения Эйлера-Лагранжа для которого определяют наперед заданную (любую!) траекторию(при некоторых значениях параметров)!!!

Хотя такая формулировка, хоть и достаточно строга, уже не нескет того смысла, что имела первая.

[Александр Т.]

paha в сообщении #385762 писал(а):

Александр Т. в сообщении #385749 писал(а):

А что значит "можно расцепить"?

"их можно расцепить"... это всё жаргон, вольность речи

Понятно. Спасибо за ответ. А то я было подумал, что в $\mathbb{R}^4$ существует некий новый тип взаимного расположения окружности и двумерной сферы, и силился его себе представить.

[paha]

Александр Т. в сообщении #385791 писал(а):

А то я было подумал, что в $\mathbb{R}^4$ существует некий новый тип взаимного расположения окружности и двумерной сферы, и силился его себе представить.

они там могут быть заузлены, только и всего... так расположены, ни за что не "расцепить"

А какой "старый тип взаимного расположения окружности и двумерной сферы" Вы неявно имели ввиду?-0

-- Пт дек 10, 2010 17:37:16 --

Bulinator в сообщении #385786 писал(а):

$\mathbb{R}^3$ - это минимальное евклидово пространство в котором можно поставить задачу о нахождении Лагранжиана, уравнения Эйлера-Лагранжа для которого определяют наперед заданную (любую!) траекторию(при некоторых значениях параметров)!!!

ничего не понял(((
Лагранжиан же пишут исходя из условий физической задачи, разве нет?