Определение производной без использования понятия предела.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #347216 писал(а):

paha в сообщении #347209 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #347204 писал(а):

Вот замкнутые множества устроены много сложнее (смотрите канторово множество

Дополнение к канторовому множеству (которое открыто) устроено не менее сложно:)))

Почему? Это всего лишь счетное объединение открытых интервалов.

Этот диалог навел меня на мысль подробно рассмотреть структуру канторова множества.

Начнём с определения.
Из единичного замкнутого интервала $C_0=[0, 1]$ удалим открытый интервал $(1/3, 2/3)$. Оставшееся множество обозначим через $C_1$. Множество $C_1=[0, 1/3] \cup [2/3, 1]$ состоит из двух замкнутых интервалов; удалим теперь из каждого замкнутого интервала его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через $C_2$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх замкнутых интервалов, получаем $C_3$. Дальше таким же образом получаем $C_4, C_5, C_6, ...$. Обозначим через $C$ пересечение всех $C_i$. Множество $C$ называется Канторовым множеством.

Это слегка изменённое определение из Википедии.

Канторово множество замкнуто и состоит только из граничных точек. Его открытое ядро пусто. А это значит, что канторово множество не содержит ни одного открытого интервала. Мощность канторова множества континуум. А это значит, что кроме граничных точек концов выкинутых открытых интервалов (назовём их точками первого рода) есть ещё какие-то граничных точки (назовём их точками второго рода).
Начнем с точек первого рода. Рассмотрим открытый интервал содержащий точку $1/3$. Этот открытый интервал содержит множество $(1/3, b)$, принадлежащее дополнению канторова множества. Точка $b$ находится между $1/3$ и $2/3$. $1/3$ – граничная точка открытого интервала $(1/3, b)$. Очевидно и просто.
Самое интересное начинается с другой стороны от одной трети. Какой бы открытый интервал $(g, 1/3)$ мы ни взяли в нем обязательно есть точки канторова множества. Но каждый открытый интервал $(g, 1/3)$ содержит и точки дополнения канторова множества. Так как канторово множество замкнуто, то точки его дополнения – внешние точки для канторова множества. Но тогда, каждый открытый интервал вида $(g, 1/3)$ содержит открытый интервал, принадлежащий дополнению. При этом $1/3$ не является граничной точкой этого открытого интервала. Открытые интервалы дополнения суть удалённые открытые интервалы такие как $(1/3, 2/3)$ и их подмножества.
Теперь посмотрим на точки второго рода. Рассмотрим открытый интервал содержащий точку второго рода. После разбора первого случая очевидно, что такой открытый интервал содержит точки канторова множества вперемешку с открытыми интервалами дополнения. И не содержит открытого интервала граничной точкой, которого являлась бы эта точка второго рода.
Очевидно, что канторово множество устроено много сложнее чем его открытое дополнение.

[AD]

Если честно, не увидел в последнем сообщении ничего свежего и интересного

Хотя если про канторово множество говорить, то у него и впрямь красивые свойства всякие есть. Скажем, слышал недавно, что любой [сепарабельный] метрический компакт можно непрерывно накрыть канторовым множеством (в смысле существует непрерывная сюръекция). С другой стороны, как мы тут не так давно обсуждали, на отрезке можно уместить континуум множеств, гомеоморфных канторову.

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #351338 писал(а):

Если честно, не увидел в последнем сообщении ничего свежего и интересного

Во-первых, интересно только честно. Во-вторых, я никогда не видел чисто топологического описания канторова множества (граничные точки, какие они, чем отличаются друг от друга). Если у Вас есть идея куда заглянуть, буду благодарен.

AD в сообщении #351338 писал(а):

Хотя если про канторово множество говорить, то у него и впрямь красивые свойства всякие есть. Скажем, слышал недавно, что любой [сепарабельный] метрический компакт можно непрерывно накрыть канторовым множеством (в смысле существует непрерывная сюръекция). С другой стороны, как мы тут не так давно обсуждали, на отрезке можно уместить континуум множеств, гомеоморфных канторову.

AD! Дайте ссылочку. Пожалуйста.

[AD]

Про накрытие компактов - не знаю где прочитать. Слышал только краем уха. Говорят, общий случай не намного сложнее, чем накрыть отрезок: суть сводится к "разделим наш компакт пополам, одну половину накроем левой половинкой канторова множества, другую - правой, и т.д."

Про упихивание в отрезок - topic30138.html

(Оффтоп)

Люблю оффтопить, когда топикстартер разрешает
З.Ы. Тут некоторые по-моему не понимают, что топикстартер - это личность, а не сообщение

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #351347 писал(а):

Во-вторых, я никогда не видел чисто топологического описания канторова множества (граничные точки, какие они, чем отличаются друг от друга).

ну, Вы говорите о конкретном вложении $f:K\to [0,1]$ канторова множества в отрезок... Чисто топологическое описание: $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- несвязное двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). Доказательство того, что

$$ f(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{2\epsilon_n}{3^n} $$

топологическое вложение (гомеоморфизм на образ) -- упражнение на тихоновскую топологию.
Ваши

Виктор Викторов в сообщении #351149 писал(а):

(назовём их точками первого рода) есть ещё какие-то граничных точки (назовём их точками второго рода).

прекрасно описываются в терминах последовательностей $\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ (сделайте это).

Наконец, упомнянутая теорема "метрический компакт есть непрерывный образ $K$" принадлежит П. Александрову и доказана, например, у Келли в "Общей топологии"

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #351432 писал(а):

Ваши

Виктор Викторов в сообщении #351149 писал(а):

(назовём их точками первого рода) есть ещё какие-то граничных точки (назовём их точками второго рода).

прекрасно описываются в терминах последовательностей $\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ (сделайте это).

Уважаемый paha!

Точки первого рода и второго рода не мои. Так они названы в книге П. С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» (далее просто «Введение» ) на странице 142. К сожалению, описать эти точки в терминах последовательностей я не могу. Это сделал П. С. Александров во «Введении» на страницах 141-142. Так, что я могу только его процитировать:
«Канторово множество П может быть определено как множество всех точек сегмента $[0; 1]$, имеющих разложение в троичную дробь, состоящее лишь из цифр 0 и 2.»
«Заметим, что каждая из точек первого рода, …, имеет два троичных разложения (одно из которых не содержит цифры 1)».
Я же прочитал это у Александрова свыше тридцати лет тому назад («Введение» вышло в 1977 году).

paha в сообщении #351432 писал(а):

Вы говорите о конкретном вложении $f:K\to [0,1]$ канторова множества в отрезок... Чисто топологическое описание: $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- несвязное двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). Доказательство того, что

$$ f(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{2\epsilon_n}{3^n} $$

топологическое вложение (гомеоморфизм на образ) -- упражнение на тихоновскую топологию.

Да. Я говорю о конкретном вложении $f:K\to [0,1]$ канторова множества в отрезок.
А красивая конструкция

$$ f(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{2\epsilon_n}{3^n} $$

топологическое вложение (гомеоморфизм на образ) описана во «Введении» на страницах 255-256. Правда, П. С. Александров называет несвязное двоеточие простым двоеточием (пространство из двух элементов с дискретной топологией). Я Вам благодарен, что Вы напомнили об этом гомеоморфизме. Здесь это очень к месту.
Я же написал совсем о другом. Есть множество в топологическом пространстве: давайте попробуем описать его точки с помощью открытых окрестностей (существует такая открытая окрестность, что …, в каждой открытой окрестности...). Завтра я напишу почему с моей точки зрения это важно.

[Виктор Викторов]

Итак, топологическое описание канторова множества: $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- простое двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). [Списал у paha].
Другое описание канторова множества как подмножества замкнутого интервала $[0,1]$ ( вложение $f:K\to [0,1]$ канторова множества в замкнутый интервал).
В первом случае имеется гомеоморфизм подпространства пространства вещественных чисел с топологическим пространством $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
Во втором случае речь идет о множестве в топологическом пространстве.
В первом случае гомеоморфизм (все топологические свойства двух пространств одинаковы), но куда делись свойства точек по отношению к объемлющему пространству (внутренняя, граничная, внешняя точка)? Нигде не плотность. Все исчезло. Вопрос: как эти два подхода связаны?

Теперь общие моменты. Самым большим секретом двадцатого века было то, что каждое множество в топологическом пространстве расслаивает пространство на три множества: открытое ядро (внутренние точки), границу и внешние точки. До сих пор учебники молчат и о том, что граничные точки множества разбиваются на четыре взаимно непересекающихся множества [все точки канторова множества граничные причем относятся к одному и тому же типу: у этих точек существует открытая окрестность не содержащая точек открытого ядра и содержащая только граничные и внешние точки этого множества, но сей факт не является характеристическим для канторова множества. Этим свойством обладает каждая точка нигде не плотного множества]. Т. к. при переходе к подпространству все точки этого множества становятся внутренними для подпространства и точка подмножества подпространства может иметь другой статус для пространства (например, граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве), то остается задать всё тот же вопрос: как связаны свойства выявленные через гомеоморфизм подпространства с некоторым пространством и «обязательствами» множества по отношению к объемлющему его пространству?

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

Самым большим секретом двадцатого века

вот оно, в чем дело...

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

До сих пор учебники молчат и о том, что граничные точки множества разбиваются на четыре взаимно непересекающихся множества

Вы так и не выдали тайну что за множества

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

например, граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве

не "может", а становится автоматически

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

как связаны свойства выявленные через гомеоморфизм подпространства с некоторым пространством и «обязательствами» множества по отношению к объемлющему его пространству?

можно сформулировать вопрос точнее?.. а то полная белиберда...
Анализируя сказанное Вами выше, можно подумать, что имелось ввиду вот что: пусть $f:X\to Y$ -- непрерывное отображение топологических пространств, являющееся гомеоморфизмом на образ; как связаны свойства множества $A\subset X$ как подпространства в $X$, со свойствами $f(A)$ как подпространства в $f(X)\subset Y$. Или я не прав, и имелось ввиду нечто иное?

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #351772 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

Самым большим секретом двадцатого века

вот оно, в чем дело...

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

Самым большим секретом двадцатого века было то, что каждое множество в топологическом пространстве расслаивает пространство на три множества: открытое ядро (внутренние точки), границу и внешние точки.

Сравните Вашу цитату с моим текстом.

paha в сообщении #351772 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

До сих пор учебники молчат и о том, что граничные точки множества разбиваются на четыре взаимно непересекающихся множества

Вы так и не выдали тайну что за множества

Посмотрите здесь topic21315-30.html на третьей странице классификацию граничных точек.

paha в сообщении #351772 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

например, граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве

не "может", а становится автоматически

Рассмотрим числовую прямую и её подпространство $[0; 1]$. Рассмотрим множество всех рациональных чисел на $[0; 1]$. Все рациональные и все иррациональные точки между нулем и единицей (включая ноль и единицу) как были граничными в пространстве числовой прямой, так и остались граничными в подпространстве $[0; 1]$.

paha в сообщении #351772 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

как связаны свойства выявленные через гомеоморфизм подпространства с некоторым пространством и «обязательствами» множества по отношению к объемлющему его пространству?

можно сформулировать вопрос точнее?.. а то полная белиберда...

paha в сообщении #351432 писал(а):

Чисто топологическое описание: $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- несвязное двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). Доказательство того, что

$$ f(\{\epsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{2\epsilon_n}{3^n} $$

топологическое вложение (гомеоморфизм на образ)

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

В первом случае имеется гомеоморфизм подпространства пространства вещественных чисел с топологическим пространством $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$.
Во втором случае речь идет о множестве в топологическом пространстве.
В первом случае гомеоморфизм (все топологические свойства двух пространств одинаковы), но куда делись свойства точек по отношению к объемлющему пространству (внутренняя, граничная, внешняя точка)? Нигде не плотность. Все исчезло. Вопрос: как эти два подхода связаны?

Все ещё белиберда?

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #351780 писал(а):

Сравните Вашу цитату с моим текстом.

я просто считаю, что нет никаких "Самых Больших Тайн" и "Самых Лучших Способов не быть Обманутым":)

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве

ок... я прочел эту фразу так: "точка $x\in\rm{Fr}A$ может стать внутренней в $A$ (с индуцированной топологией)", отсюда и "должна"

paha в сообщении #351772 писал(а):

Анализируя сказанное Вами выше, можно подумать, что имелось ввиду вот что: пусть $f:X\to Y$ -- непрерывное отображение топологических пространств, являющееся гомеоморфизмом на образ; как связаны свойства множества $A\subset X$ как подпространства в $X$, со свойствами $f(A)$ как подпространства в $f(X)\subset Y$. Или я не прав, и имелось ввиду нечто иное?

а топик про типы точек почитаю завтра

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #351781 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351780 писал(а):

Сравните Вашу цитату с моим текстом.

я просто считаю, что нет никаких "Самых Больших Тайн" и "Самых Лучших Способов не быть Обманутым":)

Это была шутка. Я не увлекаюсь конспирологией. Но в каждой шутке есть доля шутки. К сожалению, только Бурбаки в книге «Общая топология Основные структуры» на странице 27 написали об этом важном факте. Учебники (Александров, Келли и т. д.) воздержались. Но Бурбаки это не букварь для начинающего тополога.

paha в сообщении #351781 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве

ок... я прочел эту фразу так: "точка $x\in\rm{Fr}A$ может стать внутренней в $A$ (с индуцированной топологией)", отсюда и "должна"

Цитировать лучше полностью:

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

...точка подмножества подпространства может иметь другой статус для пространства (например, граничная точка в пространстве может стать внутренней в подпространстве),...

paha в сообщении #351772 писал(а):

Анализируя сказанное Вами выше, можно подумать, что имелось ввиду вот что: пусть $f:X\to Y$ -- непрерывное отображение топологических пространств, являющееся гомеоморфизмом на образ; как связаны свойства множества $A\subset X$ как подпространства в $X$, со свойствами $f(A)$ как подпространства в $f(X)\subset Y$. Или я не прав, и имелось ввиду нечто иное?

Давайте разбираться.
Рассмотрим канторово множество в пространстве вещественных чисел как подпространство с топологией индуцированной стандартной топологией числовой прямой. Это подпространство гомеоморфно пространству $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, где $\{0,1\}$ -- несвязное двоеточие (на прямом произведении счетного множества двоеточий берется тихоновская топология). Так?
Взаимно однозначное соответствие точек и взаимно однозначное соответствие открытых множеств.
А теперь вопросы:
1. Канторово множество в пространстве вещественных чисел состоит из граничных точек.
Как этот факт виден из выше указанного гомеоморфизма?
2. Канторово множество в пространстве вещественных чисел нигде не плотно.
А если мы знаем только само канторово множество как подпространство и не рассматриваем объемлющее пространство (пространство вещественных чисел), то что нам известно из этого гомеоморфизма о нигде не плотности канторова множества?

И наконец, вот здесь у меня враньё:

Виктор Викторов в сообщении #351661 писал(а):

у этих точек существует открытая окрестность не содержащая точек открытого ядра и содержащая только граничные и внешние точки этого множества,

Нужно «эти точки не являются точками открытого ядра границы и у них существует открытая окрестность содержащая только граничные и внешние точки этого множества,».

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #351786 писал(а):

1. Канторово множество в пространстве вещественных чисел состоит из граничных точек.
Как этот факт виден из выше указанного гомеоморфизма?
2. Канторово множество в пространстве вещественных чисел нигде не плотно.
А если мы знаем только само канторово множество как подпространство и не рассматриваем объемлющее пространство (пространство вещественных чисел), то что нам известно из этого гомеоморфизма о нигде не плотности канторова множества?

Никак не видно и никак не может быть видно! Эти свойства определяются объемлющим пространством, но не исходным:

а) Возьмите произвольное топологическое вложение $f:X\to Y$ и постройте топологическое вложение $F:X\to Y\times\mathbb{R}$ по формуле $F(x)=(f(x),0)$. Очевидно, что $F(X)$ состоит из граничных точек и что внутренность его замыкания пуста.
б) Другой крайний случай -- топологическое вложение $id:X\to X$... все точки внутренние, образ всюду плотен

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #351798 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #351786 писал(а):

1. Канторово множество в пространстве вещественных чисел состоит из граничных точек.
Как этот факт виден из выше указанного гомеоморфизма?
2. Канторово множество в пространстве вещественных чисел нигде не плотно.
А если мы знаем только само канторово множество как подпространство и не рассматриваем объемлющее пространство (пространство вещественных чисел), то что нам известно из этого гомеоморфизма о нигде не плотности канторова множества?

Никак не видно и никак не может быть видно! Эти свойства определяются объемлющим пространством, но не исходным

Итак, и в белиберде разобрались.
Получается, что существуют «внутренние» топологические свойства множества хорошо видные, если удается узреть подходящий гомеоморфизм (связность, компактность, правда, в нашем случае именно на канторовом множестве хорошо видно, что оно несвязно и компактно и поэтому $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ несвязно и компактно). Такие свойства называются топологическими инвариантами (иногда говорят, что задача общей топологии искать топологические инварианты). Но у множеств в топологическом пространстве есть и свойства, определяющиеся объемлющим пространством (их можно было бы назвать топологическими «вариантами», но я при Вас теперь боюсь шутить).
Конечно, топологические инварианты важнее. Но всё, сказанное Вами о них, не отменяет моих рассуждений о свойствах канторова множества, определяющихся объемлющим пространством. Об этих свойствах во «Введении» подробно пишет и П. С. Александров, но он основывается на понятиях точки конденсации и совершенного множества. Я рассматриваю ситуацию отталкиваясь от граничных точек. AD пишет, что в этом нет «ничего свежего и интересного», а мне было бы интересно узнать, где можно прочитать о канторовом множестве с точки зрения его граничности.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #351904 писал(а):

а мне было бы интересно узнать, где можно прочитать о канторовом множестве с точки зрения его граничности.

Канторово совершенное множество топологически однородно, то есть, для любых двух точек $x,y\in C$ существует гомеоморфизм $f\colon C\xrightarrow{\text{на}}C$, удовлетворяющий условию $fx=y$. Более того, на нём можно определить структуру топологической группы. Поэтому все точки канторова совершенного множества топологически совершенно одинаковые.

Виктор Викторов в сообщении #351904 писал(а):

Но у множеств в топологическом пространстве есть и свойства, определяющиеся объемлющим пространством

Существует понятие пары $(X,P)$, где $X$ - топологическое пространство, $P\subset X$ - его подпространство. Копайте в эту сторону. Оно часто встречается в алгебраической топологии, но там обычно интересуются не граничными точками. Чаще всего $P$ одноточечное (пространство с отмеченной точкой; иногда употребляется термин "пунктированное пространство").

[Виктор Викторов]

Someone!
Спасибо!