Об использовании математических понятий в физике

[ewert]

Munin в сообщении #372682 писал(а):

А что, перед ними ставится задача самостоятельно обобщить, а не освоить предоставленное преподавателем обобщение?

Они не могут именно освоить. Посколько потеряны базовые знания.

Munin в сообщении #372682 писал(а):

будете ли вы настаивать на лишении понятия производной наглядности за-ради строгости (и скучности!) определений,

Нет, конечно. Но -- ни в коем случае не вместо определения. Кстати: а что такое касательная?...

Munin в сообщении #372682 писал(а):

Надеюсь, вы не забываете о том правиле, что у "силовых линий" есть ещё и плотность?

Не знаю, забываю или нет. Всё зависит от того, что понимать под "плотностью линий". А что это такое?...

s.o.s. в сообщении #372675 писал(а):

Над физической интепретацией дивергенции буду думать.

Да нет смысла над этим думать. Физически она интерпретируется как наличие неких "источников" чего-то. Чего именно?... -- в общем случае вопрос бессмысленен. Просто потому так интерпретируется, что во многих задачах эти слова приобретают конкретный смысл, а на остальные переносятся по аналогии. Вот в теплопроводности, например -- это наличие внутренних источников тепла.

[Munin]

ewert в сообщении #372793 писал(а):

Они не могут именно освоить. Посколько потеряны базовые знания.

Я всё-таки не могу уловить проблему в такой формулировке. Интеграл даётся в первом семестре, кратный интеграл - во втором (ну, плюс-минус, в зависимости от программы). Если у вас ученики не имеют "базовых знаний" (как я понимаю - вы про скучный рассказ про сумму, не имеющий отношения ни к тому, для чего интеграл нужен, ни к тому, как его практически вычислять в учебных примерах с элементарными функциями), то они даже не успели их потерять - они их просто недополучили (невзирая на отметку о зачёте). И что? Тогда ваша задача дать их ещё раз и поглубже. Не утверждаете же вы, надеюсь, что ученик, запомнивший, что интеграл - это площадь, становится навек органически неспособен ко всякому обучению в этой области?

Максимум, что я могу вообразить - это что речь идёт о тех учениках, которые в предыдущий семестр не учились, а лепет про площадь пытаются мямлить по старинным воспоминаниям. Ну так тут не определение интеграла надо винить, а разгильдяйство учеников, которое приводит независимо к обоим следствиям.

ewert в сообщении #372793 писал(а):

Но -- ни в коем случае не вместо определения.

Такого никто и не предлагал. Хотя... здесь наиболее очевидно, что в случае многих переменных производная функции будет линейной формой.

ewert в сообщении #372793 писал(а):

Кстати: а что такое касательная?...

Ну, интуитивно это тоже ясно: возьмём фигуру из толстого материала или из проволоки, и будем придвигать к ней линейку. Сначала линейка движется свободно, а потом - только сдвигая саму фигуру.

[ewert]

Munin в сообщении #372813 писал(а):

то они даже не успели их потерять - они их просто недополучили (невзирая на отметку о зачёте). И что? Тогда ваша задача дать их ещё раз и поглубже.

А я и даю. При каждом случае талдычу: "хоть типов подсовываемых вам интегралов и безумное к-во, но все они строятся по одной и той же схеме..." и т.д. Иногда помогает.

Munin в сообщении #372813 писал(а):

Не утверждаете же вы, надеюсь, что ученик, запомнивший, что интеграл - это площадь, становится навек органически неспособен ко всякому обучению в этой области?

Да в общем-то утверждаю. Если товарищ зазубрил только про площадь, а всё остальное гордо проигнорировал -- всё, мозги у него уже заморожены. Единственное, что можно ему предложить -- это тройку, и то только за то, что ему ну хоть что-то удалось вызубрить (как в том известном анекдоте).

Munin в сообщении #372813 писал(а):

здесь наиболее очевидно, что в случае многих переменных производная функции будет линейной формой.

ага, Вы ещё континуальные интегралы подсуньте, ведь интуитивно это ну ведь так очевидно

Munin в сообщении #372813 писал(а):

Сначала линейка движется свободно, а потом - только сдвигая саму фигуру.

Ага, а теперь подвиньте график функции $y=x^3$ этой самой проволочной линейкой, и желательно в нуле.

[Munin]

ewert в сообщении #372881 писал(а):

А я и даю. При каждом случае талдычу: "хоть типов подсовываемых вам интегралов и безумное к-во, но все они строятся по одной и той же схеме..." и т.д.

Лично мне не нравится в этом только "строятся". Мне бы больше понравилось "все они являются воплощением одной и той же идеи". А отсюда уже "строятся" вытекает всего лишь как рецепт вычисления.

ewert в сообщении #372881 писал(а):

Да в общем-то утверждаю. Если товарищ зазубрил только про площадь, а всё остальное гордо проигнорировал -- всё, мозги у него уже заморожены.

Вы утверждаете нечто иное, чем я спрашиваю. То, что вы утверждаете, как раз подходит под упомянутый мной случай: товарищ - разгильдяй, гордо игнорирующий материал. У такого мозги заморожены независимо от того, зазубрил ли он про площадь, или, будучи чуть более удачливым, про какую-нибудь интегральную сумму. Ни того ни другого он применить и обобщить не сможет, и возможно, двойка по отношению к нему будет более милосердна, чем тройка.

ewert в сообщении #372881 писал(а):

ага, Вы ещё континуальные интегралы подсуньте, ведь интуитивно это ну ведь так очевидно

(голосом Витьки Корнеева) Ну а почему бы, в конце концов, и нет?

Заметьте, континуальные интегралы интуитивно очевидны настолько, что их удаётся считать.

ewert в сообщении #372881 писал(а):

Ага, а теперь подвиньте график функции $y=x^3$ этой самой проволочной линейкой, и желательно в нуле.

А вот я что-то засомневался, а есть ли у неё в нуле вообще касательная. Скорее, мне кажется, у неё в нуле есть некоторое обобщение касательной, достаточно удобное, вводимое достаточно рано, чтобы все вообще успели забыть, что это обобщение. Обобщение, вводимое на основании не идеи касательной, а способа вычисления - через две сближающиеся точки. А может, гораздо важнее обобщения, вводимые на основании именно идеи - как, например, касательная к $y=\lvert x\rvert$ в нуле?

ewert в сообщении #372793 писал(а):

Но -- ни в коем случае не вместо определения.

Я, конечно, упомянул про функцию нескольких переменных, но гораздо раньше люди сталкиваются с производными высшего порядка при одной переменной, так что я всё-таки не предлагаю заменять определение на "касательную". Хотя... а может, в этом плане курс матана тоже построен не лучшим образом, и несколько переменных заслуживают рассмотрения раньше, чем производные и первообразные высших порядков?..

[s.o.s.]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #372921 писал(а):

(голосом Витьки Корнеева) Ну а почему бы, в конце концов, и нет?

Заметьте, континуальные интегралы интуитивно очевидны настолько, что их удаётся считать.

Что такое континуальные интегралы?Их Фейнманн придумал,да?

[ewert]

Munin в сообщении #372921 писал(а):

"все они являются воплощением одной и той же идеи". А отсюда уже "строятся" вытекает всего лишь как рецепт вычисления.

Munin в сообщении #372921 писал(а):

вводимое на основании не идеи касательной, а способа вычисления - через две сближающиеся точки.

"Идея" и "схема" -- это примерно одно и то же. А вот формальное построение и фактическое вычисление -- грубо говоря, не имеют между собой ничего общего. Даже если говорить о приближённых вычислениях: в их основу можно, конечно, положить исходное определение, только результат выйдет очень неточным.

Munin в сообщении #372921 писал(а):

обобщения, вводимые на основании именно идеи - как, например, касательная к $y=|x|$ в нуле?

и что же это такое -- касательная к модулю?...

Munin в сообщении #372921 писал(а):

Заметьте, континуальные интегралы интуитивно очевидны настолько, что их удаётся считать.

Но тем не менее -- практически никогда толком не известно, что именно считается. Т.е. формально корректного определения таких интегралов так никто до сих пор и не дал (не считая интегрирования по случайным процессам, которое было обосновано довольно давно). Насколько я слышал.

Munin в сообщении #372921 писал(а):

Хотя... а может, в этом плане курс матана тоже построен не лучшим образом, и несколько переменных заслуживают рассмотрения раньше, чем производные и первообразные высших порядков?..

Это уже чисто методический вопрос. Точнее, два вопроса: как лучше построить курс, исходя из его внутренней логики -- и как лучше согласовать его с параллельно идущей физикой.

Второе, строго говоря, невозможно -- задействованный в физике аппарат будет постоянно опережать курс математики в любом случае. Но можно хотя бы минимизировать это расхождение. Для этого перейти к интегралам нужно как можно раньше, а вот функции нескольких переменных можно отложить и на потом -- в конце концов, для физики от них требуются в первую очередь только частные производные как таковые, а их формальное определение тривиально. Откладывать же производные высших порядков нельзя не только по внешним, но и по сугубо внутренним причинам: любой логический блок курса должен быть достаточно крупным, иначе он не задержится в голове. Поэтому определить производную и сразу же перейти к, скажем, интегралам никак нельзя, надо сперва попереворачивать эту производную на разные бока.

[Himfizik]

Континуальный интеграл можно понимать как интеграл от функционала по пространству (функций). Он хорош для вычисления сумм самых разных физических величин (например вероятности) по различным траекториям. Часто используется в квантовой физике и статистической физике (при расчете статистических сумм). Товарищ Фейнман неплохо развил аппарат континуальных интегралов по траекториям в квантовой механике.
Корректность этих функциональных интегралов математиками, действительно, в общем случае пока не доказана, несмотря на то, что они уже давно вовсю используются физиками-теоретиками.

[Munin]

ewert в сообщении #373024 писал(а):

"Идея" и "схема" -- это примерно одно и то же.

Сильно не согласен. И как мне кажется, у вас в этом месте какое-то "слепое пятно". Поставьте рядом определение через "сумму", метод трапеций, метод Симпсона - будет видно, что это всё вещи одного порядка. И все они отвечают на вопрос как посчитать, но не на вопрос что посчитать. Если их принимать за определение, то резонно удивиться, а зачем нам это, собственно, считать. (Хотя я понимаю, что такой вопрос вслух преподавателю задавать не принято, но он всё равно возникает, и проявляется в том, что ученик не увлекается предметом, не заинтересован в понимании, ограничивается зубрёжкой.)

ewert в сообщении #373024 писал(а):

и что же это такое -- касательная к модулю?...

(продолжая шутку) Исходя из моего определения - любая прямая, проходящая через точку $O,$ лежащая (хотя бы в окрестности) по одну сторону от графика. Да, получается, что в одной точке существует несколько касательных, можно найти крайние, и т. п. Ох, всё это далеко от производной ушло :-)

ewert в сообщении #373024 писал(а):

Т.е. формально корректного определения таких интегралов так никто до сих пор и не дал (не считая интегрирования по случайным процессам, которое было обосновано довольно давно). Насколько я слышал.

На это я и хочу обратить внимание: результаты есть, и наличие (отсутствие) формально корректного определения на них не влияет. Кстати, с обычными интегралами и производными была такая же ситуация до Коши и Вейерштрасса. Интегралы (в некоторых случаях) умудрялся посчитать ещё Архимед! То есть идея есть не просто некое бесплатное приложение к схеме построения, она работает сама по себе, и именно она же ведёт к разнообразным обобщениям, а схема построения, оторванная от идеи - напротив, порождает уродцев. Для примера, возьмите интеграл по кривой или по поверхности из курса матана, и замените в нём радикал с производными каким-нибудь другим радикалом. Схема построения даже не поморщится - ей безразлично что считать. А вот смысл выражения исчезнет напрочь.

ewert в сообщении #373024 писал(а):

Второе, строго говоря, невозможно -- задействованный в физике аппарат будет постоянно опережать курс математики в любом случае.

Это только в наших реалиях :-) Стоит сдвинуть изучение физики назад на год, и математики успеют дать всё, что нужно. (А студенты - успеют забыть.)

ewert в сообщении #373024 писал(а):

в конце концов, для физики от них требуются в первую очередь только частные производные как таковые

А для чо, собственно? У меня такое впечатление, что частные производные требуются где-то далеко в курсе волн и прочих ураматов (ну, ещё в теормеханике), а в первую очередь нужны векторная алгебра и векторный анализ.

s.o.s. в сообщении #373009 писал(а):

Их Фейнманн придумал,да?

Фейнман до них додумался независимо, хотя такая конструкция была известна и раньше (но не применялась в квантовой механике).

[ewert]

Munin в сообщении #373072 писал(а):

а в первую очередь нужны векторная алгебра и векторный анализ.

Векторная алгебра -- само собой, а вот векторный анализ -- не пройдёт. Обсуждать его вполне бессмысленно без приплетания интегральных теорем, а до них (в курсе математики) -- ой-ёй-ёй как далеко.

Munin в сообщении #373072 писал(а):

У меня такое впечатление, что частные производные требуются где-то далеко в курсе волн и прочих ураматов

Ну прям-таки. Если навскидку -- то уж как минимум в термодинамике.

Munin в сообщении #373072 писал(а):

Интегралы (в некоторых случаях) умудрялся посчитать ещё Архимед!

И, между прочим, вот именно разбиениями и умудрялся, а не какими-то там абстрактными аддитивностями.

Munin в сообщении #373072 писал(а):

Для примера, возьмите интеграл по кривой или по поверхности из курса матана, и замените в нём радикал с производными каким-нибудь другим радикалом. Схема построения даже не поморщится - ей безразлично что считать. А вот смысл выражения исчезнет напрочь.

Почему. Математический смысл -- вполне останется. А вот с точки зрения приложений то, что там именно такие радикальчики -- это никакими размахиваниями руками и заклинаниями насчёт аддитивности не определяется, пока не пощупаещь пальчиками, что разумнее всего делать именно по кусочкам.

[Munin]

ewert в сообщении #373076 писал(а):

Векторная алгебра -- само собой, а вот векторный анализ -- не пройдёт. Обсуждать его вполне бессмысленно без притания интегральных теорем, а до них (в курсе математики) -- ой-ёй-ёй как далеко.

Вот поэтому физики на математиков и плюют машут рукой, и вводят нужный им матаппарат с опережением. Не важны для физических приложений строгие корректные доказательства, что определение дивергенции через стягиваемый объём и через частные производные эквивалентны. Важно дивергенцию понимать и использовать.

Я векторный анализ в своё время (в старших классах школы) изучил по книжке Зильбермана "Электричество и магнетизм", и по гроб жизни ей благодарен. Пролистайте. Обсуждать там есть что, и вполне осмысленно.

-- 10.11.2010 13:58:40 --

ewert в сообщении #373076 писал(а):

И, между прочим, вот именно разбиениями и умудрялся...

Вот! Вот! Это способ вычисления, а не суть вычисляемой величины!

ewert в сообщении #373076 писал(а):

а не какими-то там абстрактными аддитивностями.

Я не понял, вы про какие вообще аддитивности?

ewert в сообщении #373076 писал(а):

Математический смысл -- вполне останется.

Ну на это я уже не знаю, что сказать. У вас представления о математическом смысле настолько далеки от моих...

ewert в сообщении #373076 писал(а):

А вот с точки зрения приложений то, что там именно такие радикальчики -- это никакими размахиваниями руками и заклинаниями насчёт аддитивности не определяется

Это определяется пониманием того, что такое длина и что такое площадь. Возьмём лист бумаги 1х1 плотностью 1, и повернём его в трёхмерном пространстве на произвольный угол. Потом посмотрим на то, что получилось, скрозь аналитическую геометрию. Вот и возникнут те самые радикальчики. Потом этими листами можно замостить какую-то поверхность. Тогда, и только тогда, возникнет необходимость в сумме, и одновременно - понимание того, какую формулу надо суммировать. А площадь была первична. А вот из одного только желания чего-нибудь посуммировать, такие радикальчики не возникнут.

[ewert]

Munin в сообщении #373083 писал(а):

Вот поэтому физики на математиков и плюют машут рукой, и вводят нужный им матаппарат с опережением. Не важны для физических приложений строгие корректные доказательства, что определение дивергенции через стягиваемый объём и через частные производные эквивалентны.

Совершенно верно, имеют полное право плевать и опережать. Совершенно верно, имеют право не обращать внимания на формальную корректность (в некотором смысле даже обязаны). Но вот на что не имеют права даже физики -- так это на жульничество. Поскольку определение дивергенции через объём как исходное -- именно жульничество. То, что поверхностный интеграл пропорционален объёму -- заранее совершенно не очевидно, не видно даже, почему бы это должно было быть так хотя бы в принципе. Никому -- ни математикам, ни физикам.

Вот почему плотность можно определить как отношение тройного интеграла к объёму? -- Потому, что здесь пропорциональность опирается просто на соображения непрерывности, интуитивно всем очевидные. А в случае с дивергенцией всё ровно наоборот.

Стандартное же (дифференциальное) определение дивергенции, напротив, именно геометрически вполне прозрачно: это -- такая векторная дифференциальная операция, результат применения которой инвариантен относительно ортогональных преобразований координат. Это понятно именно геометрически, даже без явного выписывания этих преобразований.

Munin в сообщении #373083 писал(а):

Тогда, и только тогда, возникнет необходимость в сумме, и одновременно - понимание того, какую формулу надо суммировать.

Нуя рад уже и тому, что у Вас наконец появилось понимание необходимости суммирования. Попробуем закрепить. Вернёмся к радикальчикам: так откуда берётся формула для длины кривой?...

[Munin]

ewert в сообщении #373091 писал(а):

Но вот на что не имеют права даже физики -- так это на жульничество. Поскольку определение дивергенции через объём как исходное -- именно жульничество.

Успокойтесь. Достаточно сказать, что это не определение, в том смысле, в котором это слово будут потом использовать в своём курсе математики.

ewert в сообщении #373091 писал(а):

То, что поверхностный интеграл пропорционален объёму -- заранее совершенно не очевидно, не видно даже, почему бы это должно было быть так хотя бы в принципе. Никому -- ни математикам, ни физикам.

Физикам видно, потому что ещё раньше, чем вводятся интегралы, вводится картина линий поля. И в ней всё становится столь же интуитивно очевидно, как и в случае плотности. Из каждого заряда выходит непрерывная линия - поэтому число зарядов равно числу линий. Я же предлагал пролистать книжку :-)

ewert в сообщении #373091 писал(а):

Стандартное же (дифференциальное) определение дивергенции, напротив, именно геометрически вполне прозрачно: это -- такая векторная дифференциальная операция, результат применения которой инвариантен относительно ортогональных преобразований координат.

Ууу, вот тут как раз ничего очевидного по крайней мере курса до третьего, когда будет рассказано, что такое инвариантность и как её проверять (и ортогональные преобразования, заодно). Вы своим ученикам именно такое даёте? При этом, ваше определение несколько неточно, оно оставляет неопределённый коэффициент, причём он может быть разным в разных точках пространства.

-- 10.11.2010 14:32:36 --

ewert в сообщении #373091 писал(а):

Нуя рад уже и тому, что у Вас наконец появилось понимание необходимости суммирования. Попробуем закрепить. Вернёмся к радикальчикам: так откуда берётся формула для длины кривой?...

У меня никогда не было отрицания этой необходимости. Я понимаю, что для вычисления нужен инструмент. Я только не ставлю инструмент впереди того, для чего он нужен. Первично забивание гвоздей, а не молоток, первична обструганая поверхность, а не рубанок. Дров можно наделать и пилой, и топором, иногда и руками наломать. И не ведите себя со мной как с ребёнком, пожалуйста.

Формула для длины кривой берётся из формулы для длины прямой. Само понятие длины кривой опирается на длину прямой: мы выкладываем вдоль кривой нитку, а затем вытягиваем её. Чтобы увидеть там радикальчики, мы возьмём прямой отрезок известной длины, от $(0,0)$ до $(1,0),$ и переведём его в произвольное положение: получим от $(0,0)$ до $(x,\pm\sqrt{1-x^2}).$ Дальше воспользуемся нелюбимой вами линейностью (из аддитивности), и найдём, что если отрезок в том же направлении простирается от $(0,0)$ до $(dx,dy=\pm\sqrt{dl^2-dx^2}),$ то его длина $dl.$ И наконец, очевидный шаг, выражаем $dl=\sqrt{dx^2+dy^2}.$ Всё это можно и в другом порядке делать, так что для случая, когда у кривой линии есть длинный прямой участок, можно для него сразу записать $l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ безо всяких сумм. Суммы - всего лишь инструмент, а длина - цель.

[myhand]

Munin в сообщении #373072 писал(а):

Фейнман до них додумался независимо, хотя такая конструкция была известна и раньше (но не применялась в квантовой механике).

"Раньше" была известна обоснованная конструкция. Именно в теории вероятности, броуновского движения. А в квантовой механике это был с самого начала определенный "дубль" (там использовалось вполне конкретное разбиение - шаг влево и получаем чушь) :) Только сравнительно недавно континуальные интегралы были обоснованы. И то, насколько я знаю - для квадратичных по скоростям лагранжианов и с ограничениями на вид потенциальной энергии.

PS: Тема в оффтоп выродилась. Самое место в "вопросах преподавания"...

[Munin]

myhand в сообщении #373102 писал(а):

Тема в оффтоп выродилась.

Ну, извинитя.

myhand в сообщении #373102 писал(а):

Самое место в "вопросах преподавания"...

Разве только после работы ножницами.

[ewert]

Munin в сообщении #373098 писал(а):

Физикам видно, потому что ещё раньше, чем вводятся интегралы, вводится картина линий поля. И в ней всё становится столь же интуитивно очевидно, как и в случае плотности. Из каждого заряда выходит непрерывная линия - поэтому число зарядов равно числу линий. Я же предлагал пролистать книжку

Это называется оптической иллюзией -- что будто бы что-то видно. Возьмите любое соленоидальное поле (ну пусть хоть однородное). И чуток исказите его на небольшом участке, чтоб оно перестало быть там соленоидальным. А потом посчитайте линии и попытайтесь по ним определить, где там и какие источники.

Munin в сообщении #373098 писал(а):

ewert в сообщении #373091 писал(а):

Стандартное же (дифференциальное) определение дивергенции, напротив, именно геометрически вполне прозрачно: это -- такая векторная дифференциальная операция, результат применения которой инвариантен относительно ортогональных преобразований координат.

Ууу, вот тут как раз ничего очевидного по крайней мере курса до третьего, когда будет рассказано, что такое инвариантность и как её проверять (и ортогональные преобразования, заодно).

Никаких третьих курсов. Вполне можно было бы дать даже в первом семестре (в крайнем случае в начале второго), но по упомянутым выше причинам приходится откладывать до третьего; но всё-таки семестра, а не курса.

Даю я дивергенцию стандартно -- как дифференциальную операцию. И, разумеется, в векторной (пока формально) форме -- как оператор набла, скалярно умноженный на эф. Но потом обязательно отмечаю, что это настоящий скаляр, т.е. не меняется при поворотах и отражениях координатных осей (что из исходного определения вроде бы и не видно). А не меняется потому, что компоненты самого оператора набла преобразуются при этом по тем же законам (уж какими бы те законы ни были, не важно), что и компоненты обычного вектора. А последнее верно просто потому, что та же набла задаёт ещё и градиент (своим "умножением" на скаляр), но уж градиент-то точно преобразуется правильно, ведь у него же есть и чисто геометрическое определение (пусть и вторичное) -- через наибыстрейшее убывание и т.д., и оно-то уж точно инвариантно.

Во избежание недоразумений: градиент изначально определяется тоже как именно всего лишь дифференциальная операция, и лишь потом можно (и нужно) говорить про наискорейшее убывание. Ибо пока он не связан с производной по направлению (которая действительно есть понятие чисто геометрическое) -- сама мысль о существовании соотв. направления ничем не обоснована. Ну пусть оно даже и существует, допустим; а вдруг таких направлений несколько?...

Munin в сообщении #373098 писал(а):

Формула для длины кривой берётся из формулы для длины прямой. Само понятие длины кривой опирается на длину прямой: мы выкладываем вдоль кривой нитку, а затем вытягиваем её. Чтобы увидеть там радикальчики, мы возьмём прямой отрезок известной длины, от $(0,0)$ до $(1,0),$ и переведём его в произвольное положение

Стоп, этого достаточно. Если отрезочек прямой, то он бесконечно мал, а это уже подразумевает дальнейшее суммирование, столь Вами ненавидимое -- не более и не менее.

-- Ср ноя 10, 2010 20:59:11 --

Munin в сообщении #373107 писал(а):

Разве только после работы ножницами.

Да ведь полезно было бы кому-нибудь из модераторов ножниками поработать. Только им же лень, конечно, поди-ка повыковыривай.