Господа, проверьте пожалуйста размышления.
Как придти к понятию гомотопии?
Гомотопия функций интуитивно понятна:
Пусть заданы функции
![$f:M_1\mapsto M_2$ $f:M_1\mapsto M_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/0/3c03e2c4f83c67440a2b62c7457295c682.png)
и
![$g:M_1\mapsto M_2$ $g:M_1\mapsto M_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/7/387f7d7ae829361961ece5aaa2316b4a82.png)
.
![Изображение](http://www.pogpet.am/tmp/homotopy.jpg)
Итак, функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
и
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
назовем гомотопными, если существует гладкая гомотопия
![$h_t(x): M_1\times I \mapsto M_2,\quad h_0(x)=f(x),\quad h_1(x)=g(x)$ $h_t(x): M_1\times I \mapsto M_2,\quad h_0(x)=f(x),\quad h_1(x)=g(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/a/48a6d0f083916f93ce33cbea8b038db982.png)
.
А вот множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
будут гомотопически эквивалентными. Иными словами, стягивая и растягивая эти множества можно из одного получить другое.
Теперь вопрос:
как обобщить понятие гомотопической эквивалентности без
![$M_1$ $M_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/5/6f549764f2f97bec950c14de5352994a82.png)
и
![$M_2$ $M_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dced8cd0d35e2af2d3499c10d7ee628982.png)
?
Пусть заданы множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
и отображения
![$ f:A\mapsto B,\quad g: B\mapsto A$ $ f:A\mapsto B,\quad g: B\mapsto A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/f/45fa41aec36ce85d3e33fb15b92c350d82.png)
.
Вместо
![$M_1$ $M_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/5/6f549764f2f97bec950c14de5352994a82.png)
и
![$M_2$ $M_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dced8cd0d35e2af2d3499c10d7ee628982.png)
можно взять само
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
( или
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
), вместо функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
берем тождественное преобразование а вместо функции
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
берем композицию
![$f\circ g$ $f\circ g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/7/5378dfc6811b2b593c82b7d056e555cb82.png)
и возвращаемся к предидущему случаю. А именно:
![Изображение](http://www.pogpet.am/tmp/homotopy%202.jpg)
Отсюда понятно, что если можно подобрать такие
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
и
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
, чтобы
![$f\circ g$ $f\circ g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/7/5378dfc6811b2b593c82b7d056e555cb82.png)
было гомотопо
![$id_B$ $id_B$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/b/7ab8b9d51d3802cdf411f4e05660915382.png)
, то
![$D$ $D$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/e/78ec2b7008296ce0561cf83393cb746d82.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
будут гомотопически эквивалентны.
А далшье все. Как отсюда и из соответствующей диграммы где
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
заменено на
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
понять, что они гомотопически эквивалентны, т.е. стягивая/растягивая одно можно получить другое?