Несколько вопросов по топологии

[Munin]

paha в сообщении #381783 писал(а):

Munin в сообщении #381779 писал(а):

Дык и связность Леви-Чивита тоже. А впрочем, на полиэдре не всюду дифференцируемая, да и не требуется от неё это там...

То, что риманово многообразие $M$ изометрично (проективному, или по Громову-Хаусдорфу) пределу последовательности полиэдральных пространств $M_n$ вовсе не означает, что связность Леви-Чивиты является пределом каких-то структур на $M_n$

Это очень жаль, что не означает. Но по-моему, всё-таки является. Точно так же, как кривизна на полиэдре живёт в точках, можно считать, что связность (точнее, её нетривиальная часть) живёт на рёбрах, инцидентных граням.

[paha]

Munin в сообщении #381815 писал(а):

что связность (точнее, её нетривиальная часть) живёт на рёбрах

ну уж нет... окрестность внутренней точки ребра -- евклидова

[Munin]

А я спорю? Но обойдя вокруг вершины (с ненулевой кривизной), мы получим ненулевой интеграл связности.

[bayak]

paha в сообщении #381622 писал(а):

Вы же не сказали, что "линейные" означает -- инвариантные относительно действия ортогональной группы

Из контекста следовало именно это, поскольку речь шла о конкретных алгебрах. Вы как то уходите к общему случаю, а меня интересует применение этой конструкции в физике.

[Bulinator]

Озарение!!
Я понял что такое гомотопическая эквивалентность. Гомотопическая эквивалентность это равенство гадких точек/областей в пространствах $A$ и $B$. Иными словами:
берем гадкую точку на $A$, окружаем ее контуром/(гипер)поверхностью. Отображаем это все на $B$ с помощью отображения $f:A\mapsto B$ и возвращаем обратно с помощью отображения $g:B\mapsto A$. Получим какой-то другой контур/(гипер)поверхность. Если возможно подобрать отображения $f$ и $g$ такие, что получившийся контур можно непрерывно деформировать в исходный (это в свою очередь значит, что контуры, которые не деформируются друг в друга не будут деформироваться и после отображения $f\circ g$), и это будет значить, что на $B$ есть такая же гадость. Проделаем то же самое для $B$, чтоб лишних гадостей не оставалось. Если их кол-во совпадает, тогда скажем, что эти пространства гомотопически эквивалентны.

[Munin]

Тогда вопрос: являются ли гомотопически эквивалентными $S^1\times S^1$ и $(\sqrt{x^2+y^2}-2)^2+z^2=1^2$? Можете решить, исходя из своего определения?

[Bulinator]

Munin
Это же в точности определение из Совр. Геометрии Д.Н.Ф.

[paha]

bayak в сообщении #381857 писал(а):

Из контекста следовало именно это, поскольку речь шла о конкретных алгебрах. Вы как то уходите к общему случаю, а меня интересует применение этой конструкции в физике.

ну, общий случай -- это алгебры Ли над произвольным полем... я туда и не смотрю)

-- Вт ноя 30, 2010 20:09:03 --

Bulinator в сообщении #382101 писал(а):

Гомотопическая эквивалентность это равенство гадких точек/областей в пространствах $A$ и $B$.

имеется сколько угодно пространств, в которых все точки одинаковы ($\forall x,y\in X$ существует гомеоморфизм $f:X\to X$ что $f(x)=y,\,f(y)=x$)

-- Вт ноя 30, 2010 20:11:05 --

Bulinator в сообщении #382101 писал(а):

Проделаем то же самое для $B$, чтоб лишних гадостей не оставалось. Если их кол-во совпадает, тогда скажем, что эти пространства гомотопически эквивалентны.

На окружности и на двумерной сфере вообще нет "гадостей", но они не гомотопически эквивалентны

[Bulinator]

paha в сообщении #382115 писал(а):

На окружности и на двумерной сфере вообще нет "гадостей", но они не гомотопически эквивалентны

Как нет гадостей?? Если взять единичное отображение на сфере, его нельзя деформировать в... ну вообще нельзя деформировать.
Это и есть "сферическая гадость"!

[paha]

Bulinator в сообщении #382119 писал(а):

Если взять единичное отображение на сфере

что за зверь?

[Bulinator]

ну тожденственное

[paha]

так Вы "гадости" ловите в пространствах, или в отображениях?

[Bulinator]

paha в сообщении #382115 писал(а):

имеется сколько угодно пространств, в которых все точки одинаковы ($\forall x,y\in X$ существует гомеоморфизм $f:X\to X$ что $f(x)=y,\,f(y)=x$)

Ан нет
Не так все просто. Надо еще, чтоб контуры(сферы) окружающие и не окружающие эти точки после отображения $f\circ g A\mapsto A$ нельзя было непрерывно деформировать друг в друга.

[paha]

Давайте я по-простому сформулирую... может, повторю Вашу цитату:

$X$ гомотопически эквивалентно $Y$ (никаких отображений пока нет!), если существуют непрерывные отображения
$ f:X\to Y,\,g:Y\to X$, что $f\circ g\sim id_{Y}$, $g\circ f\sim id_X$, где $\sim$ -- "гомотопно"

-- Вт ноя 30, 2010 20:37:58 --

никаких "гадостей" тут нет

[Bulinator]

paha
Что я хочу, так вместо этого скучного и ничего не говорящего определения понять наглядно что это такое.
Притом, чтобы потом, не зная определения самому быть в состоянии его придуматаь.