Об использовании математических понятий в физике

[ewert]

pittite:

Эта тема была отделена из темы "Методы математической физики" по предложению авторов ниже размещенных сообщений.

Кстати:

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Но сама дивергенция это поток вектора через маленькую замкнутую поверхность делить на объем внутри этой поверхности (это определение дивергенции, что такое дивергенция).

Крайне неудачное определение, хотя и модное. А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...

[Munin]

ewert в сообщении #372393 писал(а):

Крайне неудачное определение, хотя и модное. А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...

За этими придирками - на курс матана. А в физике достаточно поверить, что в тех случаях, про которые рассказывается в учебнике, всё существует. В ваших объяснениях тоже есть ряд мест для придирок подобного плана, я смолчал только потому, что мне больше интересно, как ваши объяснения воспримет спрашивавший.

[ewert]

Munin в сообщении #372415 писал(а):

За этими придирками - на курс матана. А в физике достаточно поверить, что в тех случаях, про которые рассказывается в учебнике, всё существует.

В физике вообще не надо определять дивергенцию, не царское это дело. В физике её надо просто использовать. Не определяют же в физике, скажем, синус или косинус.

Это во-первых. А во-вторых, если в физике всё-таки переопределяют какие-то математические понятия по-своему, то такие определения должны быть как минимум интуитивно очевидны. Корректность "геометрического" определения дивергенции (тем более аналогичного определения ротора) -- неочевидна совершенно.

[Munin]

ewert в сообщении #372438 писал(а):

В физике вообще не надо определять дивергенцию, не царское это дело.

Да, но в физике надо понимать, что это такое, чувствовать, иметь образ. Если пойти за подаянием в матан, то легко получишь только определение, правила вычисления, и неодобрительный взгляд в довесок. А этого мало. Математика в физике используется как модель, и надо знать, как она сопоставляется реальному миру, и как устроена та часть реального мира, которой эта модель сопоставляется.

ewert в сообщении #372438 писал(а):

если в физике всё-таки переопределяют какие-то математические понятия по-своему

Чур нас, чур!

ewert в сообщении #372438 писал(а):

то такие определения должны быть как минимум интуитивно очевидны. Корректность "геометрического" определения дивергенции (тем более аналогичного определения ротора) -- неочевидна совершенно.

Не путайте очевидность определения с очевидностью корректности :-) Определение интеграла "площадь под кривой" очевидно даже для пятиклассника, а вот с корректностью... не мне вам рассказывать.

[ewert]

Munin в сообщении #372503 писал(а):

Математика в физике используется как модель, и надо знать, как она сопоставляется реальному миру, и как устроена та часть реального мира, которой эта модель сопоставляется.

Безусловно согласен. Но должна же быть и некая иерархия. Конкретно про дивергенцию следует твёрдо знать, что это -- именно некая дифференциальная операция. И только после этого можно (и нужно) говорить, что это -- такое-то отношение, т.е. может быть интерпретирована как мера расходимости силовых линий поля. Но ни в коем случае не принимать это за определение дивергенции. В т.ч. и потому, что последняя формулировка просто лишена точного смысла, это -- всего лишь лирика.

Munin в сообщении #372503 писал(а):

Определение интеграла "площадь под кривой" очевидно даже для пятиклассника, а вот с корректностью... не мне вам рассказывать.

А вот тут проблемы как раз не с корректностью (во всяком случае, не в первую очередь с ней). А в недостаточной обобщаемости определения интеграла как площади. Если вбить себе в голову, что интеграл -- это площадь, и не держать в голове, что это сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых, то каждый следующий тип интегралов так и будет являться некоторой загадкой, постоянно ставящей в тупик (проверено на опыте). И только потом, потом -- можно (и нужно) про площадь. Опять же -- вопрос иерархии.

[Munin]

ewert в сообщении #372529 писал(а):

Конкретно про дивергенцию следует твёрдо знать, что это -- именно некая дифференциальная операция.

Не спорю. Но я не заметил, что спрашивающий этого не знает. Я так понял, он этого просто не понимает образно.

ewert в сообщении #372529 писал(а):

А вот тут проблемы как раз не с корректностью (во всяком случае, не в первую очередь с ней). А в недостаточной обобщаемости определения интеграла как площади. Если вбить себе в голову, что интеграл -- это площадь, и не держать в голове, что это сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых, то каждый следующий тип интегралов так и будет являться некоторой загадкой, постоянно ставящей в тупик (проверено на опыте). И только потом, потом -- можно (и нужно) про площадь. Опять же -- вопрос иерархии.

Не соглашусь. Как раз вбивание в голову, что это "сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых", мешает обобщать это понятие, примерно на уровне "интеграл - это линейный функционал..." См., напр., интеграл от дельта-функции. Или произведение цепи на коцепь в симплектическом комплексе. И проблемы с корректностью - тоже именно у вашего определения. "Проверено на опыте" - преклоняюсь, но и дивлюсь, и не считаю за окончательный аргумент.

[ewert]

Munin в сообщении #372550 писал(а):

Но я не заметил, что спрашивающий этого не знает.

Я не про спрашивавшего. А про одного из отвечавших, который геометрическое свойство дивергенции осмелился назвать её определением.

Munin в сообщении #372550 писал(а):

Как раз вбивание в голову, что это "сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых", мешает обобщать это понятие, примерно на уровне "интеграл - это линейный функционал..."

Нисколько не мешает. Линейность этого функционала совершенно тривиальна (во всяком случае, на уровне здравого смысла). А до столь абстрактного обобщения надо ещё и дорасти.

Munin в сообщении #372550 писал(а):

"Проверено на опыте" - преклоняюсь, но и дивлюсь, и не считаю за окончательный аргумент.

Это никакой не аргумент, это просто констатация опытного факта. Люди, не понимающие, что такое кратный интеграл (не говоря уж о какой-нибудь чертовщине типа поверхностного) -- автоматом не могут воспроизвести и определение обычного одномерного. Могут лишь промямлить что-то про площадь (действительно частенько могут). Что само по себе уже прекрасно, конечно. Но -- бесперспективно.

[вздымщик Цыпа]

ewert в сообщении #372393 писал(а):

Крайне неудачное определение, хотя и модное.

Знаете ли, очень неплохое определение. Для многих вещей существуют разные эквивалентные определения. При каком-то способе построения это свойство, а при каком-то — определение, а то определение наоборот свойство.

ewert в сообщении #372393 писал(а):

А откуда заранее следует, что этот предел вообще существует и что он не зависит от формы стягиваемой области?...

Ниоткуда. Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует». Простейший пример — производная (это такой-то предел, если он существует). Если не существует, то и фиг с ним, а вот если существует, то тут-то и вот оно, определение в действии.

[ewert]

вздымщик Цыпа в сообщении #372590 писал(а):

Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует». Простейший пример — производная (это такой-то предел, если он существует).

Не прокатит. Производная как типа в некотором смысле касательная -- интуитивно понятна, поскольку кривые у всех перед глазами, и касательные более-менее тоже. С дивергенцией как пределом отношения этот фокус не пройдёт, поскольку уследить интуитивно за потоками через замкнутые поверхности -- так просто не выйдет.

[Munin]

ewert в сообщении #372584 писал(а):

А про одного из отвечавших, который геометрическое свойство дивергенции осмелился назвать её определением.

Не понял, что здесь криминального, см. замечание вздымщика Цыпы. Вопрос о том, выводить ли A из B или B из A при наличии взаимной выводимости, всегда считал второстепенным.

ewert в сообщении #372584 писал(а):

Линейность этого функционала совершенно тривиальна (во всяком случае, на уровне здравого смысла). А до столь абстрактного обобщения надо ещё и дорасти.

Вот как раз дорасти эта самая "сумма бесконечно большого..." и мешает. Страшно мешает. (Не о линейности речь, разумеется. Кстати, тривиальна ли линейность при определении через "сумму"? мне нет.)

ewert в сообщении #372584 писал(а):

Люди, не понимающие, что такое кратный интеграл (не говоря уж о какой-нибудь чертовщине типа поверхностного) -- автоматом не могут воспроизвести и определение обычного одномерного.

А, вот вы о каких обобщениях. Знаете, имхо, если такие люди воспроизводят определение обычного одномерного через "площадь", это уже хорошо. Прямо на это опираясь, можно давать определения двойного и тройного интегралов, говоря про функцию плотности массы и суммарную массу фигуры или тела. После этого и преобразование кратного в повторный просто и наглядно. И дельта-функции как точки конечной массы в области интегрирования сюда тоже вписываются замечательно. Плохо только то, что придётся к таким людям индивидуально подстраиваться, а не давать одно определение всему потоку. Может, и всему потоку дать тот вариант, от которого вы морщитесь?

По некотором размышлении, я вообще считаю, что определение через "площадь" отвечает на вопрос что такое интеграл, а определение через "сумму" - всего лишь на вопрос как интеграл находится. Понятно, что здесь второстепенно. Умея его находить, но не зная, зачем и в каких случаях это делать, человек может научиться решать чужие задачи, в которых интеграл уже есть, но не сможет решать такие, в которых интеграл надо записать, и тем более не сможет ставить своих, опирающихся на это понятие.

вздымщик Цыпа в сообщении #372590 писал(а):

Ниоткуда. Потому в строгие определения, базирующиеся на пределах, включают слова «если этот предел существует».

Причём можно ещё сформулировать условия, при которых он существует, и добавить их в определение дивергенции. Будет совсем красота. Правда, эти условия, как я понимаю, выражаются либо через координаты, либо через очень продвинутый геометрический язык, который в момент определения дивергенции совсем неуместен.

-- 09.11.2010 01:58:31 --

ewert в сообщении #372622 писал(а):

Производная как типа в некотором смысле касательная

Странная у вас позиция. Производную как типа касательную вы допускаете, а интеграл как типа площадь - нет.

ewert в сообщении #372622 писал(а):

С дивергенцией как пределом отношения этот фокус не пройдёт, поскольку уследить интуитивно за потоками через замкнутые поверхности -- так просто не выйдет.

Вполне выходит. Если картину "силовых линий" использовать. Ну и поверхностями рекомендуется на первых порах ограничиться типа сферы или куба, а более сложные себе не представлять, просто помнить про теорему Гаусса.

[ewert]

Munin в сообщении #372624 писал(а):

Знаете, имхо, если такие люди воспроизводят определение обычного одномерного через "площадь", это уже хорошо.

Ну, опыт показывает, что это плохо. Эти люди не могут обобщить интеграл даже и на кратный, не то что на какие-то там обобщённые функции (которым их, кстати, и не учат).

Munin в сообщении #372624 писал(а):

определение через "площадь" отвечает на вопрос что такое интеграл, а определение через "сумму" - всего лишь на вопрос как интеграл находится.

В точности наоборот. Интеграл (в идейном отношении) -- это никакая не площадь, это именно некое обобщение суммы.

Munin в сообщении #372624 писал(а):

Производную как типа касательную вы допускаете, а интеграл как типа площадь - нет.

Это вырвано из контекста. Противопоставление было не производной интегралу, а дивергенции производной.

Munin в сообщении #372624 писал(а):

Вполне выходит. Если картину "силовых линий" использовать.

Не выходит. Попробуйте нарисовать линии тока для просто течения жидкости и посчитать стрелочки. Ничего толкового не выйдет. Я ж говорю -- это не более чем лирика.

[Himfizik]

Мне все же думается, что начинать всегда следует с простого. Во всяком случае вся наша система образования в школе и в университете так построена. Сначала вам говорят самые простые вещи, которые понять можно и на пальцах. Не ругать же на этом этапе преподавателей, за то, что их определения в общем случае некорректны. Через время знания становятся все более обширнее, пропускаясь через призму постепенного обобщения, а определения все более корректными. Наконец дядя в очках и с умным видом говорит: "Ну вот и все, это и есть теория всего ".
Так что, видимо для первого знакомства можно в определении дивергенции обойтись и без заумных для новичков и понятных (естественно ) для вас строгих и общих определений.

[Munin]

ewert в сообщении #372629 писал(а):

Эти люди не могут обобщить интеграл даже и на кратный, не то что на какие-то там обобщённые функции (которым их, кстати, и не учат).

А что, перед ними ставится задача самостоятельно обобщить, а не освоить предоставленное преподавателем обобщение?

ewert в сообщении #372629 писал(а):

Интеграл (в идейном отношении) -- это никакая не площадь, это именно некое обобщение суммы.

Я не могу отвечать на столь нечётко сформулированные вещи. "В идейном отношении", "некое обобщение" - поди пойми, что вы имеете в виду. Для меня интеграл в идейном отношении - это некое обобщение интеграла. В смысле, некоторой цельной обобщающей характеристики, которая характеризует более детально заданный объект. К суммам и площадям это понятие несводимо, оно более первично, это как раз суммы и площади суть частные проявления этой идеи. Но вот чтобы как раз дать такое первичное понятие, проиллюстрировать его площадью или весом фигуры - наиболее наглядный образ. Разумеется, про сумму надо упомянуть, но через секунду, когда возникнет следующий вопрос: а как посчитать эту площадь или вес. Заметьте, идея разбиения на малые части сама по себе не элементарна, её в курсе физики вводят классе в девятом, и тогда она ещё идёт с трудом.

ewert в сообщении #372629 писал(а):

Это вырвано из контекста. Противопоставление было не производной интегралу, а дивергенции производной.

Ничего, меня всё равно интересует, будете ли вы настаивать на лишении понятия производной наглядности за-ради строгости (и скучности!) определений, или нет.

ewert в сообщении #372629 писал(а):

Не выходит. Попробуйте нарисовать линии тока для просто течения жидкости и посчитать стрелочки.

Пробовал, неоднократно, и что? Надеюсь, вы не забываете о том правиле, что у "силовых линий" есть ещё и плотность?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #372682 писал(а):

Ничего, меня всё равно интересует, будете ли вы настаивать на лишении понятия производной наглядности за-ради строгости (и скучности!) определений, или нет.

Хорошо сказано у Займана (по памяти потому приблизительно): "нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая чистыми математиками". Надеюсь у математиков есть чуство юмора и они не обидятся:-)

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #372709 писал(а):

Хорошо сказано у Займана (по памяти потому приблизительно): "нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая чистыми математиками". Надеюсь у математиков есть чуство юмора и они не обидятся:-)

Дык, что интересно, чистыми математиками порождается совсем другое, но вот до учебников и лекций оно зачастую именно в таком клиническом виде и докатывается. Ни кульминации, ни концовки, ни смысла.