Несколько вопросов по топологии

[Padawan]

Munin в сообщении #380305 писал(а):

paha в сообщении #380292 писал(а):

у де-Рамовских коэффициенты -- поле... и они определены только для многообразийсингулярные и остальные, разумеется, совпадают там, где определены, тут Bulinator правно сингулярные могут быть с любыми коэффициентами и в этом смысле строго сильнее де-Рамовских

А откуда возникает требование, чтобы коэффициенты были полем? Чтобы группой - это я понимаю, а поле?

Де Рамовские когомологии -- это когомологии комплекса дифференциальных форм на многообразии. А дифференциальные формы обычно либо вещественные или комплексные. Про дифференциальные формы над произвольным полем ничего не знаю, это что-то из области алгебраической геометрии.

[Munin]

Мне бы не над произвольным полем, мне бы, скажем, над группой Ли.

-- 25.11.2010 16:23:20 --

А бывают когомологии на расслоениях?

[paha]

гладкое расслоение является многообразием, так что определены↲↲
↲↲только не "над", а "со значениями в"

[Munin]

С коэффициентами в группах Ли. А сами - на многообразиях.

[paha]

хотя, смотря что имеется ввиду

[Munin]

А какие варианты? Я выберу :-)

[paha]

откройте 4 том Постникова там где про калибровочные теории... Может, подойдет

[Munin]

О. Спасибо.

[paha]

конечно, там (де Рамовские) когомологии форм со значениями в алгебре Ли... а группа Ли действует на них присоединенным представлением

[Bulinator]

Господа, проверьте пожалуйста размышления.
Как придти к понятию гомотопии?
Гомотопия функций интуитивно понятна:
Пусть заданы функции $f:M_1\mapsto M_2$ и $g:M_1\mapsto M_2$.



Итак, функции $f$ и $g$ назовем гомотопными, если существует гладкая гомотопия $h_t(x): M_1\times I \mapsto M_2,\quad h_0(x)=f(x),\quad h_1(x)=g(x)$.
А вот множества $A$ и $B$ будут гомотопически эквивалентными. Иными словами, стягивая и растягивая эти множества можно из одного получить другое.

Теперь вопрос:
как обобщить понятие гомотопической эквивалентности без $M_1$ и $M_2$?


Пусть заданы множества $A$ и $B$ и отображения $ f:A\mapsto B,\quad g: B\mapsto A$.


Вместо $M_1$ и $M_2$ можно взять само $B$( или $A$), вместо функции $f$ берем тождественное преобразование а вместо функции $g$ берем композицию $f\circ g$ и возвращаемся к предидущему случаю. А именно:

Отсюда понятно, что если можно подобрать такие $f$ и $g$, чтобы $f\circ g$ было гомотопо $id_B$, то $D$ и $B$ будут гомотопически эквивалентны.

А далшье все. Как отсюда и из соответствующей диграммы где $B$ заменено на $A$ понять, что они гомотопически эквивалентны, т.е. стягивая/растягивая одно можно получить другое?

[Munin]

Вместо $M_1$ можно взять $B$ или $A,$ а вот с $M_2$ вы поторопились. Оно должно быть как минимум объемлющим для $B$ и $A,$ а вообще, предоставлять место ещё и для того, чтобы нарисовать гомотопию.

[paha]

Bulinator в сообщении #380717 писал(а):

Итак, функции $f$ и $g$ назовем гомотопными, если существует гладкая гомотопия $h_t(x): M_1\times I \mapsto M_2,\quad h_0(x)=f(x),\quad h_1(x)=g(x)$.
А вот множества $A$ и $B$ будут гомотопически эквивалентными. Иными словами, стягивая и растягивая эти множества можно из одного получить другое.

Это неправда:)
Отображения (Вы почему-то настойчиво называете их "функциями") $f$ и $g$ гомотопны, а топологические пространства $A=f(M_1)$ и $B=g(M_1)$ -- не являются гомотопически эквивалентными. Они "гомотопны по $C$", если уж на то пошло. Но не гомотопически эквивалентны как топологические пространства в естественной топологии (как подмножества $C$): в качестве примера возьмите $M_1=S^1$, $M_2=\mathbb{C}$, $f(\phi)=e^{i\phi}$, $g(\phi)=0$, $h(t,\phi)=(1-t)e^{i\phi}$.

-- Пт ноя 26, 2010 18:04:02 --

Bulinator в сообщении #380717 писал(а):

Пусть заданы множества $A$ и $B$ и отображения $ f:A\mapsto B,\quad g: B\mapsto A$

не "множества", а топологические пространства!

-- Пт ноя 26, 2010 18:06:36 --

Bulinator в сообщении #380717 писал(а):

Отсюда понятно, что если можно подобрать такие $f$ и $g$, чтобы $f\circ g$ было гомотопо $id_B$, то $D$ и $B$ будут гомотопически эквивалентны.

нет
надо еще чтобы $g\circ f$ было гомотопно ${\rm id}_A$

[Munin]

paha в сообщении #380406 писал(а):

откройте 4 том Постникова там где про калибровочные теории... Может, подойдет

Может, оно и подошло бы, но я обнаружил, что совершенно не могу читать Постникова как учебник, а не как справочник. Он перегружен отступлениями в ненужные мне стороны, и длинными их доказательствами, а к чтению по диагонали текст не приспособлен из-за стиля "сначала долго излагаем, потом изложенное называем определением или теоремой".

Большая просьба, не порекомендуете ли чего-нибудь помягче? Я даже векторных расслоений не усвоил, хотя заметил краем глаза замечательный мостик между тензором кривизны и группой голономий.

[paha]

Munin в сообщении #381197 писал(а):

Большая просьба, не порекомендуете ли чего-нибудь помягче?

ну, попробуйте Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения 1984... это типа справочник... но жесткий)))

-- Вс ноя 28, 2010 01:53:27 --

вообще, наука жесткая... не понимаю, как Белавин, Шварц и Тюпкин придумали там что-то

[Munin]

Спасибо, попробую.

-- 28.11.2010 02:17:01 --

Я правильно понимаю, что (главные?) расслоения сродни накрытиям, а группы голономии - группам монодромии?