Методы математической физики

[Munin]

s.o.s. в сообщении #370466 писал(а):

Дивергенция- это скорость изменения плотности?

Она может быть равна изменению плотности, когда плотность рассматривается какой-то сохраняющейся сущности, или величины, а дивергенция берётся от потока этой величины. Тогда получается уравнение вида

$$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t},$$

которое выражает закон сохранения, и называется уравнением непрерывности (или уравнением неразрывности). Часто про какую-то "дивергенцию вообще" бывает удобно думать в таком же духе, но иногда это может вас подводить, так что не заучивайте это как определение дивергенции.

[ewert]

s.o.s. в сообщении #370466 писал(а):

Дивергенция- это скорость изменения плотности?Да?

Дивергенция -- это оператор "набла", скалярно как бы умноженный на векторное поле, точка. Потом он по Остроградскому-Гауссу сводится к потоку того векторного поля через замкнутую поверхность, и ещё раз точка. И не следует умножать фантазий сверх необходимости (третья точка).

[s.o.s.]

ewert в сообщении #370505 писал(а):

s.o.s. в сообщении #370466 писал(а):

Дивергенция- это скорость изменения плотности?Да?

Дивергенция -- это оператор "набла", скалярно как бы умноженный на векторное поле, точка. Потом он по Остроградскому-Гауссу сводится к потоку того векторного поля через замкнутую поверхность, и ещё раз точка. И не следует умножать фантазий сверх необходимости (третья точка).

Мне просто всегда как-то проще, если пощупать можно.

[Munin]

Тогда дивергенция - это сколько стрелочек торчит из малого объёма. Если с одной стороны стрелочки в него входят, а с другой выходят - то, сколько лишних стрелочек выходит.

[ewert]

s.o.s. в сообщении #370507 писал(а):

Мне просто всегда как-то проще, если пощупать можно.

Прямо пощупать не удастся. Прямо пощупать можно, что поток тепла через границу области равен скорости изменения внутренней энергии в этой области, это действительно на пальчиках. Чуть менее, но тоже достаточно прямо можно пощупать закон Фурье -- что поток тепла пропорционален градиенту температур и направлен в противоположную сторону, это естественное выражение 2-го начала термодинамики. А вот с переходом к дивергенции -- на пальчиках никак не удастся, тут тупо-математическая теорема Остроградского-Гаусса, и никак иначе.

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #370466 писал(а):

а, точно

Только знак опять напутан. А так да, получается закон сохранения в дифференциальной форме.

-- Пт ноя 05, 2010 21:41:24 --

s.o.s. в сообщении #370466 писал(а):

кажется я понял для себя.Дивергенция- это скорость изменения плотности?Да?

Не совсем так. Дивергенция потока некой сохраняющейся величины равна минус скорости изменения плотности этой величины. Это есть закон сохранения. Но сама дивергенция это поток вектора через маленькую замкнутую поверхность делить на объем внутри этой поверхности (это определение дивергенции, что такое дивергенция). Естественно если этот вектор есть поток некой сохраняющейся величины, то скорость изменения этой величины внутри поверхности будет равна потоку через поверхность. Но в принципе может быть дивергенция не только от потока. Может быть дивергенция и от какого-нибудь другого векторного поля (не потока). Обратите внимание что слово "поток" здесь используется в двух совершенно разных значениях: одно вектор потока, а второе - поток вектора. Эти два значения не имеют между собой чего-либо общего! Ну так исторически получилось, что одно и то же слово имеет два разных смысла.

-- Пт ноя 05, 2010 21:46:39 --

ewert в сообщении #370505 писал(а):

Дивергенция -- это оператор "набла", скалярно как бы умноженный на векторное поле, точка.

Объяснять непонятное слово (для молодого человека не понятное) через столь же непонятные (ему) слова это пудрить мозги и ничего более! Читайте Фейнмана про преподавание в Бразилии!

Можно еще вот это

http://ufn.ru/tribune/trib110604.pdf

почитать.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Объяснять непонятное слово (для молодого человека не понятное) через столь же непонятные (ему) слова это пудрить мозги и ничего более!

А тут уж ничего не поделаешь, формализм -- он и в Африке формализм. В нём надо просто разбираться. Пытаться получить формальное выражение, не вникая в формальности -- бессмысленно.

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Только знак опять напутан. А так да, получается закон сохранения в дифференциальной форме.

$ div(p)=-dp/dt $
у меня вот такой неожиданный вопроc:
как мне определить заранее(может с помощью математических методов), могу ли я из этого равенства получить уравнение теплопроводности?или мне нужно ещё что-то знать?
Ну к примеру, допустим если у нас дана система уравнений, то я могу заранее( с помощью определителя например) понять, имеет ли оно решение.
Вот, могу ли я здесь, исходя из размерности или ещё чего-то, понять смогу ли я выразить u(P,t)?

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Не совсем так. Дивергенция потока некой сохраняющейся величины равна минус скорости изменения плотности этой величины. Это есть закон сохранения. Но сама дивергенция это поток вектора через маленькую замкнутую поверхность делить на объем внутри этой поверхности (это определение дивергенции, что такое дивергенция). Естественно если этот вектор есть поток некой сохраняющейся величины, то скорость изменения этой величины внутри поверхности будет равна потоку через поверхность. Но в принципе может быть дивергенция не только от потока. Может быть дивергенция и от какого-нибудь другого векторного поля (не потока). Обратите внимание что слово "поток" здесь используется в двух совершенно разных значениях: одно вектор потока, а второе - поток вектора. Эти два значения не имеют между собой чего-либо общего! Ну так исторически получилось, что одно и то же слово имеет два разных смысла.

а, кажется понял, то есть в первом случае это поток жидкости или чего то движущегося, а второй случай это стационарное поле, например магнитное, да?и во втором случае скорость изменения плотности, мне кажется не очень подойдёт для представления.

Munin в сообщении #370523 писал(а):

Тогда дивергенция - это сколько стрелочек торчит из малого объёма. Если с одной стороны стрелочки в него входят, а с другой выходят - то, сколько лишних стрелочек выходит.

Рассмотрим первый случай.Допустим, если в бесконечно малый объём втекает 3 ед. "бесконечно малого объёма", а вытекает 6, то дивергенция равна двум?

[Munin]

s.o.s. в сообщении #372279 писал(а):

Допустим, если в бесконечно малый объём втекает 3 ед. "бесконечно малого объёма", а вытекает 6, то дивергенция равна двум?

Нет, 6-3=3 - трём. И не путайте размерности, в объём втекает не объём, а стрелочки. У стрелочек размерность - плотность потока, то есть $\mathrm{XL^{-2}T^{-1}},$ где $\mathrm{X}$ - размерность интегральной величины, "заряда", $x=\int\rho\,dV.$

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #372279 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):
Только знак опять напутан. А так да, получается закон сохранения в дифференциальной форме.


у меня вот такой неожиданный вопроc:
как мне определить заранее(может с помощью математических методов), могу ли я из этого равенства получить уравнение теплопроводности?или мне нужно ещё что-то знать?

Опять ошибка: под дивергенцией не сама скалярная величина, а вектор ее потока (т.е. вектор, показывающий куда эта скалярная величина течет и на сколько быстро течет). Если этот вектор потока пропорционален градиенту самой величины (как в случае теплопроводности), то сразу получается уравнение теплопроводности. Потому что дивергенция от градиента это в точности лапласиан.

[ewert]

Munin в сообщении #370523 писал(а):

дивергенция - это сколько стрелочек торчит из малого объёма.

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Дивергенция потока некой сохраняющейся величины равна минус скорости изменения плотности этой величины.

Munin в сообщении #372322 писал(а):

в объём втекает не объём, а стрелочки.

Alex-Yu в сообщении #372335 писал(а):

под дивергенцией не сама скалярная величина, а вектор ее потока (т.е. вектор, показывающий куда эта скалярная величина течет и на сколько быстро течет

У-ф-ф-ф-ф ...

[Munin]

ewert
Сами пообъясняйте. Только не в стиле "вот формализм, а понимать его не обязательно".

[Himfizik]

ewert, Munin

Коммент в сторону: может мне показалось, а может нет, но один из вас либо теоретик или математик, а другой экспериментатор.

[ewert]

Munin в сообщении #372352 писал(а):

Сами пообъясняйте.

Пожалуйста.

Потоком тепла через площадку называется количество тепла, проходящее через эту площадку за единицу времени.

Если одну и ту же площадку поворачивать, то поток тепла через неё будет меняться и в определённом положении окажется максимальным.

Соответственно, плотность потока тепла (между прочим, именно плотность, а не сам поток) -- это векторная величина, направленная по нормали вот к тому самому положению площадки и численно равная потоку, делённому на площадь прощадки (при условии, конечно, что она бесконечно мала).

Соответственно, полный поток тепла, втекающего в некоторую область -- это интеграл от плотности потока тепла по поверхности области:
$\dfrac{dQ}{dt}=-\iint_S\overrightarrow p\cdot\overrightarrow n\,dS\qquad(1)$
(минус потому, что нам нужен поток тепла внутрь, в то время как вектор нормали в таких интегралах стандартно направляют наружу).

С другой стороны, по закону Фурье плотность потока тепла пропорциональна градиенту температур:
$\overrightarrow{p}=-k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}\qquad(2)$
($k$ в этом соотношении называется коэффициентом теплопроводности, а минус -- из-за второго начала термодинамики: тепло течет от горячих участков к холодным, т.е. противоположно градиенту).

С третьей стороны, поток тепла равен скорости изменения внутренней энергии области:
$\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{d}{dt}\iiint_Vc\,T\,dV=\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV\qquad(3),$
где множитель $c$ называется удельной теплоёмкостью.

Склеивая (1), (2) и (3), получаем:
$\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV=\iint_Sk\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}\cdot\overrightarrow n\,dS.$

На этом лирика заканчивается, и остаётся голая математика. По теореме Остроградского-Гаусса интеграл от вектора по замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора по самой области:
$\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV=\iiint_V\mathop{\mathrm{div}}(k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T})\,dV.$

Деля на объём и переходя к пределу при стягивании области в точку, окончательно получаем:
$c\,\dfrac{\partial T}{\partial t}=\mathop{\mathrm{div}}(k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}).$

-- Пн ноя 08, 2010 16:29:29 --

Himfizik в сообщении #372362 писал(а):

может мне показалось, а может нет, но один из вас либо теоретик или математик, а другой экспериментатор.

чего-то мне кажется, что ни один из нас не экспериментатор

[BISHA]

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):

Можно еще вот это

http://ufn.ru/tribune/trib110604.pdf

почитать.

Вот где суть. У нас это уже все есть. Говорят вы плохо учите, а дети другие и они по другому думают. Толи еще будет.