Методы математической физики

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #372335 писал(а):

s.o.s. в сообщении #372279 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #370546 писал(а):
Только знак опять напутан. А так да, получается закон сохранения в дифференциальной форме.


у меня вот такой неожиданный вопроc:
как мне определить заранее(может с помощью математических методов), могу ли я из этого равенства получить уравнение теплопроводности?или мне нужно ещё что-то знать?

Опять ошибка: под дивергенцией не сама скалярная величина, а вектор ее потока (т.е. вектор, показывающий куда эта скалярная величина течет и на сколько быстро течет). Если этот вектор потока пропорционален градиенту самой величины (как в случае теплопроводности), то сразу получается уравнение теплопроводности. Потому что дивергенция от градиента это в точности лапласиан.

ага,ошибся
$\[ \begin{gathered} \frac{{dp}} {{dt}} = - div(\prod ) \hfill \\ s\frac{{du}} {{dt}} = - div( - k\frac{{du}} {{dn}}) \hfill \\ s\frac{{du}} {{dt}} = k\Delta u \hfill \\ \end{gathered} \] $
s- теплоёмкость
k-теплопроводность
правильно?

ewert в сообщении #372366 писал(а):

Munin в сообщении #372352 писал(а):

Сами пообъясняйте.

Пожалуйста.

Потоком тепла через площадку называется количество тепла, проходящее через эту площадку за единицу времени.

Если одну и ту же площадку поворачивать, то поток тепла через неё будет меняться и в определённом положении окажется максимальным.

Соответственно, плотность потока тепла (между прочим, именно плотность, а не сам поток) -- это векторная величина, направленная по нормали вот к тому самому положению площадки и численно равная потоку, делённому на площадь прощадки (при условии, конечно, что она бесконечно мала).

Соответственно, полный поток тепла, втекающего в некоторую область -- это интеграл от плотности потока тепла по поверхности области:
$\dfrac{dQ}{dt}=-\iint_S\overrightarrow p\cdot\overrightarrow n\,dS\qquad(1)$
(минус потому, что нам нужен поток тепла внутрь, в то время как вектор нормали в таких интегралах стандартно направляют наружу).

С другой стороны, по закону Фурье плотность потока тепла пропорциональна градиенту температур:
$\overrightarrow{p}=-k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}\qquad(2)$
($k$ в этом соотношении называется коэффициентом теплопроводности, а минус -- из-за второго начала термодинамики: тепло течет от горячих участков к холодным, т.е. противоположно градиенту).

С третьей стороны, поток тепла равен скорости изменения внутренней энергии области:
$\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{d}{dt}\iiint_Vc\,T\,dV=\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV\qquad(3),$
где множитель $c$ называется удельной теплоёмкостью.

Склеивая (1), (2) и (3), получаем:
$\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV=\iint_Sk\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}\cdot\overrightarrow n\,dS.$

На этом лирика заканчивается, и остаётся голая математика. По теореме Остроградского-Гаусса интеграл от вектора по замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора по самой области:
$\iiint_Vc\,\dfrac{\partial T}{\partial t}\,dV=\iiint_V\mathop{\mathrm{div}}(k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T})\,dV.$

Деля на объём и переходя к пределу при стягивании области в точку, окончательно получаем:
$c\,\dfrac{\partial T}{\partial t}=\mathop{\mathrm{div}}(k\,\overrightarrow{\mathop{\mathrm{grad}}T}).$

Этот вывод понятен.Над физической интепретацией дивергенции буду думать.

-- Вт ноя 09, 2010 12:26:16 --

BISHA в сообщении #372388 писал(а):

Вот где суть. У нас это уже все есть. Говорят вы плохо учите, а дети другие и они по другому думают. Толи еще будет.

Что вы имеете ввиду?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #372675 писал(а):

s- теплоёмкость
k-теплопроводность
правильно?

Если u это температура, то да.

(pittite)

Методическую часть сообщений отделил в соответствующую тему.

[pittite]

Часть сообщений методического характера выделены в отдельную тему "Об использовании математических понятий в физике"

[s.o.s.]

После правки модератором, тема заметно похудела.
А одно сообщение вообще кануло в лету, ну да ладно.
У меня вот такой вопрос, если у нас не бесконечное пространство, а теплота распространяется в комнате.Как изменится решение?Нужно вводить граничные условия, да?

И про телеграфные уравнения, можете дать начало, а я продолжу.

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #373885 писал(а):

У меня вот такой вопрос, если у нас не бесконечное пространство, а теплота распространяется в комнате.Как изменится решение?Нужно вводить граничные условия, да?

Да. А уравнение останется то же самое.

-- Пт ноя 12, 2010 18:16:22 --

s.o.s. в сообщении #373885 писал(а):

И про телеграфные уравнения, можете дать начало, а я продолжу.

Рассмотрим малый участок линии передачи длиной $dl$. Индуктивность участка тогда $dL=L_1dl$ а его емкость $dC=C_1dl$, где $L_1 $ и $C_1$ --- погонные индуктивность и емкость линии (заданные константы).

[ewert]

s.o.s. в сообщении #373885 писал(а):

У меня вот такой вопрос, если у нас не бесконечное пространство, а теплота распространяется в комнате.Как изменится решение?Нужно вводить граничные условия, да?

Да, надо. На левой стенке, на правой... На верхней -- или на нижней... на сферической или на антисферрррической...

И вобще: хоть какие-то допусловия -- но поставить всё-таки придётся.

-- Пт ноя 12, 2010 23:07:22 --

[Himfizik]

s.o.s.

Волновое уравнение возникает в различных разделах физики. В электротехнике и радиоэлектронике его аналог - телеграфное уравнение. Для составления полной картины об этом замечательном уравнении и, советую попробовать себя в выводе волнового уравнения с разных точек зрения: из механических соображений (колебания цепочки грузов на пружинах), из электродинамических (следствие уравнений Максвелла), из гидродинамических (рассмотрение уравнения Эйлера и уравнения непрерывности в случае $v=0$ и слабоварьируемых давлений и плотностей), и наконец, из электротехнических (то, о чем начал говорить Alex-Yu).

[s.o.s.]

Alex-Yu в сообщении #373966 писал(а):

Рассмотрим малый участок линии передачи длиной . Индуктивность участка тогда а его емкость , где и --- погонные индуктивность и емкость линии (заданные константы).

Ага сейчас буду думать.

Himfizik в сообщении #374602 писал(а):

Волновое уравнение возникает в различных разделах физики. В электротехнике и радиоэлектронике его аналог - телеграфное уравнение. Для составления полной картины об этом замечательном уравнении и, советую попробовать себя в выводе волнового уравнения с разных точек зрения: из механических соображений (колебания цепочки грузов на пружинах), из электродинамических (следствие уравнений Максвелла), из гидродинамических (рассмотрение уравнения Эйлера и уравнения непрерывности в случае и слабоварьируемых давлений и плотностей), и наконец, из электротехнических (то, о чем начал говорить Alex-Yu).

Обязательно попробую, начну с электродинамических соображений.

To All
я сейчас пробую решить уравнение теплопроводности на Maple.Всё время ошибку выкидывает.Какую функцию нужно использовать?В этом случае dsolve не подходит?

[Alex-Yu]

s.o.s. в сообщении #375500 писал(а):

Ага сейчас буду думать.

Небольшое методическое указание. Выразите приращение напряжения на этом малом участке через ток (точнее скорость его, тока изменения во времени), а приращение тока -- через напряжение.

[s.o.s.]

Извините, что долго не отвечал. Другими делами занимался.
Похоже мне рано ещё выводить сами уравнений из-за недостатка понимания процесса.
Из-за чего вообще происходят колебания в проводах?
Я так это представляю:
разбиваем мысленно наш провод на много маленьких элементов,
когда элемент накапливает максимальный заряд, он передаёт его дальше соседнему
и так далее... в результате можно представить такую картину:
...,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,... <- провод!

[Himfizik]

s.o.s. в сообщении #378913 писал(а):

Извините, что долго не отвечал. Другими делами занимался.
Похоже мне рано ещё выводить сами уравнений из-за недостатка понимания процесса.
Из-за чего вообще происходят колебания в проводах?
Я так это представляю:
разбиваем мысленно наш провод на много маленьких элементов,
когда элемент накапливает максимальный заряд, он передаёт его дальше соседнему
и так далее... в результате можно представить такую картину:
...,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,... <- провод!

Именно для понимания процесса, как вы выразились, и нужно вывести волновое уравнение с разных точек зрения. Причем лучше начать с механической аналогии... (грузики и пружинки, что может быть проще)...

[ewert]

s.o.s. в сообщении #378913 писал(а):

...,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,......,,,:::;;;|||;;;:::,,,... <- провод!

Телеграфное уравнение -- не в одном проводе, а в двух. Волновое уравнение возникает из-за того, что каждой единице длины этой пары проводов причитается определённая ёмкость и определённая индуктивность.

[Munin]

s.o.s. в сообщении #378913 писал(а):

Я так это представляю:разбиваем мысленно наш провод на много маленьких элементов,когда элемент накапливает максимальный заряд, он передаёт его дальше соседнемуи так далее...

Физически это верно, но туманно, поскольку надо ещё долго разбираться, по каким законам элементы накапливают и передают заряды. Проще для получения телеграфного уравнения разбить провод на много элементов с понятной электрической схемой, например, на RLCG-звенья

в которых для каждого малого участка провода отображены его индуктивность, ёмкость, сопротивление и проводимость утечки.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #379018 писал(а):

Проще для получения телеграфного уравнения разбить провод на много элементов с понятной электрической схемой, например, на RLCG-звенья

Только резисторы надо выкинуть. Для начала молодому человеку разобраться бы с линией без затухания. Вот когда разберется, тогда можно резисторы и добавить, усложнить задачу.

[Munin]

С оговоркой, что для начала - да. Хотя принципиально там от резисторов ничего не меняется.