Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

И у меня вопрос. Можно ли любое $n$- мерное топологическое пространство считать вложенным в $n+1$-мерное Евклидово пространство?

[paha]

Bulinator в сообщении #381459 писал(а):

Можно ли любое $n$- мерное топологическое пространство считать вложенным в $n+1$-мерное Евклидово пространство?

разумеется, нет

[Bulinator]

paha в сообщении #381468 писал(а):

разумеется, нет

Можете привести пример???

[paha]

bayak в сообщении #381451 писал(а):

$su(2)$ с алгеброй линейных касательных в.п. $S^{3}$ в $R^{4}$, а $su(3)$ с алгеброй линейных касательных в.п. $S^{3}$ в $R^{6}$

Алгебра Ли векторных полей бесконечномерна даже на прямой, в отличии от алгебры левоинвариантных векторных полей на группе Ли, которая таки изоморфна ее алгебре Ли.
С другой стороны алгебра Ли в.п. на многообразии не зависит от того, куда это многообразие вложено (в Вашем примере в $\mathbb{R}^4$ и $\mathbb{R}^6$)

-- Вс ноя 28, 2010 19:34:18 --

Munin в сообщении #381455 писал(а):

Или даже локально тривиальным расслоениям

мы других и не рассматриваем

Munin в сообщении #381455 писал(а):

И тогда группа монодромии аналогична группе голономий?

все-таки такая аналогия, если и есть, то чисто формальная... группа монодромии действует на дискретном пространстве, а группа голономий на линейном

-- Вс ноя 28, 2010 19:36:35 --

Bulinator в сообщении #381469 писал(а):

Можете привести пример???

$\mathbb{R}P^2$ нельзя вложить в $\mathbb{R}^3$

Да и не всякий граф является планарным

[bayak]

paha в сообщении #381471 писал(а):

Алгебра Ли векторных полей бесконечномерна даже на прямой, в отличии от алгебры левоинвариантных векторных полей на группе Ли, которая таки изоморфна ее алгебре Ли.
С другой стороны алгебра Ли в.п. на многообразии не зависит от того, куда это многообразие вложено (в Вашем примере в и )

Вы не заметили уточнение - линейных векторных полей. Что касается вложения, то наверно я некорректно выразился. Возьмём, например, алгебру Ли вращений в $R^{3}$ - разве её нельзя назвать алгеброй Ли линейных касательных векторных полей $S^{1}$ в $R^{3}$? Ведь всякому элементу вращения соответствует векторное поле касательное окружности в каждой точке $R^{3}$ (кроме оси вращения).

[paha]

bayak в сообщении #381477 писал(а):

Вы не заметили уточнение - линейных векторных полей

не напомните, что значит линейное в.п. на многообразии?

bayak в сообщении #381477 писал(а):

Возьмём, например, алгебру Ли вращений в $R^{3}$ - разве её нельзя назвать алгеброй Ли линейных касательных векторных полей $S^{1}$ в $R^{3}$?

ну, $\mathfrak{so}_3$ вряд ли так можно обозвать... Окружность, которую Вы имеете ввиду всякий раз другая

-- Вс ноя 28, 2010 20:02:55 --

Bulinator в сообщении #381459 писал(а):

Можно ли любое $n$- мерное топологическое пространство считать вложенным в $n+1$-мерное Евклидово пространство?

все-таки для нормальной жизни в евклидовом пространстве топологическому многообразию (как и гладкому) размерности $n$ нужно $2n+1$ измерение (теорема Уитни)

[Munin]

paha в сообщении #381471 писал(а):

Munin в сообщении #381455 писал(а):

Или даже локально тривиальным расслоениям

мы других и не рассматриваем

А зачем тогда другие есть?

Или может, я неправильно понял английские термины fibration и fiber bundle?

paha в сообщении #381471 писал(а):

Munin в сообщении #381455 писал(а):

И тогда группа монодромии аналогична группе голономий?

все-таки такая аналогия, если и есть, то чисто формальная... группа монодромии действует на дискретном пространстве, а группа голономий на линейном

Ну, у меня есть мысль, что если у нас есть тензор кривизны, то мы можем его "сгрести" в одну точку, чтобы в этой точке он имел значение как дельта-функция, а в других местах нуль (точнее, не в точку, а в $n-2$-мерное подмногообразие). Для риманова многообразия это приведёт к тому, что оно из "округлой шапочки" превратится в "конус с острым кончиком", однако "раствор конуса" останется тем же самым. Геометрию на таком конусе понять проще, а потом можно вернуться к исходной картине, смоделировав "распределённый" тензор кривизны множеством таких часто натыканных точек, которым придан малый вес. Хотелось бы понять, можно ли такое же проделывать с расслоениями со связностями. Для физики это была бы аналогия не формальная, а очень живая, в ней очень сильно задействованы связи между картиной сосредоточенных и распределённых источников (скажем, электрических зарядов).

[bayak]

paha в сообщении #381482 писал(а):

не напомните, что значит линейное в.п. на многообразии?

Тут и кроется путаница, но ведь у меня речь идёт о линейных векторных полях линейных пространств, которые касательны к сферам (окружностям) вложенным в них. Вторая Ваша ремарка распутывается такими же пояснениями.

[paha]

bayak в сообщении #381491 писал(а):

у меня речь идёт о линейных векторных полях линейных пространств

так объясните что это такое)))

[bayak]

Схема простая. Рассмотрим линейные векторные поля на плоскости.
Берём два базисных линейных векторных поля $x\partial x + y\partial y$ и $y\partial x - x\partial y$. Тогда линейная оболочка этих полей (над $R$) образует алгебру, алгебра Ли которой есть $R(y\partial x - x\partial y)$. Узнаёте алгебру комплексных чисел? Аналогично поступаем и в высших размерностях. К этой теме примыкает вопрос о конструировании линейно независимых векторных полей нечётномерной сферы - изложено в статье Огникяна в мат. заметках.

[paha]

bayak в сообщении #381510 писал(а):

Берём два базисных линейных векторных поля $x\partial x + y\partial y$ и $y\partial x - x\partial y$

Если "линейные" означает с линейными коэффициентами, то базисных поля 4:
$\{x\partial_x,x\partial_y,y\partial_x,y\partial_y\}$ и они порождают некоторую разрешимую алгебру Ли

-- Пн ноя 29, 2010 10:44:52 --

Вы же не сказали, что "линейные" означает -- инвариантные относительно действия ортогональной группы

-- Пн ноя 29, 2010 10:56:11 --

Munin в сообщении #381490 писал(а):

А зачем тогда другие есть?

практически любую сюрьекцию можно обозвать расслоением:)

Munin в сообщении #381490 писал(а):

Ну, у меня есть мысль, что если у нас есть тензор кривизны, то мы можем его "сгрести" в одну точку, чтобы в этой точке он имел значение как дельта-функция, а в других местах нуль

любое риманово многообразие является, в некотором смысле, пределом полиэдральных пространств. А в таких пространствах кривизна живет в конечном числе точек... см., напр. пост http://dxdy.ru/post367738.html#p367738

[Munin]

paha в сообщении #381622 писал(а):

практически любую сюрьекцию можно обозвать расслоением:)

Понятно, а как тогда называются расслоения (или расслоения со связностями), в которых выполняется поднятие заданных гомотопий? Расслоения Гуревича? Или что-то более простое? И где про них почитать, только в Постникове? :-)

paha в сообщении #381622 писал(а):

любое риманово многообразие является, в некотором смысле, пределом полиэдральных пространств. А в таких пространствах кривизна живет в конечном числе точек...

Отлично. А для расслоений со связностью есть конструкция, аналогичная полиэдральным пространствам (и их пределам)? Или достаточно просто базу объявить полиэдральной? У меня опасения, что может быть недостаточно...

[paha]

Munin в сообщении #381689 писал(а):

Понятно, а как тогда называются расслоения

ну, у нас кроме постникова об этом, кажется книг никто не писал (у него еще есть книга типа "Гомотопии клеточных пространств" -- точно не помню)
А иностранные не знаю, т.к. это выходит за рамки:)

Munin в сообщении #381689 писал(а):

А для расслоений со связностью есть конструкция, аналогичная полиэдральным

связность -- все-таки существенно дифференцируемая штука...
Для Александровского пространства (в частности -- для многогранника) нет понятия касательного пространства в точке -- только касательный конус (т.е. складывать вектора можно лишь с положительными коэффициентами)

-- Пн ноя 29, 2010 18:53:35 --

Munin в сообщении #381689 писал(а):

в которых выполняется поднятие заданных гомотопий

такие называются расслоениями Серра

[Munin]

paha в сообщении #381774 писал(а):

ну, у нас кроме постникова об этом, кажется книг никто не писал

чорт-чорт-чорт

paha в сообщении #381774 писал(а):

А иностранные не знаю, т.к. это выходит за рамки:)

А откуда знания черпаете? Изустное предание от лектора?

paha в сообщении #381774 писал(а):

связность -- все-таки существенно дифференцируемая штука...

Дык и связность Леви-Чивита тоже. А впрочем, на полиэдре не всюду дифференцируемая, да и не требуется от неё это там...

paha в сообщении #381774 писал(а):

такие называются расслоениями Серра

И снова, вдруг книжку подскажете? :-)

[paha]

Munin в сообщении #381779 писал(а):

А откуда знания черпаете?

Читать иностранные книги не по своей области? Нафига)

-- Пн ноя 29, 2010 19:07:30 --

Munin в сообщении #381779 писал(а):

Дык и связность Леви-Чивита тоже. А впрочем, на полиэдре не всюду дифференцируемая, да и не требуется от неё это там...

То, что риманово многообразие $M$ изометрично (проективному, или по Громову-Хаусдорфу) пределу последовательности полиэдральных пространств $M_n$ вовсе не означает, что связность Леви-Чивиты является пределом каких-то структур на $M_n$

-- Пн ноя 29, 2010 19:12:00 --

Munin в сообщении #381779 писал(а):

И снова, вдруг книжку подскажете?

посмотрите учебник -- Allen Hatcher Algebraic topology (на его домашней страничке в свободном доступе)